馬亮亮

（攀枝花學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

近些年，ARIMA、ARMA等經(jīng)典時(shí)間分析方法在股票、網(wǎng)絡(luò)流量、害蟲(chóng)發(fā)生、發(fā)病率等時(shí)間序列中得到了廣泛的應(yīng)用［1－4］。ARMA模型極具彈性，可以表示各種不同類(lèi)型的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，融合了時(shí)間序列分析和回歸分析的優(yōu)點(diǎn)，在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中得到了廣泛的應(yīng)用［5］。然而時(shí)間序列受多種因素綜合影響，是一種非常復(fù)雜的非線性變化系統(tǒng)，基于線性建模的ARMA難以準(zhǔn)確描述時(shí)間序列的非線性變化規(guī)律，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不理想［6］。

實(shí)際科學(xué)研究中經(jīng)常遇到多個(gè)指標(biāo)的實(shí)際問(wèn)題，雖然含有多個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)可以提供豐富的信息，但同時(shí)增加了分析問(wèn)題的復(fù)雜性和難度，而且事實(shí)上，不同指標(biāo)之間往往存在一定的相關(guān)性。那么，能否有一種合理的方法，即用較少的幾個(gè)相互獨(dú)立的指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)的多個(gè)指標(biāo)，使其既減少了指標(biāo)的個(gè)數(shù)，又能綜合反映原指標(biāo)的信息？回答是肯定的，主成分分析 （principal component analysis，PCA）就是用于解決此類(lèi)問(wèn)題的一種處理方法。

為了有效利用各種時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的優(yōu)點(diǎn)，克服單一模型的缺陷，一些學(xué)者基于著名的M-競(jìng)爭(zhēng)理論提出了時(shí)間序列組合預(yù)測(cè)模型，實(shí)證結(jié)果表明，相對(duì)于單一模型，組合預(yù)測(cè)模型能夠較大限度地利用預(yù)測(cè)樣本的各種信息，大幅度地提高時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，比單一模型考慮的問(wèn)題更系統(tǒng)、更全面［7－8］。

為了提高時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，考慮時(shí)間序列的環(huán)境影響因子，本文將主成分分析 （principal component analysis，PCA）和ARIMA相融合，產(chǎn)生一種新的時(shí)間序列組合預(yù)測(cè)模型-PCA-ARIMA，并通過(guò)高血壓發(fā)病率對(duì)PCA-ARIMA預(yù)測(cè)性能進(jìn)行驗(yàn)證。

1 PCA-ARIMA模型預(yù)測(cè)原理

PCA-ARIMA模型的預(yù)測(cè)原理為：首先利用PCA對(duì)時(shí)間序列的影響因子進(jìn)行篩選，只保留對(duì)系統(tǒng)影響較大的變量，然后采用ARIMA模型對(duì)保留變量進(jìn)行預(yù)測(cè)和建模。PCA-ARIMA具體的預(yù)測(cè)流程如圖1所示。

圖1 PCA-ARIMA模型的預(yù)測(cè)流程

2 評(píng)價(jià)指標(biāo)和參比模型

為了評(píng)價(jià)PCA-ARIMA模型性能的優(yōu)劣，選擇PCA-MLR、ARIMA作為參比模型，其中PCA-MLR表示首先采用PCA進(jìn)行影響因子篩選，然后采用多元線性回歸 （multiple linear regression，MLR）進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)；ARIMA表示直接采用ARIMA模型進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，并使用均方誤差 （mean square error，MSE）和平均相對(duì)誤差 （mean absolute percentage error，MAPE）作為模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)。MSE和MAPE分別定義如下：

其中yi表示時(shí)間序列的實(shí)際值表示模型的預(yù)測(cè)值，n表示測(cè)試樣本數(shù)。

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

數(shù)據(jù)資料來(lái)源于甘肅省天水市疾病預(yù)防控制中心提供的1999年1月至2005年12月高血壓發(fā)病率（y）。高血壓發(fā)病率的氣象影響因子有：月平均氣壓x1（pha），月平均氣溫x2（℃），月平均相對(duì)濕度x3（%），月平均風(fēng)速x4（m／s），月降水量x5（mm）。

3.2 主成分分析 （PCA）

利用氣象影響因子：月平均氣壓x1，月平均氣溫x2，月平均相對(duì)濕度x3，月平均風(fēng)速x4，月降水量x5做主成分分析，得主成分的統(tǒng)計(jì)信息如表1所示。

表1 主成分統(tǒng)計(jì)分析

從主成分分析結(jié)果可知，第一主成分的特征根為2.664，它解釋了總變異的52.883%；第二主成分的特征根為1.500，它解釋了總變異的30.003%；前兩個(gè)特征根均大于1，累計(jì)貢獻(xiàn)率82.886%。由于第三個(gè)主成分的特征根較接近于1，故宜取前三個(gè)主成分，此時(shí)累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)93.698%。

前三個(gè)主成分與各個(gè)變量x1，x2，x3，x4，x5的關(guān)系如下：

其中stdxi（i＝1，2，3，4，5）表示標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)變量：

3.3 因子篩選

從主成分分析結(jié)果可知，影響高血壓發(fā)病率變化的因子有很多，而這些因子之間可能存在多重共線性，特別是當(dāng)各個(gè)解釋變量之間存在著高度的相互依賴關(guān)系時(shí)，就會(huì)給回歸系數(shù)的估計(jì)帶來(lái)不合理的解釋?zhuān)?］。

