付 瑤，李 楠，范欽杰

（1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000；2.吉林師范大學(xué) 博達(dá)學(xué)院，吉林 四平 136000）

0 引 言

1972年洛倫茲發(fā)表了《蝴蝶效應(yīng)》的文章后，激發(fā)啟了人們對(duì)混沌學(xué)研究的濃厚興趣。混沌不僅是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，而且是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所固有的特性。同時(shí)，混沌學(xué)也不是獨(dú)立存在的一門學(xué)科，它與其它各門科學(xué)之間相互依靠、相互促進(jìn)。而且混沌是無處不在的，在實(shí)踐生產(chǎn)中應(yīng)用是非常廣泛的。隨著混沌理論研究的逐漸深入，拓?fù)潇卮笥诹阋呀?jīng)被廣大學(xué)者作為刻畫系統(tǒng)復(fù)雜程度的一個(gè)重要指標(biāo)。它是迄今為止唯一的拓?fù)涔曹棓?shù)值不變量。并且在研究問題過程中也存在一定的局限性，所以僅僅用拓?fù)潇貋砜坍嬒到y(tǒng)的復(fù)雜程度是不夠的。于是廣大學(xué)者開始把目光轉(zhuǎn)移到了系統(tǒng)的中心測(cè)度上。

已有的成果表明：一個(gè)緊致系統(tǒng)全部重要的動(dòng)力性態(tài)完全集中在它的測(cè)度中心上［1］，所以研究極小系統(tǒng)的性態(tài)就能夠滿足需要。從而在極小系統(tǒng)基礎(chǔ)上，構(gòu)建了幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)。這對(duì)更深入研究緊致動(dòng)力系統(tǒng)的本質(zhì)有重要地啟示作用，也揭示了幾乎周期點(diǎn)稠密集與Li－Yorke混沌的關(guān)系.

前期的研究成果已經(jīng)對(duì)幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)的混沌性有了一個(gè)初步認(rèn)識(shí)，經(jīng)過對(duì)問題深入的探討，筆者對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力性態(tài)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。

1 基本概念

設(shè)X為緊致度量空間，f：X→X為從X到自身的連續(xù)映射。

定義1［2］稱y∈X為x的ω極限點(diǎn)，如果存在正整數(shù)的子序列｛ni｝，使ni→∞。x的所有ω極限點(diǎn)的集合叫作x的ω極限集，記作ω（x，f）。

定義2［3］稱x是幾乎周期點(diǎn)的，如果對(duì)任意ε＞0，存在整數(shù)N＞0，使得對(duì)任何q≥0，存在整數(shù)r，q＜r≤q＋N滿足d（fr（x），x）＜ε。f的全體幾乎周期點(diǎn)的集合記作A（f）。

定義3［4］稱M?X為（相對(duì)于f）極小集，如果M是f的非空不變閉集且M中不存在f的非空不變的真子集。如果X本身是極小的，則稱f為極小映射。

定義4［5］稱f為（拓?fù)洌﹤鬟f的，如果對(duì)X的任何非空開集U，V，存在n＞0，使得fn（U）∩V≠?。稱軌道在X中稠密的點(diǎn)為f的傳遞點(diǎn)。

定義5［6］設(shè)f是度量空間（X，d）到自身的連續(xù)映射，x，y∈X。如果滿足：

則稱x，y為f的Li－yorke對(duì)；如果一個(gè)不少于兩點(diǎn)的子集中任何不同兩點(diǎn)均是f的Li－yorke對(duì)，則稱該集合為f的Li－yorke混沌集，或簡(jiǎn)單地L－Y混沌集；如果f有一個(gè)由不可數(shù)多點(diǎn)構(gòu)成的L－Y混沌集，則稱它為L(zhǎng)i－yorke混沌。

