黃興豐，馬云鵬

（1.東北師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2.常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1986年，美國(guó)著名學(xué)者舒爾曼（Shulman）把學(xué)科知識(shí)（subject matter knowledge）定義為：“學(xué)科知識(shí)是指在特殊學(xué)科中的概念、原則與技能以及這些知識(shí)在教師頭腦中的結(jié)構(gòu)和數(shù)量.”[1]與此同時(shí)，美國(guó)開(kāi)始出現(xiàn)研究，關(guān)注數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響.這種趨勢(shì)完全和逐漸興起的一種觀點(diǎn)相一致，即教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響主要取決于學(xué)科知識(shí)，而不是一般知識(shí)或教學(xué)法知識(shí)[2～3].于是，有些研究者不再像原來(lái)一樣使用教師的學(xué)歷或選修的課程代表他們的學(xué)科知識(shí)水平[4]，而是直接采用數(shù)學(xué)考試來(lái)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí).比如，馬倫斯（Mullens）等曾做過(guò)一項(xiàng)研究，一共有72名小學(xué)教師和1 034名三年級(jí)學(xué)生參與其中.他們用這些教師當(dāng)年畢業(yè)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)作為他們學(xué)科知識(shí)水平的依據(jù).研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高級(jí)數(shù)學(xué)概念（除法與文字題、長(zhǎng)度與體積、分?jǐn)?shù)加法等）十分重要.馬倫斯等解釋說(shuō)這種關(guān)系看起來(lái)應(yīng)該是合乎邏輯的，因?yàn)橹挥挟?dāng)教師深刻理解之后，他們才有可能深入淺出地講解[5].今天看來(lái)，這種評(píng)價(jià)的局限也是十分顯然的.因?yàn)槔每荚嚦煽?jī)，只能反映教師的計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力.數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)是否僅僅局限于此？數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)究竟應(yīng)當(dāng)包括哪些關(guān)鍵性的要素？這些直至今日都尚未得到統(tǒng)一的認(rèn)識(shí).不過(guò)有一點(diǎn)是毋庸置疑的，教師至少應(yīng)該掌握他們所教課程中的數(shù)學(xué)知識(shí).

值得慶幸的是，近二十多年的研究已經(jīng)得到一個(gè)共識(shí)，即教師擁有的學(xué)科知識(shí)，應(yīng)當(dāng)有別于學(xué)生或非教師職業(yè)人士的知識(shí).自1986年舒爾曼（Shulman）提出并強(qiáng)調(diào)了學(xué)科知識(shí)在教學(xué)中的核心地位之后，他的觀點(diǎn)引起了美國(guó)數(shù)學(xué)教育研究者的極大關(guān)注，同時(shí)也推進(jìn)了美國(guó)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)評(píng)價(jià)方法的多元發(fā)展.

1 數(shù)學(xué)課堂觀察

盡管，從表面上看來(lái)，課堂或教學(xué)錄像的觀察研究的是教師的課堂教學(xué)行為，而不是評(píng)價(jià)教師的知識(shí).但是，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)課堂或者錄像的細(xì)致觀察和深入分析，研究者可以洞察教師對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，可以了解課堂教學(xué)實(shí)踐與教師學(xué)科知識(shí)之間的重要關(guān)聯(lián).因此，課堂觀察可以被認(rèn)為是評(píng)價(jià)教師學(xué)科知識(shí)的方法之一.

