于萬波周洋

(大連大學信息工程學院,大連 116622)

1 引言

目前,混沌現(xiàn)象的研究仍然在繼續(xù),從發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象到對混沌進行數(shù)學描述,從混沌控制到混沌同步再到系統(tǒng)的混沌化,研究人員一直在混沌的各個分支領域進行研究,取得了許多有價值的結(jié)果[1-8].系統(tǒng)混沌化是目前混沌領域的研究熱點問題之一,通過修改系統(tǒng)的參數(shù)或者重新構(gòu)造系統(tǒng)等使其出現(xiàn)混沌.混沌化的研究可以產(chǎn)生混沌序列用于圖像加密等,也可以利用產(chǎn)生的混沌系統(tǒng)進行液體氣體混合等實際工作領域.基于混沌本質(zhì)的探索以及混沌化的需要,文獻[9—15]對混沌的本質(zhì)以及混沌化的一些方法進行了研究,給出了一些混沌化的新方法.文獻[16]研究了調(diào)整小波函數(shù)使其混沌化的問題,文獻[17]研究了平面單位區(qū)域內(nèi)二次函數(shù)的混沌特性,得到的結(jié)論是標準二次映射是Li-Yorke混沌的,也是Devaney混沌的.事實上,在滿足一定條件的情況下,還存在大量的二次函數(shù)是混沌的.二次函數(shù)都可以使用平移與縮放等變換化為標準二次函數(shù),其混沌特性不變.對單位區(qū)域上的非標準二次函數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn),可以使用平移與縮放的方法把非標準二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為標準二次函數(shù)或者亞標準函數(shù),轉(zhuǎn)化前后其混沌特性是不變的,即其迭代序列的震蕩特性是相同的.另外,一個滿射函數(shù)和單位區(qū)域內(nèi)標準函數(shù)復合后仍然是單位區(qū)域內(nèi)標準函數(shù),這樣,就可以把所有的二次函數(shù)變換到單位區(qū)域中進行研究,研究范圍可以縮小到單位區(qū)域中來.單位區(qū)域內(nèi)的標準函數(shù)是重要的,既是研究混沌的本質(zhì),也是研究混沌化的方法,文獻[18—20]就是研究混沌化方法,并利用混沌化的方法產(chǎn)生序列進行圖像加密等,所以該類問題有必要深入研究.

本文工作是文獻[16,17]中研究工作的繼續(xù),是在曲線研究的基礎上繼續(xù)研究單位區(qū)域內(nèi)曲面的混沌特性.

2 使用雙二次有理貝賽爾曲面構(gòu)造函數(shù)

鑒于函數(shù)圖像的幾何形狀與混沌特性有直接關系,又因為有理貝賽爾曲面的控制點可以調(diào)整曲面的形狀,所以使用有理貝賽爾參數(shù)曲面來研究曲面函數(shù)的混沌特性.作為有理貝賽爾曲面的一個特例,雙二次有理貝塞爾曲面定義如下:

wi,j是權(quán)值,用來決定曲面的細節(jié)形狀(例如,這些參數(shù)可以確定該曲面的截面是拋物線、橢圓或者雙曲線等);bi,j是控制點,用來決定曲面主體結(jié)構(gòu)形狀;雙二次有理貝塞爾曲面的變量x,y,z中的每個變量都需要9個控制點,然后由x,y,z構(gòu)成空間曲面,是不超過4次的曲面.

在迭代過程中,如果使用x,y,z表示曲面,把u,v用x,y表示難度比較大,不易于實現(xiàn)迭代操作,所以在本文中直接使用u,v作為自變量進行研究.研究用的迭代表達式為

在(2)式中,f(u,v)與g(u,v)分別表示兩個曲面,u,v為自變量,定義域為[0,1]×[0,1],根據(jù)有理貝塞爾曲面的定義,當9個控制點為(0,0,0),(0,0.5,0),(0,1,0),(0.5,0,0),(0.5,0.5,m),(1,0,0),(1,0.5,0),(1,1,0)時,曲面的形狀如圖1(b)所示,四條邊界都在坐標軸上,圖形向上凸起,最大值為1.其中

我們稱這種曲面為單位區(qū)域內(nèi)的標準雙二次有理貝塞爾曲面.

