王美芳

（復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433）

這幾年的各地高考卷涌現(xiàn)了很多好題，我們給學(xué)生進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí)，常選來(lái)用.2008年江蘇物理高考最后一題就是這樣一道題，綜合性強(qiáng)，對(duì)基本物理概念和能力要求都比較高，有相當(dāng)?shù)膮^(qū)分度.題目如下：

如圖1所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì).場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，非磁場(chǎng)區(qū)域間距為d2.兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.（設(shè)重力加速度為g）

圖1

（1）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能ΔEk；

（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域.且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等.求b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q；

（3）對(duì)于（2）問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v.

連續(xù)幾年在高三復(fù)習(xí)時(shí)使用這道題，每次總會(huì)有個(gè)別學(xué)生提出異議并給出自己不同的解答.這道題，不同的思路考路，為什么得到的結(jié)果會(huì)不一樣？是學(xué)生解答錯(cuò)了嗎？其實(shí)，很多時(shí)候，學(xué)生的解題思路沒(méi)有錯(cuò).這時(shí)，我總是很耐心地幫學(xué)生看他的解答過(guò)程，肯定并鼓勵(lì)他們的自主思考.筆者又到一些雜志和網(wǎng)上查找過(guò)這道題，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)對(duì)本題多解的討論.所以，寫(xiě)文一篇，希望有針對(duì)性地做一次充分的討論，和大家一起分享思考的快樂(lè).

本題的的第1問(wèn)和第2問(wèn)給出了一些信息，本文略去討論它們，而矛盾在于第3問(wèn)的求解.我們直接來(lái)解第3問(wèn).先看常規(guī)解法：

考慮其中一棒，如a棒，在經(jīng)過(guò)d2區(qū)域的過(guò)程中，它做初速度為v1，末速度為v2，加速度為gsinθ，位移為d2的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，可得

a棒，在經(jīng)過(guò)d1區(qū)域的過(guò)程中，做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得

用微元法，考慮整個(gè)減速過(guò)程中任一Δt時(shí)間，并對(duì)時(shí)間做累加，由（3）式得

由（4）式得

整理后得

（1）、（2）、（6）式是關(guān)于v1、v2、t這3個(gè)未知數(shù)的三元一次方程組，可解得

所以，第3小題要求的速率

解這道題的關(guān)鍵是通過(guò)微元法得到除（1）、（2）式外的另一個(gè)關(guān)于v1、v2、t的關(guān)系式，即上面的（6）式.如果按下面的解法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)根據(jù)題目條件，還可以得到另外一個(gè)不同于（6）式關(guān)系式.

同樣考慮a棒減速過(guò)程：前面已經(jīng)給出

對(duì)這個(gè)式子，做另一種處理：因?yàn)閍＝dv，所以（3）式dt可化為

兩邊分別對(duì)速度和時(shí)間積分

這樣就得到了又一個(gè)不同于（6）式的v1、v2、t之間的關(guān)系式，即（8）式.由（1）、（2）、（8）式可得

所以，本題第3小題要求的速率

（9）式雖然不像參考答案（7）式那樣簡(jiǎn)潔，但也是實(shí)實(shí)在在能做出來(lái)的一個(gè)正確答案.

有必要對(duì)兩個(gè)答案都是正確的做進(jìn)一步的說(shuō)明.根本原因是題目中給的條件多了，不完全獨(dú)立.這就好比平拋運(yùn)動(dòng)同時(shí)告訴初速度v0，高度h，射程s，求飛行時(shí)間t.答案就不唯一了，可以是也可以.因?yàn)関0，h，s不相互獨(dú)立，知道其中2個(gè)就能推算出第3個(gè)，所以題目本不應(yīng)該給3個(gè)已知條件.這個(gè)例子中3個(gè)量的不相互獨(dú)立非常容易看出來(lái)，但本題中的已知量之間不相互獨(dú)立不是那么顯而易見(jiàn)，可以說(shuō)是隱蔽得非常深，猛一眼完全看不出來(lái)，但可以通過(guò)以下計(jì)算得出.

假設(shè)本題中沒(méi)有給出磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1這個(gè)條件，而其他已知條件都不變，可以這樣計(jì)算出d1.

同樣考慮a棒減速過(guò)程：前面已經(jīng)給出

兩邊分別對(duì)距離和速度積分

利用積分公式

這樣（1）、（2）、（6）、（10）4式構(gòu)成了關(guān)于v1、v2、t、d1四元一次方程組，可求得v1、v2、t、d1.也就是說(shuō)，本題中d1不是獨(dú)立變量，條件給多了.

從學(xué)生的角度來(lái)講，程度好的學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)他做的答案和標(biāo)準(zhǔn)答案不一樣，但很可能找不出來(lái)錯(cuò)在哪里.我也曾今看到有的學(xué)生拿著不一樣的答案問(wèn)教師，教師的回答是：“反正正確答案不是你這個(gè)答案！你就按正確答案來(lái)做！”希望這篇文章能幫助到大家理解這個(gè)問(wèn)題，希望我們的學(xué)生遇到問(wèn)題能堅(jiān)持追根究底.