一個(gè)經(jīng)典的案例是雷哈特（Leinhardt）和史密斯（Smith）對(duì)專(zhuān)家教師課堂教學(xué)的研究[6].具體研究的對(duì)象包括4名專(zhuān)家教師和4名實(shí)習(xí)教師.在經(jīng)歷了3年時(shí)間的課堂觀察之后，研究者確定了8名教師的學(xué)科知識(shí)水平：4名專(zhuān)家教師中的兩個(gè)被評(píng)定為高水平，其余兩個(gè)分別是中等水平和低水平，4名實(shí)習(xí)教師都處于中等以下的水平.為了進(jìn)一步探索課堂教學(xué)行為和學(xué)科知識(shí)之間的相互關(guān)系，他們又從以下途徑收集數(shù)據(jù)：（1）對(duì)8名教師進(jìn)行了3個(gè)月的課堂觀察，記錄了大量的田野筆記，拍攝了10個(gè)小時(shí)的課堂錄像；（2）要求教師對(duì)40個(gè)與分?jǐn)?shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)；（3）對(duì)教師進(jìn)行訪談，訪談內(nèi)容涉及分?jǐn)?shù)的概念、分?jǐn)?shù)的表征以及分?jǐn)?shù)的恒等變化；（4）對(duì)3名專(zhuān)家教師（兩個(gè)高水平，一個(gè)中等水平）關(guān)于分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的一節(jié)課進(jìn)行了細(xì)致的分析.研究發(fā)現(xiàn)：專(zhuān)家教師比實(shí)習(xí)教師具備結(jié)構(gòu)更精致的學(xué)科知識(shí)，而且隨著教師對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深入理解，他們?cè)絹?lái)越能夠連貫地把知識(shí)和課堂教學(xué)聯(lián)系起來(lái)，更有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.這樣的研究在之前的文獻(xiàn)中是鮮見(jiàn)的.

博爾科（Borko）等也提供了一個(gè)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的范例[7]，即從個(gè)人知識(shí)和信念，以及大學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷兩個(gè)角度分析一名數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)教師教學(xué)失敗的原因.他們首先通過(guò)一周的課堂觀察和訪談了解實(shí)習(xí)教師在課堂教學(xué)中的思考和行為.為了進(jìn)一步掌握實(shí)習(xí)教師在大學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，他們特地去觀察了數(shù)學(xué)教學(xué)法課堂，并采訪了教學(xué)法教師以及教師培訓(xùn)項(xiàng)目的負(fù)責(zé)人.博爾科等還采用開(kāi)放式的訪談，深入了解實(shí)習(xí)教師關(guān)于數(shù)學(xué)、教學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等諸多方面的知識(shí)和信念，訪談中的所有問(wèn)題都帶有課堂教學(xué)情境的色彩，這樣更有利于展現(xiàn)受訪者的知識(shí)和信念.比如，當(dāng)學(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)除法遇到困難時(shí)——“我知道兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除，應(yīng)該把其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)顛倒，然后相乘.不過(guò)我不知道為什么除法一下子會(huì)變成了乘法，我也忘記了到底應(yīng)該顛倒哪個(gè)分?jǐn)?shù)”，教師應(yīng)該如何幫助他們.研究發(fā)現(xiàn)，盡管實(shí)習(xí)教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)持有良好的信念，但是由于缺乏數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的深刻理解，因此難以實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的.

最近，斯皮爾（Speer）和瓦格納（Wagner）對(duì)大學(xué)微分方程的課堂進(jìn)行了研究，試圖探究教師的學(xué)科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)（pedagogical content knowledge）對(duì)引導(dǎo)學(xué)生課堂討論（小組或班級(jí)）的影響.他們認(rèn)為，為了達(dá)到預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，教師在引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)討論的過(guò)程中，必然會(huì)涉及如下的認(rèn)知活動(dòng)：第一，認(rèn)識(shí)和理解學(xué)生正確或者錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)推理；第二，認(rèn)識(shí)和理解學(xué)生的觀點(diǎn)是否有利于推動(dòng)課堂教學(xué)目標(biāo)的完成；第三，認(rèn)識(shí)和理解如何在學(xué)生已有觀念的基礎(chǔ)上發(fā)展他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解.為了完成上述認(rèn)知活動(dòng)，教師必須依賴(lài)于他們自身的學(xué)科知識(shí)和學(xué)科教學(xué)知識(shí).斯皮爾和瓦格納對(duì)某數(shù)學(xué)家進(jìn)行了個(gè)案研究，共收集了30個(gè)小時(shí)的課堂錄像和18個(gè)小時(shí)的課后訪談.研究者最后根據(jù)錄像和訪談確定教師未能成功引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展討論的4課錄像，并對(duì)此進(jìn)行5個(gè)步驟的精細(xì)分析.研究發(fā)現(xiàn)，即使擁有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)的教師，由于缺乏數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科知識(shí)（specialized content knowledge）與教學(xué)知識(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)討論的時(shí)候，還是會(huì)面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)[8].