研究發(fā)現(xiàn),當(2)式中的兩個曲面有一個是標準雙二次有理貝塞爾曲面,另外一個曲面限制在單位區(qū)域內(nèi),迭代式(2)極易出現(xiàn)混沌.下面對這類曲面函數(shù)迭代進行研究.

3 單位區(qū)域內(nèi)標準雙二次有理貝塞爾曲面迭代研究

隨機產(chǎn)生參數(shù) kij與 wij,i=1,2,···,9,j=1,2,···,9,利用(3)式計算m,構(gòu)造一個單位區(qū)域內(nèi)的標準雙二次有理貝塞爾曲面;然后隨機生成控制點bij,i=1,2,···,9,j=1,2,···,9,構(gòu)造另外一個二次曲面,兩個二次曲面構(gòu)成迭代表達式.利用該表達式進行迭代,平均每迭代7,8次就可以出現(xiàn)一個混沌,說明在單位區(qū)域的有理數(shù)中,混沌的參數(shù)要占七分之一或者八分之一,這一數(shù)據(jù)是巨大的.

下面選擇有代表性的三個進行研究.

隨機生成的第一個曲面的權(quán)值參數(shù)以及第二個函數(shù)曲面參數(shù)如下:

迭代表達式(1)的參數(shù)

迭代表達式(2)的參數(shù)

迭代表達式(3)的參數(shù)

這些參數(shù)對應的圖形以及迭代后的吸引子圖形如圖1—3所示.

圖1到圖3在迭代的過程中,都是從u=0.3,v=0.6開始的,那么如果從其他的u,v開始迭代,是否也會出現(xiàn)類似的(近似)吸引子圖形呢？讓u與v都從0.01開始,迭代到0.99,步長為0.01,嵌套循環(huán);對于每個u,v,迭代600次,去掉前100次,繪制后500次得到的點,結(jié)果繪制出的(近似)吸引子圖形如圖4所示,其形狀與圖1至圖3基本相同.這也說明了吸引子是不與初始迭代值有關的.

圖1 迭代表達式(1)的曲面與吸引子 (a)吸引子;(b)標準曲面;(c)隨機生成的曲面

圖2 迭代表達式(2)的曲面與吸引子 (a)吸引子;(b)標準曲面;(c)隨機生成的曲面

圖3 迭代表達式(3)的曲面與吸引子 (a)吸引子;(b)標準曲面;(c)隨機生成的曲面

為了更好研究上面迭代式的混沌特性,進一步繪制并觀察其分岔圖,如圖5是迭代式(2)當w(2,3)變化時的分岔圖.

通過大量的實驗觀察,第一個迭代表達式關于k和w的分岔圖都有一定的混沌區(qū)間,如表1所示.當其他參數(shù)不變的情況下,k(1,1)在1.5到4之間變化時,分岔圖呈現(xiàn)出混沌狀態(tài);其他參數(shù)不變的情況下,w(1,1)在-1到0之間變化時,分岔圖呈現(xiàn)出混沌狀態(tài).

表1 迭代表達式(1)的參數(shù)分岔區(qū)間

圖4 多個u,v繪制的吸引子 (a)迭代表達式(1);(b)迭代表達式(2);(c)迭代表達式(3)

圖5 迭代式(1)當w(2,3)變化時的分岔圖 (a)z1分岔圖;(b)z2分岔圖

圖6 迭代曲面與吸引子(迭代式(1)參數(shù)k(2,2)變?yōu)?0)(a)吸引子;(b)標準曲面;(c)隨機生成的曲面

利用表1,可以得到更多的混沌表達式,例如k(2,2)=10時,迭代表達式(1)其他參數(shù)不變,繪制出的吸引子以及其函數(shù)圖形如圖6所示,函數(shù)圖形與圖1(b)相比,函數(shù)圖形上部變平了而下部變陡;與圖1(a)相比,吸引子形狀也有改變.

迭代表達式(2)的參數(shù)分岔區(qū)間如表2所示.

從分岔圖的形狀上看,迭代表達式(2)的分岔圖與迭代表達式(1)的分岔圖有些區(qū)別,當w(2,3)變化時迭代表達式(2)的分岔圖如圖7所示.

