李新政1) 白占國(guó)1)? 李燕1) 趙昆1) 賀亞峰2)

1)(河北科技大學(xué)理學(xué)院,石家莊 050018)

2)(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,保定 071002)

1 引言

斑圖是自然界中廣泛存在的一種典型的非線性自組織現(xiàn)象,是在時(shí)間或空間以及時(shí)空上具有某種規(guī)律性的非均勻結(jié)構(gòu).在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)、非線性光學(xué)系統(tǒng)以及生物系統(tǒng)中均可觀測(cè)到種類豐富的斑圖[1-7],雖然各個(gè)系統(tǒng)斑圖形成的具體物理機(jī)制各不同,但斑圖的形成與演化規(guī)律卻具有一定的共性,Turing在1952年首先利用化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散方程組對(duì)斑圖的形成進(jìn)行了理論解釋[8].近年來(lái),介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)作為一個(gè)新興的斑圖系統(tǒng),以其本身發(fā)光可視、形成斑圖所需時(shí)間短、構(gòu)成斑圖的單元(放電絲)可被單獨(dú)測(cè)量、控制參數(shù)調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點(diǎn)備受關(guān)注[9-14].氣體放電系統(tǒng)屬于一種遠(yuǎn)離平衡的非線性系統(tǒng),能在高級(jí)分岔點(diǎn)附近研究復(fù)雜斑圖的形成和演化,在該系統(tǒng)中已從實(shí)驗(yàn)獲得了種類豐富的復(fù)雜斑圖(例如:蜂窩、白眼、超四邊、超六邊、點(diǎn)線斑圖和螺旋波等),經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)復(fù)雜斑圖往往由兩套及兩套以上子結(jié)構(gòu)嵌套而成,歸因于壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用的結(jié)果[15,16].構(gòu)成復(fù)雜斑圖的簡(jiǎn)單子斑圖結(jié)構(gòu)是按照一定的波長(zhǎng)關(guān)系組合的,只有當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)出現(xiàn)的失穩(wěn)模具有兩個(gè)或多個(gè)波長(zhǎng)時(shí),才會(huì)產(chǎn)生具有復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性的超晶格斑圖,因此怎樣獲得多個(gè)不同波長(zhǎng)的失穩(wěn)模以及不同波長(zhǎng)模間的相互作用是研究的熱點(diǎn)[17-19].人們開始利用雙層耦合模型對(duì)實(shí)驗(yàn)中觀察到的超點(diǎn)陣斑圖進(jìn)行理論模擬,主要源于Barrio等[18]提出超點(diǎn)陣斑圖的形成是因?yàn)閮蓚€(gè)模間的相互作用,并獲得了許多有意義的研究成果.例如Yang等[6]用耦合兩個(gè)Brusselator擴(kuò)散反應(yīng)模型得到了黑眼和白眼超點(diǎn)陣斑圖,Berenstein等[20]用雙層耦合的Lengel-Epstein模型加四邊形或六邊形擋板數(shù)值模擬了在化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)觀察到的多種超點(diǎn)陣和振蕩斑圖等.前人在該方面的研究主要集中于模與模的線性相互作用,對(duì)非線性相互作用研究較少.本文采用雙層耦合Brusselator模型,研究模之間的非線性相互作用,獲得了種類豐富的斑圖,通過分析Turing模對(duì)不同斑圖形成的影響,從理論上分析了復(fù)雜斑圖的形成機(jī)理及其動(dòng)力學(xué)行為.