從上面的研究范例可知，這些以個(gè)案為載體的課堂觀察，確實(shí)揭示了數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)對(duì)教學(xué)實(shí)踐的重要意義.

21世紀(jì)初以來(lái)，美國(guó)許多教育研究機(jī)構(gòu)開(kāi)始著力于標(biāo)準(zhǔn)化課堂觀察的研究，與前面課堂觀察相比，其主要目的是試圖全面掌握教師個(gè)體的教學(xué)狀況.RTOP[9]（Reformed Teaching Observation Protocol）、ITC-COP[10]（Inside the Classroom Observation and Analytic Protocol）、QMI/MKT[11]（Quality of Mathematics in Instruction/ Mathematics Knowledge for Teaching）是美國(guó)當(dāng)前具有代表性的3個(gè)課堂觀察評(píng)價(jià)方案，從多個(gè)角度關(guān)注課堂教學(xué)的特點(diǎn)，不僅關(guān)注了課堂的教學(xué)特征，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了教學(xué)中學(xué)科知識(shí)的重要價(jià)值.比如，教師數(shù)學(xué)內(nèi)容的講解是否準(zhǔn)確，教師傳授的知識(shí)是否具有數(shù)學(xué)價(jià)值，教師是否突出了課堂的數(shù)學(xué)特征（數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)解釋、數(shù)學(xué)抽象等），教師是否強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)世界或者其它學(xué)科的聯(lián)系（見(jiàn)表1）.

表1 標(biāo)準(zhǔn)化課堂評(píng)價(jià)方案對(duì)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的觀察點(diǎn)

盡管正如前面提到的那樣，有學(xué)者質(zhì)疑這些評(píng)價(jià)方案評(píng)定的不是教師學(xué)科知識(shí)本身，而是由學(xué)科知識(shí)形成的結(jié)果.但是，如果不否認(rèn)教師的學(xué)科知識(shí)是課堂教學(xué)的基本要素之一，那么通過(guò)在課堂上觀察教師如何使用學(xué)科知識(shí)，間接地評(píng)價(jià)他們的學(xué)科知識(shí)也是可行的.

事實(shí)上，課堂是教師展現(xiàn)學(xué)科知識(shí)的主要場(chǎng)所.因此，對(duì)于教師學(xué)科知識(shí)的評(píng)價(jià)而言，課堂觀察無(wú)疑具有很高的效度.但是，無(wú)法避免的是觀察者對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解也會(huì)影響他們對(duì)教師評(píng)價(jià)的客觀性.比如，教師課堂講授的知識(shí)是否具有重要的數(shù)學(xué)價(jià)值？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的理解，往往是因人而異的，依賴(lài)于觀察者對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).再如，判斷教師的數(shù)學(xué)解釋是否合理準(zhǔn)確，也依賴(lài)于觀察者的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及對(duì)評(píng)價(jià)方案的理解.也正是考慮到了這一點(diǎn)，ITC-COP項(xiàng)目組在觀察者進(jìn)入課堂之前，通常會(huì)花兩天的時(shí)間進(jìn)行培訓(xùn).QMI/MKT研究小組則是花了將近兩年的時(shí)間來(lái)討論評(píng)價(jià)方案的適用性.RTOP課題組還提供了網(wǎng)上在線培訓(xùn).值得提醒的是，為了評(píng)價(jià)教師的學(xué)科知識(shí)水平，往往需要評(píng)價(jià)者進(jìn)行多次的課堂觀察，否則很可能得到片面的結(jié)論.然而，實(shí)施大樣本的課堂觀察研究，需要大量的人力和物力，對(duì)任何研究者來(lái)說(shuō)都是一個(gè)沉重的負(fù)擔(dān).

