王 星，張曉雁，郭雄飛

（1.河北北方學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口 075000；2.張家口市第五中學(xué)，河北 張家口 075000；3.張家口市第十九中學(xué)，河北 張家口 075000）

1 引 言

簡(jiǎn)諧波是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。波源沿y方向振動(dòng)，波在x軸上傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程為：

式 （1）描述了介質(zhì)中各體元在各時(shí)刻的振動(dòng)情形。當(dāng)變量x取一定值x0時(shí)，方程只描述介質(zhì)中x0處一個(gè)體元的簡(jiǎn)諧振動(dòng)情況，式 （1）變?yōu)椋?/p>

即為x0處體元的振動(dòng)方程。

當(dāng)變量t取一定值t0時(shí)，則方程所表達(dá)的是在這個(gè)特定時(shí)刻。介質(zhì)中不同位置上各個(gè)體元的瞬時(shí)狀態(tài)。式 （1）變?yōu)椋?/p>

即為t0時(shí)刻的波形方程。

式 （2）和式 （3）的物理意義完全不一樣，但數(shù)學(xué)形式上式 （2）表示y是t的函數(shù)。式 （3）表示y是x的函數(shù)，即兩式的數(shù)學(xué)形式相同。接下來，我們將對(duì)以上兩方程用同樣的方法已知其方程畫相應(yīng)的圖象和已知振動(dòng)圖線或波形圖寫相應(yīng)的方程。

2 對(duì)振動(dòng)方程和波形方程中相位的分析

振動(dòng)方程 （2）中 “ωt＋Φ1”叫相位，且規(guī)定t＝0時(shí)的相位Φ1為初相［3］，相位是當(dāng)振幅和圓頻率一定時(shí)進(jìn)一步?jīng)Q定簡(jiǎn)諧振動(dòng)任意瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，因ω為波源的圓頻率，由波源的本身性質(zhì)決定［7，8］，ω為正值，時(shí)間變量從時(shí)間軸零點(diǎn)開始沿正方向取值，因此也為正值，所以相位中 “ωt”項(xiàng)永遠(yuǎn)為正。隨著時(shí)間的增加相位不斷變大，即ωt＋Φ1≥Φ1。

平面波傳播時(shí)，若介質(zhì)中體元均按余弦 （或正弦）規(guī)律運(yùn)動(dòng)，叫平面簡(jiǎn)諧波［4－6］。平面簡(jiǎn)諧橫波的波形方程如式 （3）。我們不仿也規(guī)定波形方程 （3）中 “kx＋Φ2”也叫相位［2］，且記x＝0時(shí)Φ2為初相。其意義為當(dāng)振幅與波數(shù)一定時(shí)進(jìn)一步?jīng)Q定波的傳播過程中某一時(shí)刻不同體元的位移分布情況的物理量；波數(shù)k為2π長(zhǎng)度上波的數(shù)目，所以k為正值。式 （3）中的 “±kx”項(xiàng)為傳播項(xiàng)，其意義為介質(zhì)中某體元 （坐標(biāo)為x）落后于波源的相位。當(dāng)此項(xiàng)取 “＋”時(shí)，代表波源位于x＝0處且波沿x軸負(fù)向傳播。因此x必取負(fù)值；當(dāng)此項(xiàng)取 “－”時(shí)，代表波源位于x＝0處且波沿x軸正向傳播［1］。此時(shí)x必為正值。因此 “±kx”項(xiàng)永遠(yuǎn)為負(fù)，所以隨著｜x｜的增大相位 “±kx＋Φ2”不斷變減小，即±kx＋Φ2≤Φ2。

3 結(jié)合相位對(duì)按余弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)的物體的振動(dòng)過程的具體分析

用余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程如式 （2）或用余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧橫波的波形方程如式 （3）時(shí)?？傻冒从嘞乙?guī)律運(yùn)動(dòng)的物體的各物理量 （位移、速度及相位）在不同位置的對(duì)應(yīng)情況如下：（這里對(duì) （2）式和（3）式中的相位都用Φ表示）