2 模型

利用反應(yīng)擴(kuò)散方程研究Turing分岔斑圖的主要有Lengyel-Epstein模型、Brusselator模型和Schnackenberg模型等,其中Lengyel-Epstein模型和Brusselator模型應(yīng)用最廣[6,20-28].Brusselator模型是以雙變量形式來(lái)描述化學(xué)反應(yīng)過程中化學(xué)元素變化的一類反應(yīng)擴(kuò)散方程組.文中所采用的是雙層Brusselator四變量反應(yīng)擴(kuò)散模型,每層中包括一個(gè)活化子和一個(gè)禁阻子,在無(wú)量綱的情況下該模型形式如下:其中i和 j表示兩子系統(tǒng)1(u1,v1)和2(u2,v2),u和v分別為活化子和禁阻子的濃度;Du和Dv分別為u和v變量的擴(kuò)散系數(shù),α,β為兩子系統(tǒng)非線性耦合系數(shù)(且i/=j),動(dòng)力學(xué)行為由控制參數(shù)a和b所決定.為便于研究與對(duì)比,本文中固定a=3和b=9,兩個(gè)子系統(tǒng)具有相同的均勻定態(tài)解:(u0,v0)=(a,b/a).通過對(duì)該均勻定態(tài)解做線性穩(wěn)定性分析可以得到斑圖動(dòng)力學(xué)中最常見的兩類初級(jí)分岔現(xiàn)象:當(dāng)控制參數(shù)b滿足b＞bH=(1+a2)時(shí),系統(tǒng)經(jīng)√歷Hopf分 岔;當(dāng)控制參數(shù)b滿足:b＞bT=時(shí)√,系統(tǒng)經(jīng)歷Turing分岔并產(chǎn)生特征波數(shù)為k2=a的Turing模.選擇適當(dāng)參數(shù)使系統(tǒng)處于Turing空間,從式中可以看出Turing模的波數(shù)大小反比于兩個(gè)變量的擴(kuò)散系數(shù)的大小.圖1是兩系統(tǒng)的色散關(guān)系:具有較大擴(kuò)散系數(shù)的失穩(wěn)模(長(zhǎng)波模)具有較小的波數(shù),而具有較小擴(kuò)散系數(shù)的穩(wěn)定模(短波模)具有較大的波數(shù).通過合理選擇參數(shù)使兩個(gè)子系統(tǒng)分別具有長(zhǎng)波模和短波模,進(jìn)而討論2模作用引起的復(fù)雜斑圖.

在本文的數(shù)值模擬中,采用歐拉向前差分的方法進(jìn)行積分,數(shù)值模擬在一個(gè)含有N×N(128×128)個(gè)格子的二維平面上進(jìn)行,時(shí)間積分步長(zhǎng)為Δt=0.01個(gè)時(shí)間單位,初始條件為均勻定態(tài)上加一個(gè)很小的隨機(jī)擾動(dòng),微擾幅度Δu=0.03u0,Δv=0.01ν0,邊界條件選用周期性邊界條件,為確保其穩(wěn)定性所有結(jié)果的積分時(shí)間均超過10000個(gè)時(shí)間單位.

圖1 兩耦合系統(tǒng)色散關(guān)系

3 模擬結(jié)果與分析

斑圖的選擇完全取決于兩系統(tǒng)Turing模之間的相互作用,在一定條件下兩個(gè)子系統(tǒng)Turing模會(huì)產(chǎn)生空間共振,若長(zhǎng)波模和短波模滿足共振條件,在短波模所處的子系統(tǒng)中會(huì)形成復(fù)雜的斑圖.由于兩子系統(tǒng)間的相互作用較為復(fù)雜,為簡(jiǎn)化分別通過改變系統(tǒng)反應(yīng)參數(shù)對(duì)Turing模間的相互作用進(jìn)行研究.

3.1 波數(shù)比值的影響

斑圖的形成首先是因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)禁阻子和活化子濃度在時(shí)間及空間上分布不均勻造成的,擴(kuò)散系數(shù)的大小對(duì)于斑圖的形成及類型起著決定性作用.本文通過改變短波模與失穩(wěn)模的波數(shù)比,觀察波數(shù)比的改變對(duì)系統(tǒng)1斑圖的形成及類型選擇的影響.

圖2中是兩子系統(tǒng)波數(shù)比為1:1時(shí),兩子系統(tǒng)出現(xiàn)相同的簡(jiǎn)單六邊形與條紋斑圖.波數(shù)相等時(shí)兩子系統(tǒng)具有相同的Turing模,且地位相同,此時(shí)系統(tǒng)處于初級(jí)Turing分岔點(diǎn)附近,兩波模無(wú)耦合發(fā)生,不會(huì)產(chǎn)生新的模,此時(shí)系統(tǒng)對(duì)失穩(wěn)模的波長(zhǎng)選擇是單一的或一條較窄的波段,同時(shí)斑圖的自組織行為受空間共振規(guī)律的約束,因此系統(tǒng)僅有單一空間尺度的簡(jiǎn)單斑圖形成,從圖形相應(yīng)的二維傅里葉頻譜中可以看出此時(shí)系統(tǒng)僅有一種波數(shù)的波矢,根據(jù)鏡像對(duì)稱圖2(a3)中的兩個(gè)波矢可以寫成q1和-q1,圖2(b3)中的六個(gè)波矢可以約化為三個(gè)大小相等基矢q1,q2,q3(|q1|=|q2|=|q3|).