2 數(shù)學(xué)任務(wù)的訪談（以除法為例）

數(shù)學(xué)任務(wù)的訪談，也是評(píng)價(jià)教師知識(shí)常見(jiàn)的方法之一.用于評(píng)價(jià)教師學(xué)科知識(shí)的數(shù)學(xué)任務(wù)可以是書(shū)面的問(wèn)題，也可以是口頭訪談的一部分.下面，以除法為例，來(lái)說(shuō)明這種研究方法的進(jìn)展.

美國(guó)早期研究者采用的數(shù)學(xué)任務(wù)和用于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題并無(wú)差別.比如，格雷伯（Graeber）、費(fèi)希拜因（Fischbein）等設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)任務(wù)，乘法問(wèn)題有12個(gè)，如：高速公路，汽車(chē)行駛的速度是2公里/分鐘，假設(shè)車(chē)速不變，該車(chē)15分鐘行駛多少路程？1公斤的洗滌劑可以生產(chǎn)15公斤的肥皂，0.75公斤的洗滌劑可以生產(chǎn)多少肥皂？除法問(wèn)題有14個(gè)，如：5個(gè)朋友一共買(mǎi)了0.75千克的巧克力，平均每人多少？5個(gè)瓶子一共裝了1.25升的啤酒，平均每瓶裝多少[12]？格雷伯等一共對(duì)129名職前教師做了書(shū)面測(cè)試，接著訪談了其中的33人.在訪談中，首先研究者要求受訪者回答類(lèi)似于他們?cè)跁?shū)面測(cè)試中出錯(cuò)的問(wèn)題.如果他們的回答還是錯(cuò)的，那么要求做出解釋.一直到他們能夠正確認(rèn)識(shí)（或被告知）回答錯(cuò)誤為止.然后，再要求受訪者解釋錯(cuò)誤的原因[13].這種書(shū)面測(cè)試和臨床訪談相結(jié)合的方法，可以幫助研究者深入了解教師理解數(shù)學(xué)知識(shí)的程度.但是，眾所周知，“要給學(xué)生一杯水，教師得有一桶水”，教師從事數(shù)學(xué)教學(xué)所需要的學(xué)科知識(shí)的知識(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí).

迪羅西（Tirosh）等[14]在此基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)做了補(bǔ)充.在研究中，他們采用了兩種不同的數(shù)學(xué)任務(wù)：第一，可用于考查學(xué)生的問(wèn)題.除了前面提到的乘除法文字問(wèn)題之外，他們還增加了兩道計(jì)算題：0.38×5.15，3.75÷0.75；第二，6個(gè)命題的判斷、解釋或舉出反例.這6個(gè)命題是：（1）在乘法中，積總是大于乘數(shù)；（2）0.45×90的積大于90；（3）在除法中，商一定小于被除數(shù)；（4）在除法中，除數(shù)一定是整數(shù)；（5）60÷0.65的商一定大于60；（6）70÷的商一定小于70.顯然，第二種數(shù)學(xué)任務(wù)涉及數(shù)學(xué)證明和推理，需要教師深刻理解乘除法的意義.盡管教師通常不要求學(xué)生掌握這種知識(shí)，但是對(duì)于教師而言，這又是十分必需和特殊的數(shù)學(xué)知識(shí).

鮑爾（Ball）繼續(xù)深入探討這種特殊的數(shù)學(xué)知識(shí).她設(shè)計(jì)了如下的情境問(wèn)題：（1）你能用哪些不同的方法計(jì)算1÷？（2）你能為1÷編寫(xiě)一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)情境的問(wèn)題嗎？（3）假設(shè)學(xué)生問(wèn)7除以0的商是多少，你該如何回答？（4）假設(shè)學(xué)生請(qǐng)你幫他解方程=5，如何教他[15]？諸如此類(lèi)的問(wèn)題，是教師在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到的，為了幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念算法，糾正錯(cuò)誤，教師需要這些不同于學(xué)生、數(shù)學(xué)家、以及其它行業(yè)人員的數(shù)學(xué)知識(shí).