當(dāng)相位為π／2的奇數(shù)倍時(shí)，則物體的位移y＝0，且物體的運(yùn)動(dòng)速度為正向最大或負(fù)向最大。

當(dāng)相位為π的的整數(shù)倍時(shí)，則物體的位移y＝±A，且物體的運(yùn)動(dòng)速度為零。

當(dāng)相位為第一象限角，即0＜Φ＜π／2時(shí)，物體處于y軸正半軸且物體的運(yùn)動(dòng)速度為負(fù)。

當(dāng)相位為第二象限角，即π／2＜Φ＜π時(shí)，物體處于y軸負(fù)半軸且物體的運(yùn)動(dòng)速度為負(fù)。

當(dāng)相位為第三象限角，即π＜Φ＜3π／2時(shí)，物體處于y軸負(fù)半軸且物體的運(yùn)動(dòng)速度為正。

當(dāng)相位為第四象限角，即3π／2＜Φ＜2π時(shí)，物體處于y軸正半軸且物體的運(yùn)動(dòng)速度為正。

4 由方程畫圖象

4.1 已知振動(dòng)方程畫振動(dòng)圖線

振幅可直接從方程中看出。

再?gòu)姆匠讨苯涌丛撐矬w的初相Φ1是第幾象限角，由以上分析可知該振動(dòng)物體在t＝0時(shí)速度的正負(fù)情況，并由初相的余弦函數(shù)值確定曲線和y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值。

已知振動(dòng)圖線即 “位移一時(shí)間”曲線上任意一點(diǎn)切線斜率的正負(fù)代表振動(dòng)物體速度的正負(fù)。由以上分析已經(jīng)確定了該振動(dòng)物體在t＝0時(shí)速度的正負(fù)，即曲線過與y軸交點(diǎn)的斜率的正負(fù)已知，進(jìn)而可確定曲線在與y軸交點(diǎn)處的彎曲方向。又余弦函數(shù)曲線具有連續(xù)性，可將圖象順接下去。

曲線與橫軸交點(diǎn) （或曲線最高點(diǎn)和最低點(diǎn)）對(duì)應(yīng)時(shí)間值的確定方法如下：由振動(dòng)方程相位的特點(diǎn)，相位是時(shí)間的函數(shù)，且每過T／4，相位增加π／2。再由ωt＋Φ1＝ψ（若確定曲線與橫軸的交點(diǎn)即y＝0所對(duì)應(yīng)的時(shí)間值則對(duì)應(yīng)相位為π／2的奇數(shù)倍，若確定曲線最高點(diǎn)或最低點(diǎn)即y＝±A時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間值則對(duì)應(yīng)相位為π的的整數(shù)倍。）。該式中只有t未知，從而能計(jì)算出曲線上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間值。通過T＝2π／ω計(jì)算出周期，曲線上其它與橫軸交點(diǎn) （或曲線最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)）的時(shí)間值也能一一推算出來。

4.2 已知波形方程畫波形圖

振幅可直接從方程中看出。

再直接看x＝0處體元的相位Φ2是第幾象限角，由相位分析可知出該體元的振動(dòng)方向，并由相位角Φ2的余弦函數(shù)值確定曲線和y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值。

由波的形成機(jī)理，波的傳播過程中，介質(zhì)中各體元間有力的相互作用，離波源近的體元依次帶動(dòng)離波源遠(yuǎn)的體元振動(dòng)起來，即后面的體元有序地重復(fù)前面體元的振動(dòng)形式。波形方程中傳播項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)代表了波的傳播方向并由以上分析可知x＝0處體元的振動(dòng)方向。即由波的傳播方向和x＝0處體元的振動(dòng)方向及波的形成機(jī)制可唯一確定波形曲線在與y軸交點(diǎn)處的彎曲方向。再由余弦函數(shù)曲線的連續(xù)性，將圖象順接下去。