圖2 波數(shù)比1:1時(shí),(a)Du1=51.7,Dv1=155.5,Du2=51.7,Dv2=155.5,α=0.03,β=0.03;(b)Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75,α=0.045,β=0.045(其中 1 為子系統(tǒng)1圖,2為子系統(tǒng)2圖,3為傅里葉頻譜圖)

兩子系統(tǒng)波數(shù)比大于1時(shí),兩子系統(tǒng)Turing模波長(zhǎng)不同,地位不同,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制,系統(tǒng)1中斑圖受到系統(tǒng)2中斑圖的影響,而系統(tǒng)2中的斑圖不受系統(tǒng)1中斑圖的影響.通過調(diào)整參數(shù)發(fā)現(xiàn):短波模受失穩(wěn)模調(diào)制不僅可以出現(xiàn)系統(tǒng)2中簡(jiǎn)單形狀斑圖(如六邊、條紋、四邊形等斑圖);失穩(wěn)模與短波膜發(fā)生共振偶合時(shí),系統(tǒng)有新的不同波長(zhǎng)失穩(wěn)模產(chǎn)生,若系統(tǒng)處于高級(jí)Turing分岔點(diǎn)附近時(shí)還可以出現(xiàn)豐富的超點(diǎn)陣斑圖.在調(diào)整波數(shù)比的過程中始終保持子系統(tǒng)2中呈現(xiàn)穩(wěn)定的簡(jiǎn)單六邊形斑圖,分別考察了波數(shù)比為整數(shù)2:1,3:1,4:1時(shí)子系統(tǒng)1中產(chǎn)生復(fù)雜斑圖情況.

圖3(a)為波數(shù)比為2:1時(shí)產(chǎn)生蜂窩狀六邊形超點(diǎn)陣斑圖,每個(gè)蜂窩單元邊緣均由短線構(gòu)成,中心區(qū)是相同的圓形點(diǎn)狀斑圖;從相應(yīng)二維傅里葉頻譜中可以看出蜂窩斑圖有三種不同波數(shù)的波矢,每組相同波數(shù)的波矢均可構(gòu)成一六邊形,中心區(qū)為一組等波數(shù)的諧振波矢qi(|q1|=|q2|=|q3|),此外存在兩種次諧振波矢Ki,其中|Ki|=2|qi|,=31/2|qi|滿足三波共振關(guān)系:K1+q2=因此蜂窩斑圖有三套子結(jié)構(gòu)構(gòu)成.圖3(b)為波數(shù)比3:1時(shí)系統(tǒng)1中所呈現(xiàn)的超六邊斑圖,任何一個(gè)單元與周圍均勻分布的六個(gè)相同單元都可組成正六邊形的形狀,形成六邊形的每個(gè)單元與蜂窩超六邊形的中心斑圖相似,從二維傅里葉頻譜中可以看出也是由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=3|qi|),共有三套次生模:第一套新生次諧振模有2組,其中3個(gè)ki模的大小為2|qi|(|Ki|-|qi|=2|qi|,ki//qi),另3個(gè)模的波數(shù)為31/2|qi|,且與諧振模滿足共振關(guān)系:k1+q2=第二套為2組大小相等的新生次諧振模Qi和,分別滿足三波共振關(guān)系:K1+q2=Q1和-K3-q2=第三套共有4組新生次諧振模Mi,Ni,Ri,其中Mi模的大小為4|qi|(|Ki|+|qi|=4|qi|,Mi//qi),Ri模與第一套新生次諧振模平行且大小為另兩組模Ni和的大小相等且滿足三波共振關(guān)系:K1-q3=N1和-K3+q1=.圖3(c)為波數(shù)比為4:1時(shí)系統(tǒng)1中形成的黑眼斑圖,每一個(gè)六邊形晶胞中心為暗斑點(diǎn),向外依次是一個(gè)亮環(huán)和暗環(huán),形成類似于眼睛的結(jié)構(gòu),每三個(gè)單元中心處各有一個(gè)濃度不同的點(diǎn)狀區(qū)域,每一個(gè)單元周圍有六個(gè)這樣的點(diǎn)狀區(qū)域,且這六個(gè)點(diǎn)成正六邊分布,二維傅里葉頻譜顯示由兩組Turing模qi和Ki相互作用形成的(其中|Ki|=4|qi|,Ki//qi).Turing斑圖隨系統(tǒng)2中變量擴(kuò)散系數(shù)的增大,超點(diǎn)陣單元間的距離逐漸增大,相同區(qū)域面積內(nèi)的晶胞減少,即超點(diǎn)陣斑圖的波數(shù)逐漸減小,其原因?yàn)橄到y(tǒng)2中失穩(wěn)模波數(shù)隨擴(kuò)散系數(shù)的增加而減小,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制所引起,但失穩(wěn)模與短波模共振耦合時(shí)新生次諧振模數(shù)量會(huì)逐漸增加,且新生模與固有模或新生次諧振模與諧振模均可形成三波共振關(guān)系.