然而，數(shù)學(xué)任務(wù)的訪談，如同課堂觀察一樣，評(píng)價(jià)的過(guò)程同樣依賴(lài)研究者的個(gè)人經(jīng)歷和知識(shí)，所謂“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”，很難形成統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn).其次，由于受到開(kāi)放式訪談，以及數(shù)學(xué)任務(wù)數(shù)量的限制，很難控制研究的信度和效度，獲得的結(jié)論難以推廣.再者，盡管現(xiàn)在使用的數(shù)學(xué)任務(wù)都具有教學(xué)情境的特征，但是這畢竟不是真實(shí)的課堂，教師在任務(wù)上的表現(xiàn)是否和課堂教學(xué)的表現(xiàn)相一致，還值得進(jìn)一步探討.

即便這樣，從發(fā)展的角度來(lái)看，這種研究方法已經(jīng)揭示了數(shù)學(xué)教學(xué)究竟需要什么樣的學(xué)科知識(shí)？數(shù)學(xué)教師，不僅應(yīng)當(dāng)掌握學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的原理，掌握解決問(wèn)題的思想和方法，并能在不同的情境中靈活應(yīng)用.

3 標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)量

近來(lái)，美國(guó)的研究者一致認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)需要一種特殊而復(fù)雜的知識(shí)，他們把它概括為數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)（mathematics knowledge for teaching，簡(jiǎn)稱(chēng)MKT），并各自發(fā)展了不同的概念框架.與此同時(shí)，美國(guó)的研究者又產(chǎn)生了一個(gè)新的研究渴望，試圖發(fā)展有效的測(cè)量工具來(lái)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)教師的MKT水平.于是，標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)量問(wèn)卷立刻受到了眾多研究機(jī)構(gòu)的青睞.

如今，在美國(guó)具有較大影響力的評(píng)價(jià)工具有SII/LMT[16]（Study of Instructional Improvement/Learning Mathematics for Teaching）、DTAMS[17]（Diagnostic Teacher Assessments in Mathematics and Science）、KAT[18]（Knowing for Algebra Teaching）與Scaling Up SimCalc[19].在這4種評(píng)價(jià)工具中，除了DTAMS和KAT中含有部分簡(jiǎn)短的問(wèn)答題之外，其余測(cè)試題都是標(biāo)準(zhǔn)化的選擇題，并且每個(gè)問(wèn)題的答案只作正確和錯(cuò)誤之分，因此使用起來(lái)十分方便，很容易獲得大樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算評(píng)價(jià)工具的信度和效度.

值得提醒的是，在上述4種評(píng)價(jià)工具中，有一點(diǎn)是一致的，即學(xué)科知識(shí)始終是數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)不可或缺的重要部分.不過(guò)，他們對(duì)學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)還是不盡相同的.

3.1 SII/LMT中的學(xué)科知識(shí)

SII/LMT把MKT分成學(xué)科知識(shí)和學(xué)科教學(xué)知識(shí)兩大部分（如圖1）.其中學(xué)科知識(shí)又包含3類(lèi)：一般的學(xué)科知識(shí)（common content knowledge）、專(zhuān)門(mén)的學(xué)科知識(shí)（specialized content knowledge）和橫向的數(shù)學(xué)知識(shí)（knowledge at the mathematical horizon）[20].

首先，一般的學(xué)科知識(shí)是指數(shù)學(xué)教師和學(xué)生同樣具有的數(shù)學(xué)知識(shí).例如，李老師發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)教科書(shū)比原來(lái)的教科書(shū)更加強(qiáng)調(diào)“0”這個(gè)數(shù).于是他設(shè)計(jì)了一些和“0”有關(guān)的命題，打算讓學(xué)生判斷正誤.你認(rèn)為下列哪些命題是正確的？（請(qǐng)選擇“正確”、“錯(cuò)誤”或者“我不確定”作為你的判斷）（1）0是一個(gè)偶數(shù)；（2）0不是一個(gè)數(shù)，但是可以作為數(shù)字的占位符；（3）8可以寫(xiě)成008.