利用表2,根據(jù)分岔圖上的混沌區(qū)間可以構(gòu)造出很多新的分形圖,例如當w(2,3)=-0.3,其他參數(shù)不變時,繪制出的曲面圖以及吸引子圖形如圖8所示.

表2 迭代表達式(2)的參數(shù)分岔區(qū)間

圖7 迭代式(2)當w(2,3)變化時的分岔圖 (a)z1分岔圖;(b)z2分岔圖

圖8 w2(2,3)=-0.3,其他參數(shù)不變時繪制的吸引子圖 (a)吸引子;(b)標準曲面;(c)隨機生成的曲面

為了研究多個參數(shù)同時變化時迭代式的混沌特性,繪制了二維分岔圖.圖9是迭代表達式(1)的一個二維分岔圖,圖10是迭代表達式(3)的一個二維分岔圖.

圖9 迭代表達式(2)的二維分岔圖(w2(2,3)w2(2,1)從0到10,步長0.2,迭代的初始值u=0.5;v=0.3)(a)z1關于w(2,1)w(2,3)的分岔圖;(b)z2關于w(2,1)w(2,3)的分岔圖;(c)w2(2,3)關于z1,z2的分岔圖

圖10 迭代表達式(3)的二維分岔圖(w2(3,1)w2(3,2)從0到5,步長0.1,迭代的初始值u=0.5;v=0.3)(a)z1關于w(3,1)w(3,2)的分岔圖;(b)z2關于w(3,1)w(3,2)的分岔圖

圖11 迭代表達式(1)的w2(2,3)變化時的Lyapunov指數(shù)圖,步長0.01;L1是z1的Lyapunov指數(shù),L2是z2的Lyapunov指數(shù)

圖11是迭代表達式(1)的一個參數(shù)變化時的Lyapunov指數(shù)曲線圖,從該圖可以看出其Lyapunov指數(shù)為正數(shù)的區(qū)間.

4 單位區(qū)域上雙二次有理貝賽爾曲面迭代分析

兩個曲面構(gòu)成一個二維迭代表達式,曲面的形狀決定了其是否是混沌的.在第3節(jié)中研究的幾個曲面都是固定第一個曲面的基本形狀,使得其在單位正方形的邊界處函數(shù)值都是0,中間凸起,最大值為1;第二個曲面是隨機生成的.事實上,之所以這種構(gòu)造方法增大了混沌的概率,是因為第一個曲面的形狀與第2個曲面的形狀的差異性,在迭代的過程中易于出現(xiàn)混沌.圖12所示是迭代式(3)迭代后的函數(shù)圖像.例如,迭代2次就變成了z1=f(f(u,v),g(u,v))與z2=g(f(u,v),g(u,v)),如此類推,最后出現(xiàn)混沌.

當兩個曲面形狀相近時,不容易出現(xiàn)混沌狀況,圖13所示是一個沒有出現(xiàn)混沌的迭代.從圖13可以看出,隨著迭代次數(shù)的增加,z1和z2已經(jīng)逐漸收斂.

圖12 迭代表達式(3)多次迭代之后的曲面圖形 (a)迭代2次;(b)迭代4次;(c)迭代8次;(d)迭代16次

圖13 一個收斂的迭代表達式多次迭代之后的曲面圖形 (a)迭代2次;(b)迭代4次;(c)迭代8次;(d)迭代16次

從大量的實驗結(jié)果看,構(gòu)成迭代表達式的兩個曲面形狀相近就不易出現(xiàn)混沌,很容易收斂;兩個曲面呈現(xiàn)對稱或者近似對稱,也不會出現(xiàn)混沌;一般當?shù)霈F(xiàn)混沌時,另外一個非標準函數(shù)曲面覆蓋區(qū)域越大,混沌的區(qū)間也越大.

5 圖像作為離散曲面的混沌特性研究

圖像本質(zhì)上是一個離散的函數(shù),調(diào)整圖像,可以構(gòu)造出混沌映射.基本的構(gòu)造方法是把圖像調(diào)整到長寬以及顏色值一樣,本文是都調(diào)整到1到256,這樣就可以讓圖像的下標與圖像的顏色值進行交換,以便實現(xiàn)類似離散動力系統(tǒng)的迭代.

圖14中顯示了把大小為480×640的兩個圖像調(diào)整為256×256大小,并且把彩色圖像也變?yōu)榛叶葓D像.