3.2 耦合系數(shù)的影響

兩子系統(tǒng)波數(shù)相同時(shí)無(wú)論耦合系數(shù)取0—1的任何值,兩系統(tǒng)均出現(xiàn)相同的簡(jiǎn)單斑圖.圖4中分別是耦合系數(shù)為0.045與0.15時(shí)子系統(tǒng)1中所形成簡(jiǎn)單六邊形斑圖,可以看出兩圖形(圖4(a)和(b))基本一致,說(shuō)明此時(shí)耦合系數(shù)與系統(tǒng)斑圖的類型無(wú)關(guān),在波數(shù)比為1:1時(shí)系統(tǒng)始終處于初級(jí)Turing分岔點(diǎn)附近.兩子系統(tǒng)波數(shù)比大于1時(shí),兩波模地位不同,短波模受失穩(wěn)模調(diào)制,兩波模隨耦合系數(shù)的改變耦合共振形式也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化,因此斑圖形式表現(xiàn)出明顯的變化.圖4(c)和4(d)分別是耦合系數(shù)為0.05與0.3時(shí)子系統(tǒng)1中所形成復(fù)雜斑圖與簡(jiǎn)單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中斑圖出現(xiàn)明顯的變化說(shuō)明耦合系數(shù)的大小也可以影響系統(tǒng)Turing分岔行為.

圖3 (a)波數(shù)比2:1時(shí),Du1=6.78,Dv1=15.75,Du2=25.3,Dv2=68.9,α=0.05,β=0.05;(b)波數(shù)比3:1時(shí),Du1=6.48,Dv1=15.55,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=0.035,β=0.035;(c)波數(shù)比4:1時(shí),Du1=1.55,Dv1=3.505,Du2=22.5,Dv2=65.5,α=0.05,β=0.01

圖4 耦合強(qiáng)度對(duì)斑圖的影響 波數(shù)比1:1時(shí),Du1=27.75,Dv1=73.75,Du2=27.75,Dv2=73.75:(a)α=0.045,β=0.045;(b)α=0.15,β=0.15;波數(shù)比2:1時(shí),Du1=6.5,Dv1=14.15,Du2=22.75,Dv2=65.5:(c)α=0.05,β=0.05;(d)α=0.3,β=0.3