圖1 SII/LMT的概念框架

第二，專(zhuān)門(mén)的學(xué)科知識(shí)是指教師教學(xué)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)當(dāng)區(qū)別于其它職業(yè)人士（比如會(huì)計(jì)、工程師）的數(shù)學(xué)知識(shí).比如，學(xué)生在做兩位數(shù)乘法的時(shí)候，一共出現(xiàn)了如下3種方法（如圖2）.請(qǐng)問(wèn)其中哪些方法可以用來(lái)計(jì)算任何兩位數(shù)的乘法？

圖2 計(jì)算兩位數(shù)的乘法

從上面所舉例子中可以看到，教師在分析學(xué)生的錯(cuò)誤，或在判斷非標(biāo)準(zhǔn)的算法是否可以推廣的時(shí)候，需要一種特殊的數(shù)學(xué)知識(shí).這樣的知識(shí)在許多教學(xué)情境中，都是不可或缺的.譬如：（1）講解數(shù)學(xué)概念；（2）回答學(xué)生提出的“為什么”；（3）運(yùn)用例子，使得數(shù)學(xué)知識(shí)具體化；（4）識(shí)別具體表征中的要素；（5）把表征和潛在的概念相聯(lián)系，而且在不同表征之間建立關(guān)系；（6）把所教的知識(shí)與前后的知識(shí)相聯(lián)系；（7）向家長(zhǎng)解釋數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和意義；（8）評(píng)價(jià)和改編教科書(shū)中的數(shù)學(xué)內(nèi)容；（9）簡(jiǎn)化和加深數(shù)學(xué)任務(wù)的難度；（10）評(píng)價(jià)學(xué)生論斷的合理性；（11）提供數(shù)學(xué)解釋?zhuān)唬?2）選擇便于使用的數(shù)學(xué)定義；（13）反思數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言使用的合理性；（14）提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題；（15）按照具體的目標(biāo)選擇表征；（16）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)的等價(jià)性.上述任何一項(xiàng)任務(wù)都是教師常規(guī)性工作的組成部分，這些工作需要特殊的數(shù)學(xué)理解和推理[21].

第三，橫向的數(shù)學(xué)知識(shí)，類(lèi)似于克萊因（Klein）所說(shuō)的“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”知識(shí).比如，冉司克斯（Zazkis）曾經(jīng)舉過(guò)一個(gè)例子：老師請(qǐng)三年級(jí)的學(xué)生數(shù)如圖3中有多少個(gè)三角形，有一組學(xué)生數(shù)到32個(gè)，還有一組卻數(shù)到27個(gè).盡管老師事先沒(méi)有數(shù)過(guò)，但是她卻可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，判斷這些回答都是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿切蔚膫€(gè)數(shù)一定是5的倍數(shù)[22].

比如，9年級(jí)的學(xué)生問(wèn)：“為什么隨著|x|的增大，拋物線y=x2和y=x2+1看起來(lái)是無(wú)限靠攏的？”這就需要教師具備極限、導(dǎo)數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，否則很難做出合理的解釋.不妨在坐標(biāo)軸的右側(cè)作直線x=x0，交兩拋物線于A、B兩點(diǎn).并過(guò)A、B作拋物線的切線，同時(shí)過(guò)B點(diǎn)作拋物線y=x2+1的法線，與拋物線y=x2在A點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)C（如圖4）.顯然，無(wú)論x0如何變化，|AB|=1.事實(shí)上，圖像的靠攏實(shí)際上是由拋物線法線方向的距離引起的.如在B點(diǎn)可以用|BC|來(lái)近似表示.此時(shí)，兩條切線的斜率為k=2x0，tan∠ABC=k=2x0，于是有：