下面以一個簡單的迭代為例對圖像迭代進行研究.

迭代從x1=23,y1=109開始,圖14(b)在(23,109)的灰度值為144,圖14(d)在(23,109)的灰度值為255;取出144,255這兩個顏色值,然后把(144,255)作為下標,到圖14(b)中去查找像素(144,255)位置的灰度值,灰度值為75,再到圖14(d)中去查找像素(144,255)位置的灰度值,灰度值為118;然后再以(75,118)為下標,繼續(xù)迭代取值,如此下去.迭代的序列如下所示:

在12次內(nèi)還沒有重復,也就是還沒有陷入到周期點中;編寫程序,計算得到該迭代次數(shù)小于50000次時,沒有出現(xiàn)過第二個(23,109),也就是(23,109)的周期要大于50000.

圖14 把圖像調(diào)整到256×256大小 (a)圖像1原;(b)圖像1調(diào)整后圖;(c)圖像2原圖;(d)圖像2調(diào)整后

改變初始值進行迭代,計算出當?shù)鹗键c為x1=77,y1=124時,迭代到236次的時候,出現(xiàn)重復,也就是第236次后,其下標也是x1=77,y1=124,所以可以說(77,124)是236階周期點.進一步實驗得到(76,124)也是236階周期點,但是(75,124)與(78,124)迭代50000次還不曾重復.迭代50000次不重復的點很多,例如,x1=7,y1=12時,迭代72500次也沒有出現(xiàn)重復.

下面研究究竟哪些點周期小,哪些點周期大.共迭代25000次,把在25000次迭代之內(nèi)重復的繪制出來,如圖15所示.從圖15看,重復的還是少數(shù)點.

圖15 小于25000的周期點分布示意圖

上面研究的是一種最簡單的圖像迭代,可表示為

其中 f(x,y)與g(x,y)表示兩幅灰度圖像.

實驗結(jié)果還表明,有大量的圖像經(jīng)過這樣組對迭代后很容易收斂,得到的基本結(jié)論是同一物體的不同圖像放在一起進行迭代易于收斂,不同的或者不相近的圖像放在一起不易于收斂,所以初步判斷改進該方法可以用于圖像識別與跟蹤、圖像理解、圖像數(shù)據(jù)庫構(gòu)造等.

6 總結(jié)與展望

本文研究了單位區(qū)域內(nèi)雙二次貝賽爾曲面構(gòu)成的函數(shù)的混沌特性,研究發(fā)現(xiàn)把其中一個曲面調(diào)整為標準曲面,極大地增加了該函數(shù)的混沌概率.隨機生成兩個曲面,構(gòu)造迭代使混沌的概率不到千分之一,使用本文方法可以使得混沌的概率大于百分之十.在大量的混沌函數(shù)中選擇三組函數(shù)進行了詳細研究,通過分岔圖以及Lyapunov指數(shù)曲線圖觀察函數(shù)的混沌特性.利用這些分岔圖可以得到更多的參數(shù),這些參數(shù)能夠構(gòu)造出混沌函數(shù).這是一個構(gòu)造混沌、發(fā)現(xiàn)混沌的較好的實用的方法.

進一步的工作需深入研究雙二次貝賽爾曲面構(gòu)成的函數(shù)的混沌特性,給出一些結(jié)論性的結(jié)果,并給出說明或者證明;研究三個三元迭代式在單位區(qū)域中的混沌特性,例如把洛倫茲系統(tǒng)族當作一個特例進行研究,研究調(diào)整其形狀后什么情形下出現(xiàn)混沌;另外,依據(jù)現(xiàn)有的混沌理論與實驗結(jié)果,繼續(xù)研究圖像迭代的混沌特性,期待發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果,例如把一個圖像和一個標準函數(shù)放到一起迭代,關于這個內(nèi)容,從最近作者研究結(jié)果看,可以作為一種圖像識別的方法;事實上,也可以利用單位區(qū)域函數(shù)的作用研究較規(guī)范的湍流問題,如圓柱形管道中的管內(nèi)的流體的受力、加速度或者速度等可以用標準函數(shù)或者亞標準函數(shù)來表示,這樣可以更好地利用混沌研究湍流問題.

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