模擬過程中發(fā)現(xiàn)在耦合系數(shù)小于0.1時(shí),隨耦合系數(shù)強(qiáng)度的增加系統(tǒng)1中不僅呈現(xiàn)簡(jiǎn)單和復(fù)雜斑圖,還可以呈現(xiàn)簡(jiǎn)單斑圖向復(fù)雜斑圖的變化(如圖5(a)—(e)所示,其中1,2代表系統(tǒng)1,2中斑圖).可以看出兩系統(tǒng)無(wú)耦合時(shí)子系統(tǒng)2中為大點(diǎn)簡(jiǎn)單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中呈現(xiàn)小點(diǎn)簡(jiǎn)單六邊形的斑圖(圖5(a));耦合系數(shù)在0—0.0015時(shí)兩子系統(tǒng)直接形成無(wú)耦合時(shí)簡(jiǎn)單六邊形斑圖(圖5(b));耦合系數(shù)在0.0015—0.04時(shí),系統(tǒng)2穩(wěn)定于簡(jiǎn)單六邊形斑圖,系統(tǒng)1出現(xiàn)超六邊形復(fù)雜圖形(圖5(c)),耦合系數(shù)在0.0015—0.02時(shí)系統(tǒng)1中超點(diǎn)陣斑圖不穩(wěn)定,隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)逐漸演化成簡(jiǎn)單六邊形斑圖(圖5(1b))或區(qū)域點(diǎn)狀斑圖(圖5(2d));耦合系數(shù)在0.04—0.065間取值時(shí)兩子系統(tǒng)同時(shí)呈現(xiàn)并穩(wěn)定于簡(jiǎn)單四邊形斑圖(圖5(e)),但隨耦合系數(shù)增大,系統(tǒng)形成正四邊形的圖形效果會(huì)逐漸降低;耦合系數(shù)大于0.065時(shí)系統(tǒng)只出現(xiàn)短暫的點(diǎn)狀斑圖,而未能形成穩(wěn)定的Turing斑圖.其中耦合系數(shù)在0.025—0.04時(shí),系統(tǒng)1中斑圖出現(xiàn)簡(jiǎn)單斑圖到復(fù)雜斑圖以及簡(jiǎn)單斑圖間的轉(zhuǎn)化(如圖6(a)—(e)所示),兩子系統(tǒng)會(huì)首先同時(shí)呈現(xiàn)簡(jiǎn)單正四邊形斑圖(圖6(a));之后隨模擬時(shí)間增加系統(tǒng)2中相鄰斑點(diǎn)間開始融合,中間背景的面積增大,這種變化在子系統(tǒng)1中表現(xiàn)尤為明顯(圖6(1b));隨模擬時(shí)間的繼續(xù)增加,在系統(tǒng)1增大的背景區(qū)中心位置呈現(xiàn)新的斑點(diǎn),此時(shí)系統(tǒng)斑圖的形狀開始變形(圖6(c));隨著背景區(qū)新生斑點(diǎn)的增多,系統(tǒng)逐漸失去正四邊形的形狀(圖6(d));經(jīng)過一段時(shí)間從無(wú)序到有序的演化后系統(tǒng)2開始呈現(xiàn)簡(jiǎn)單六邊形斑圖,系統(tǒng)1中復(fù)雜斑圖單元也向六邊形發(fā)展(圖6(e)所示);最終系統(tǒng)1穩(wěn)定于超六邊斑圖,而系統(tǒng)2則穩(wěn)定于簡(jiǎn)單六邊形斑圖.從圖形隨耦合強(qiáng)度的變化可以看出:在耦合系數(shù)很小時(shí)失穩(wěn)模對(duì)短波模的調(diào)控作用不明顯,兩系統(tǒng)相互作用較弱,系統(tǒng)斑圖未發(fā)生改變,隨著耦合強(qiáng)度的增大,失穩(wěn)模對(duì)短波模的調(diào)控作用逐漸增強(qiáng),兩系統(tǒng)相互作用增大,進(jìn)而影響到系統(tǒng)所呈現(xiàn)斑圖;非線性模擬過程中失穩(wěn)模對(duì)短波模的影響較線性耦合時(shí)更為明顯[20],且隨系統(tǒng)耦合系數(shù)增大,在高級(jí)Turing分岔與初級(jí)Turing分岔相鄰區(qū)域,系統(tǒng)斑圖可以自發(fā)地轉(zhuǎn)變.系統(tǒng)斑圖出現(xiàn)簡(jiǎn)單斑圖向復(fù)雜斑圖以及簡(jiǎn)單斑圖間的相互轉(zhuǎn)化,在介質(zhì)阻擋放電實(shí)驗(yàn)過程中通過逐步升高電壓的方法已實(shí)現(xiàn)[29,30].分析其原因,驅(qū)動(dòng)電壓的升高使系統(tǒng)變量擴(kuò)散濃度增大的同時(shí),壁電荷斑圖與放電絲斑圖相互作用會(huì)隨之增強(qiáng),兩子系統(tǒng)間的相互作用增強(qiáng)在模擬過程中可以類比成耦合系數(shù)的增大,這與模擬結(jié)果相符.