圖3 正五邊形中三角形個(gè)數(shù)

圖4 平移的拋物線

正如鮑爾等指出的那樣，橫向的數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)教師對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的初步理解和認(rèn)識(shí)，它有利于教師從更廣闊、更特殊的視角理解數(shù)學(xué)教學(xué).具體而言，這種知識(shí)有利于教師：（1）判斷數(shù)學(xué)知識(shí)的重要意義；（2）傾聽(tīng)學(xué)生回答的數(shù)學(xué)價(jià)值；（3）突出數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)；（4）在不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間形成聯(lián)系；（5）評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)知識(shí)的地位；（6）抓住數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的本質(zhì).盡管橫向的數(shù)學(xué)知識(shí)在概念上有所論述，但是SII/LMT如今還尚未形成一套比較成熟的測(cè)試題.最后值得指出的是，鮑爾等人關(guān)于MKT的研究也已經(jīng)引起了其它國(guó)家研究者的高度重視[23].

3.2 DTAMS中的學(xué)科知識(shí)

DTAMS也把MKT分成兩部分，即學(xué)科知識(shí)和教學(xué)教學(xué)知識(shí).其中有四分之三的測(cè)試題評(píng)價(jià)的是教師的學(xué)科知識(shí)，而且DTAMS中所界定的學(xué)科知識(shí)就是教師所教的數(shù)學(xué)知識(shí)，也就是前面SII/LMT中一般的學(xué)科知識(shí).這些數(shù)學(xué)知識(shí)在DTAMS的測(cè)試題中被分成了3類(lèi)：

第二，概念性的理解.例如，哪兩個(gè)數(shù)在1.35和1.36之間？（A 1.3和1.；B 0.351和0.352；C 1.345和1.354；D 這兩個(gè)數(shù)之間沒(méi)有其它數(shù)）

第三，高水平的思維.例如，矮先生身長(zhǎng)3枚回形針，高先生身高5顆紐扣.如果2顆紐扣和3枚回形針一樣長(zhǎng)，請(qǐng)問(wèn)高先生身高多少枚回形針？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.

3.3 KAT中的學(xué)科知識(shí)

在KAT的概念框架中一共有3個(gè)維度（如圖5），分別是：代數(shù)內(nèi)容（algebra content）、數(shù)學(xué)知識(shí)域（domain of mathematical knowledge）和代數(shù)教學(xué)知識(shí)（algebra knowledge for teaching）.其中學(xué)科知識(shí)可以分成兩類(lèi)：

圖5 KAT的框架

第一，中學(xué)代數(shù)知識(shí)，即教師所教的數(shù)學(xué)知識(shí)，也就是一般的學(xué)科知識(shí).例如，下面哪個(gè)情境可以用指數(shù)型函數(shù)來(lái)表示？（A小球自由下落t秒后的高度h；B假設(shè)某社區(qū)平均每年增長(zhǎng)人數(shù)n，t年后社區(qū)的人口數(shù)p；C某種品牌轎車(chē)，平均每年降價(jià)d%，t年后轎車(chē)價(jià)格V）

第二，高于中學(xué)數(shù)學(xué)課程的高等數(shù)學(xué)知識(shí)（advanced knowledge），類(lèi)似于前面所說(shuō)的橫向的數(shù)學(xué)知識(shí).例如，在下列哪個(gè)集合中，命題“若ab=0，則a=0或b=0”總成立？（A 實(shí)數(shù)集；B 復(fù)數(shù)集；C [6]；D [5]；E 2×2實(shí)矩陣）

3.4 Scaling Up SimCalc中的學(xué)科知識(shí)

Scaling Up SimCalc把MKT分成6類(lèi)，包括：（1）解釋非常規(guī)的數(shù)學(xué)表征；（2）選擇能反映課程核心觀念的問(wèn)題和例子；（3）區(qū)分日常語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用；（4）在不同的表征之間形成聯(lián)系；（5）理解模型和表征的意義；（6）評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)命題的合理性.盡管Scaling Up SimCalc沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)進(jìn)行明確的劃分，但是測(cè)試題還是可以分成以下3類(lèi)：