曲線與橫軸交點(diǎn)坐標(biāo) （或曲線最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值）的確定方法如下：由波形方程相位的特點(diǎn)，相位是x的函數(shù)，且振動(dòng)每經(jīng)過T／4，相位減少π／2。再由±kx＋Φ2＝α（若確定曲線與橫軸的交點(diǎn)即y＝0所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值則對(duì)應(yīng)相位α為π／2的奇數(shù)倍，若確定曲線最高點(diǎn)或最低點(diǎn)即y＝±A時(shí)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值則對(duì)應(yīng)相位α為π的整數(shù)倍。）。該式中只有x未知，從而能計(jì)算出曲線上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。通過λ＝2π／k計(jì)算出波長(zhǎng)，曲線上其它與橫軸交點(diǎn) （或曲線最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值）坐標(biāo)值也能一一推算出來。

5 由圖象寫方程

5.1 已知振動(dòng)圖線寫振動(dòng)方程

振幅可以從振動(dòng)圖線中直接觀察出來。

通過曲線和縱軸交點(diǎn)處的彎曲方向即得曲線過該點(diǎn)斜率的正負(fù)，從而能判斷該振動(dòng)物體在t＝0s時(shí)振動(dòng)方向 （即速度正負(fù)）。曲線和縱軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值 （設(shè)為y0）已知。由公式cosΦ1＝y(tǒng)0／A和t＝0s時(shí)物體振動(dòng)速度的正負(fù)便能唯一確定方程的初相Φ1。

ω的確定方法如下：設(shè)振動(dòng)圖線中給定的已知時(shí)間值為t0。再經(jīng)相位分析 （相位是時(shí)間的函數(shù)，且每過T／4，相位增加π／2）得t0處所對(duì)應(yīng)相位為β。通過等式ωt0＋Φ1＝β，此式只有ω未知，因此通過此式可算出ω。從而振動(dòng)方程就唯一確定了。

5.2 已知波形圖寫波形方程

振幅可以從波形圖中直接觀察出來。

由波的形成機(jī)理，可以由波的傳播方向和波形曲線在x＝0處的彎曲方向直接確定x＝0處體元的振動(dòng)方向 （即速度方向）。曲線和縱軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值 （設(shè)為y1）已知。再由cosΦ2＝y(tǒng)1／A和x＝0處體元的振動(dòng)方向便能唯一確定方程的相位Φ2。

λ的確定方法如下：設(shè)波形曲線中給定的已知坐標(biāo)值為x0。再經(jīng)相位分析 （相位是坐標(biāo)的函數(shù)，且每過λ／4，相位減少π／2）得t0處所對(duì)應(yīng)相位為γ。再通過等式kx0＋Φ2＝γ或-kx0＋Φ2＝γ，此式只有k未知，因此通過此式可算出波數(shù)k進(jìn)而算出波長(zhǎng)λ。從而波形方程就能唯一確定了。

6 結(jié) 論

本文對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng) （或按余弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)）和簡(jiǎn)諧橫波波形方程中相位進(jìn)行了詳細(xì)具體的分析。對(duì)兩個(gè)方程中相位的異同進(jìn)行分析對(duì)照。同時(shí)應(yīng)用相位分析并結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng) （或按余弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)）本身的特性對(duì)已知方程如何畫圖象和已知圖象如何寫方程的問題作了詳細(xì)分析。在以上操作過程中對(duì)相位進(jìn)行最大程度的應(yīng)用。相位在所有描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的物理量中是最抽象的，對(duì)其進(jìn)行深入分析理解，比用其他方法進(jìn)行以上具體操作來得更方便更快捷，也更有助于理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的實(shí)質(zhì)。對(duì)日常教學(xué)和深入研究簡(jiǎn)諧振動(dòng) （或按余弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)）和簡(jiǎn)諧波也很有幫助。

［1］田野，王秀清.關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的研究（Ⅰ）［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，21（02）：6-9.

［2］田野，王秀清，楊劭琨.關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的研究（Ⅱ）［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，21（03）：6-9.

［3］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1997：265.

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［8］王正清.普通物理學(xué)力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1990：280-320.