圖5 系統(tǒng)斑圖隨耦合強(qiáng)度的變化 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5;(a)α=0,β=0;(b)α=0.001,β=0.001;(c)α=0.0375,β=0.0375;(d)α=0.019,β=0.019;(e)α=0.04,β=0.04

圖6 系統(tǒng)參數(shù)不變斑圖隨模擬時(shí)間自發(fā)轉(zhuǎn)變過程 Du1=6.5,Dv1=15.85,Du2=55.3,Dv2=147.5,α=β=0.0375;(a)t=236;(b)t=302.3;(c)t=312.1;(d)t=316.8;(e)t=323

從系統(tǒng)斑圖的轉(zhuǎn)變過程可以看出:短波模與失穩(wěn)模產(chǎn)生共振耦合時(shí),有新的失穩(wěn)模形成,系統(tǒng)處于初級(jí)Turing分岔點(diǎn)附近時(shí),由于系統(tǒng)對(duì)失穩(wěn)模的選擇具有惟一性,耦合新產(chǎn)生的失穩(wěn)模與原失穩(wěn)模存在競(jìng)爭(zhēng),初始失穩(wěn)模被取代時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)新的簡(jiǎn)單斑圖;系統(tǒng)處于高級(jí)Turing分岔點(diǎn)附近時(shí),新生失穩(wěn)模與固有失穩(wěn)模共存,由于失穩(wěn)模具有兩個(gè)不同的波長(zhǎng),新生模與固有模間滿足三波共振從而子系統(tǒng)1中產(chǎn)生超六邊形復(fù)雜斑圖.參數(shù)不變情況下系統(tǒng)1由簡(jiǎn)單正四邊形向超六邊形轉(zhuǎn)變,系統(tǒng)2由四邊形向六邊形轉(zhuǎn)變,證明系統(tǒng)在穩(wěn)定外界條件下可以自發(fā)由初級(jí)分岔向高級(jí)分岔轉(zhuǎn)變,在轉(zhuǎn)變時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)平衡被打破,系統(tǒng)1中的耦合新生失穩(wěn)模會(huì)與固有模形成三波共振,從而子系統(tǒng)1中形成復(fù)雜斑圖;系統(tǒng)2中由于固有模的對(duì)稱性高于新生模,系統(tǒng)斑圖向高對(duì)稱性轉(zhuǎn)變,因此固有失穩(wěn)模會(huì)逐步取代新生模,從而斑圖由四邊形逐漸演化成簡(jiǎn)單六邊形.

4 結(jié)論

通過利用雙層四變量反應(yīng)擴(kuò)散方程,研究了兩子系統(tǒng)在非線性耦合強(qiáng)度下Turing模間的相互作用以及復(fù)雜斑圖的生成機(jī)理.模擬結(jié)果表明子系統(tǒng)間的波數(shù)比值以及耦合強(qiáng)度的大小可以影響兩子系統(tǒng)波矢的共振狀態(tài),兩子系統(tǒng)波矢發(fā)生共振耦合會(huì)有新的不穩(wěn)定波矢產(chǎn)生,在高級(jí)分岔點(diǎn)附近由于不穩(wěn)定模具有兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的波長(zhǎng),且不同波矢間滿足三波共振關(guān)系,從而引起短波模子系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜斑圖.模擬過程中系統(tǒng)斑圖呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單正四邊形向六邊形以及超六邊形點(diǎn)陣斑圖轉(zhuǎn)化,這一結(jié)果從理論驗(yàn)證了不同斑圖間可自發(fā)相互轉(zhuǎn)化的實(shí)驗(yàn)結(jié)論.本文模擬結(jié)果為深入研究反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)超點(diǎn)陣復(fù)雜斑圖有重要的借鑒作用.

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