第一，要求教師分析學(xué)生的特殊解法，這相當(dāng)于SII/LMT中專(zhuān)門(mén)的學(xué)科知識(shí).例如，張老師要求學(xué)生根據(jù)表格中的x和y的比列關(guān)系（如圖6所示），在空格中填上相應(yīng)的數(shù)據(jù).有一個(gè)學(xué)生是這樣計(jì)算的：x=6，y==24.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)方法在什么條件下總是可行的？（A 只有當(dāng)x和y都是整數(shù)時(shí)；B 只有當(dāng)表中最后兩行的數(shù)據(jù)都是偶數(shù)時(shí)；C 只有當(dāng)表中最后一行的數(shù)據(jù)是它前一行數(shù)據(jù)的兩倍時(shí)；D 只要x和y滿(mǎn)足比列關(guān)系；E 只要y是x的一次函數(shù)）

圖6 分析學(xué)生特殊解法

第二，要求教師對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系或圖像做出解釋.這些問(wèn)題評(píng)價(jià)的教師學(xué)科知識(shí)往往介于一般的學(xué)科知識(shí)和專(zhuān)門(mén)的學(xué)科知識(shí)之間，很難做出區(qū)分.比如，黃老師要求學(xué)生解釋為什么圖7中路程與時(shí)間的函數(shù)圖像（橫軸表示時(shí)間，縱軸表示路程）表示的不是比例關(guān)系.學(xué)生的下列解釋哪些是正確的？（A 圖像不可能是曲線；B 路程和時(shí)間之間的關(guān)系不可能總是不變的；C 圖像畫(huà)得不好；D 曲線上不同點(diǎn)處路程與時(shí)間的比值不同；E 曲線上路程與時(shí)間的比不總是一個(gè)常數(shù)）

圖7 解釋函數(shù)圖像

第三，要求教師解答和和學(xué)生一樣的數(shù)學(xué)題，也就是一般的學(xué)科知識(shí).在此不再贅述.

以上的分析表明，研究者對(duì)于數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)，盡管已經(jīng)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，但尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，仍然缺乏明確的理論指導(dǎo).因此，很難讓人信服它們所評(píng)價(jià)的范疇就是數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的所有方面.而且，教育現(xiàn)象是復(fù)雜多變的，比如就判斷學(xué)生的錯(cuò)誤而言，學(xué)生在課堂上誤解知識(shí)可能是由自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以及所學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性引起的.因此，簡(jiǎn)單對(duì)錯(cuò)的判斷很難如實(shí)反映教師的學(xué)科知識(shí)水平.評(píng)價(jià)工具中標(biāo)準(zhǔn)化的選擇以及簡(jiǎn)短的反饋，在美國(guó)已經(jīng)受到了不少教師的抵制.他們認(rèn)為教師的知識(shí)既是內(nèi)隱緘默，又是情境化、實(shí)踐性的，許多重要的方面不是僅靠標(biāo)準(zhǔn)化的選擇或簡(jiǎn)短的問(wèn)答所能評(píng)價(jià)的.他們毫不留情地批評(píng)道：采用標(biāo)準(zhǔn)化的評(píng)價(jià)工具，事實(shí)上就是對(duì)教師知識(shí)的藐視和踐踏.

4 結(jié) 語(yǔ)

美國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的評(píng)價(jià)已經(jīng)經(jīng)歷了比較長(zhǎng)的歷史發(fā)展，發(fā)展了多種評(píng)價(jià)的方法，對(duì)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)也發(fā)生了深刻的變化.不過(guò)，各種方法的利弊也是顯然的，尚缺乏強(qiáng)有力的理論指導(dǎo)，因此多種方法的綜合使用可能是目前數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)評(píng)價(jià)的最佳選擇.

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