2 主要結(jié)論及證明

引理1［7］緊致系統(tǒng)（X，f）總存在極小集。

引理2［10］設(shè)M是X的非空閉子集且f（M）?M，則M極小當(dāng)且僅當(dāng)?x∈M＝M。

引理3 設(shè)x∈A（f），則x∈A（f）當(dāng)且僅當(dāng)x∈ω（x，f）且x∈ω（x，f）是極小的。

證明見文獻(xiàn)［8－9］。

引理4［10］下述條件等價(jià)：

1）f是極小的；

2）若ω（x，f）?X閉的，且對(duì)f不變，則ω（x，f）＝X或ω（x，f）＝?。

證明 1）?2），設(shè)ω（x，f）?X閉，且對(duì)f不變。又設(shè)因此

2）?1），設(shè)x∈X。顯然是X對(duì)f不變的非空閉子集是極小的。

引理5［10］若X緊致，則f傳遞當(dāng)且僅當(dāng)存在x∈X使得ω（x，f）＝X。

證明 令x∈X使得ω（x，f）＝X，同時(shí)，令U，V為X中的任意非空開子集。于是存在n＞m＞0，使得即有f是拓?fù)鋫鬟f的。

另一方面令f是拓?fù)鋫鬟f的。對(duì)任意的n＞0，存在半徑為的有限多個(gè)開球覆蓋X。當(dāng)n取任意正整數(shù)時(shí)，所得這些開球覆蓋可寫成序列：U1，U2，…。對(duì)任意的正整數(shù)k，這個(gè)集合均是X的稠密開子集。因此知X是完備的，則根據(jù)Bairc綱定理［11］，存在。因?yàn)閤的軌道穿過每個(gè)Uk，于是orb（x，f）在X中是稠密的。此時(shí)f拓?fù)鋫鬟f蘊(yùn)涵著f（X）＝X。則存在y∈X使得f（y）＝x。若y∈orb（x，f），則x是周期點(diǎn)且ω（x，f）＝X。否則y∈ω（x，f），這蘊(yùn)涵x∈ω（x，f），于是ω（x，f）?orb（x，f）。進(jìn)而這是因?yàn)棣兀▁，f）是閉集。從而也有ω（x，f）＝X。

定理1 設(shè)（X，f）為緊致系統(tǒng)，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f中存在Li－Yorke混沌。

證明f：X→X是連續(xù)自映射：ω（x，f）→ω（x，f）的轉(zhuǎn)移自映射＝X，而ω（x，f）由文獻(xiàn)［12］中定理1說明存在SS混沌集。顯然存在Li－Yorke混沌集。所以f中存在Li－Yorke混沌集，定理得證。

定理2 若幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)具有混合性，則該系統(tǒng)是Li－Yorke混沌的。

引理6［10］設(shè)（X，f）為緊致系統(tǒng)，則f是拓?fù)浠旌系模N(yùn)涵f是Li－Yorke混沌的。

定理2的證明 根據(jù)引理6的敘述，顯然知道定理2成立。

定理3 設(shè)（X，f）為緊致系統(tǒng)，若x∈A（f）（x∈X）且＝X，則f是拓?fù)浔闅v的。

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［13］中推論3顯然可以得到f是拓?fù)鋫鬟f的，設(shè)U，V是2個(gè)非空開子集，U，V∈（X，f），肯定?n＞0，可以有f－n（U）∩V≠?。由＝X知?x∈A（f）∩f－n（U）∩V，即有x∈V滿足fn（x）∈U。同時(shí)，根據(jù)f－n（U）的連續(xù)性可以判斷，存在x的鄰域D?V，使得f－n（D）?U。而且x∈X，x∈A（f），于是?L使得即f是拓?fù)浔闅v的。

3 結(jié) 論

拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)和遍歷理論的研究是相輔相成的，其中一者研究的突破和進(jìn)展或新思路新方法，必然促進(jìn)另一者相關(guān)理論的發(fā)展。因?yàn)橥負(fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)可以自然的視為一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)；并且任何遍歷系統(tǒng)都具備相應(yīng)的拓?fù)浔硎?。同時(shí)，它們的基礎(chǔ)理論有很多著極為相似的表述。而且拓?fù)浞椒ㄔ谘芯恐杏衅渚窒扌?。純拓?fù)浞椒ú荒芙鉀Q這類問題，但是應(yīng)用遍歷理論的有關(guān)知識(shí)和方法卻可以對(duì)問題繼續(xù)討論。所以在研究問題時(shí)，對(duì)拓?fù)浔闅v性也進(jìn)行了討論。

以往的研究都是集中在對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力性態(tài)上，而筆者的創(chuàng)新之處就在于研究系統(tǒng)中心測(cè)度的性質(zhì)，從而推斷整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)。于是經(jīng)過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)的混沌性態(tài)；闡明了該系統(tǒng)的拓?fù)浔闅v性。同時(shí)在問題研究的過程中發(fā)現(xiàn)想要找到產(chǎn)生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結(jié)果建立起聯(lián)系，并簡(jiǎn)化相關(guān)的結(jié)論。

以往的研究都是集中在對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力性態(tài)上，而筆者的創(chuàng)新之處就在于研究系統(tǒng)中心測(cè)度的性質(zhì)，從而推斷整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)。于是經(jīng)過努力證明了Li－Yorke混沌集在幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)中存在的條件；說明了混合的幾乎周期點(diǎn)稠密系統(tǒng)的混沌性態(tài)；闡明了該系統(tǒng)的拓?fù)浔闅v性。同時(shí)在問題研究的過程中發(fā)現(xiàn)想要找到產(chǎn)生Li－Yorke混沌的充分必要條件并不容易，所以希望通過筆者的研究能夠把已有的結(jié)果建立起聯(lián)系，并簡(jiǎn)化相關(guān)的結(jié)論。

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