為了得到一個(gè)可靠的預(yù)測(cè)模型，需要從眾多影響因子中挑選出對(duì)高血壓發(fā)病率變化貢獻(xiàn)率大的影響因子，本文采用PCA對(duì)影響因子進(jìn)行篩選。采用SPSS11.5對(duì)高血壓發(fā)病率進(jìn)行主成分分析，表明前三個(gè)主成分包含了原有5個(gè)指標(biāo)93.698%的信息，故采用前三個(gè)主成分（z1，z2，z3）代替原有的5個(gè)變量（x1，x2，x3，x4，x5）進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。

3.4 結(jié)果與分析

3.4.1 MLR擬合

運(yùn)用PCA篩選的對(duì)高血壓發(fā)病率影響顯著的前三個(gè)主成分：z1，z2，z3采用 MLR進(jìn)行預(yù)測(cè)，采用SPSS11.5實(shí)現(xiàn)，得到的線性回歸方程為：

將式 （3） -（5）的z1，z2，z3表達(dá)式代入式（12），得到因變量y與標(biāo)準(zhǔn)自變量stdx1～stdx5的線性回歸方程：

將標(biāo)準(zhǔn)自變量還原為原自變量，得到因變量y與原自變量x1～x5的線性回歸方程為：

模型主要參數(shù)為：相關(guān)系數(shù)r＝0.892；F＝2.138；顯著水平P＝0.0413＜0.05，表明建立的線性方程達(dá)到顯著性要求，該方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)應(yīng)用。

3.4.2 ARIMA擬合

利用高血壓發(fā)病率（y）繪制該序列的樣本自相關(guān)分析圖，可知當(dāng)p＝1，d＝1，q＝2時(shí)，模型的預(yù)測(cè)精度最高，可達(dá)94.50%。由此可見(jiàn)，ARIMA模型的進(jìn)行高血壓發(fā)病率預(yù)測(cè)的效果好于PCA-MLR預(yù)測(cè)效果，主要是經(jīng)過(guò)對(duì)樣本測(cè)試集進(jìn)行差分處理后，序列的趨勢(shì)性等基本消除，序列更接近于平穩(wěn)，波動(dòng)性減小，因此預(yù)測(cè)效果更佳。ARIMA（1，1，2）模型對(duì)應(yīng)的方程為：

式中隨機(jī)項(xiàng)εt是相互獨(dú)立的白噪聲序列，且服從均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布。

3.4.3 PCA-ARIMA擬合

運(yùn)用經(jīng)過(guò)PCA篩選的前三個(gè)主成分（z1，z2，z3）建立PCA-ARIMA模型，得到訓(xùn)練樣本集的預(yù)測(cè)模型PCA-ARIMA（1，1，2）：

將式 （3） -（5）的z1，z2，z3表達(dá)式代入式（16），得到因變量y與標(biāo)準(zhǔn)自變量stdx1～stdx5的PCA-ARIMA（1，1，2）：

將標(biāo)準(zhǔn)自變量還原為原自變量，得到因變量y與原自變量x1～x5的PCA-ARIMA（1，1，2）方程為：

各種預(yù)測(cè)模型擬合的MSE和MAPE見(jiàn)表2。

從表2的對(duì)比結(jié)果可知，在所有模型中，PCA-ARIMA模型擬合精度最高，誤差最小，結(jié)果表明，PCA-ARIMA首先采用PCA對(duì)高血壓發(fā)病率的影響因子進(jìn)行主成分分析，然后采用ARIMA進(jìn)行建模，能更加準(zhǔn)確描述高血壓發(fā)病率的變化規(guī)律，有效地提高了高血壓發(fā)病率的擬合精度。

表2 各模型的擬合性能比較

3.5 幾種模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

由于評(píng)價(jià)一個(gè)預(yù)測(cè)模型的好壞，主要考察其預(yù)測(cè)能力而非回代擬合結(jié)果，因此，再分別采用PCAMLR、ARIMA、PCA-ARIMA模型進(jìn)行獨(dú)立預(yù)測(cè)，把數(shù)據(jù)分兩部分：1999年1月至2004年12月的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，2005年1月至12月的數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，以便獲得實(shí)際高血壓發(fā)病率建模精度與預(yù)測(cè)能力的評(píng)定。幾種模型對(duì)高血壓發(fā)病率進(jìn)行學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

從表3可知，線性MLR模型和ARIMA模型的預(yù)測(cè)效果較差，主要是因?yàn)樗鼈兙荒芊从掣哐獕喊l(fā)病率的片段信息，不能全面捕捉到高血壓發(fā)病率的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律；而組合預(yù)測(cè)模型PCA-ARIMA與MLR和ARIMA相比，預(yù)測(cè)精度有了較大的提高，由于組合預(yù)測(cè)模型能夠充分利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的信息，并對(duì)高血壓發(fā)病率變化規(guī)律進(jìn)行深入挖掘，避免了單一模型的局限性，其對(duì)高血壓發(fā)病率的預(yù)測(cè)結(jié)果有了較為明顯的提高。

表3 幾種模型對(duì)2005年高血壓發(fā)病率的預(yù)測(cè)結(jié)果

4 小 結(jié)

時(shí)間序列受到眾多因子的影響，呈現(xiàn)高度非線性變化規(guī)律，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，利用ARIMA模型本身的優(yōu)點(diǎn)，將PCA引入到時(shí)間序列建模中，建立一種時(shí)間序列組合模型PCA-ARIMA，并應(yīng)用于高血壓預(yù)測(cè)中。實(shí)例結(jié)果表明，PCAARIMA模型簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、速度快，而且提高了高血壓發(fā)病率預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，較好地揭示了高血壓發(fā)病率的變化規(guī)律［5］。

［1］馬亮亮，田富鵬.基于非對(duì)稱ARCH模型的海西州地區(qū)支氣管炎發(fā)病情況研究［J］.科技導(dǎo)報(bào)，2009，27（24）：51-55.

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