秦 亮 ，亓秀梅，高創(chuàng)寬

QIN Liang1,QI Xiu-mei1,GAO Chuang-kuan2

（太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024；2. 杭州萬向職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

齒輪傳動(dòng)應(yīng)用廣泛，在機(jī)械傳動(dòng)中具有重要的地位。齒輪設(shè)計(jì)是以齒面接觸疲勞強(qiáng)度及齒根彎曲疲勞強(qiáng)度為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行尺寸計(jì)算和校核。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)周期長，效率低并與齒輪傳動(dòng)的實(shí)際工況有一定差異，因?yàn)榻^大多數(shù)齒輪傳動(dòng)都在混合潤滑狀態(tài)下工作，即接觸載荷由潤滑油膜和齒面粗糙峰的直接碰撞共同承擔(dān)。這樣作用在每個(gè)嚙合點(diǎn)的齒面接觸載荷必然是隨機(jī)分布載荷。近年來，一些學(xué)者借助ANSYS軟件的強(qiáng)大分析功能及求解功能分析了齒輪彎曲應(yīng)力[1～6]，但分析過程中并未考慮潤滑作用。2010年，張延化和王優(yōu)強(qiáng)[7]分析了油膜壓力作用下的齒根彎曲應(yīng)力，然而仍未計(jì)及齒面粗糙度效應(yīng)。

本文首先基于實(shí)測所得試件的表面粗糙度數(shù)據(jù)，得出其數(shù)學(xué)模型；再利用多重網(wǎng)格法、多重網(wǎng)格積分法、逐列掃描法求得了油膜壓力；然后，在Pro/E中基于參數(shù)化功能進(jìn)行三維實(shí)體模型的建立，并將齒輪實(shí)體模型導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行有限元分析求解，獲得了真實(shí)粗糙齒面在混合彈流潤滑狀況下的齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度的情況。從理論上探討了潤滑油膜與齒面粗糙度對齒輪彎曲疲勞強(qiáng)度的綜合影響。

1 粗糙齒面壓力分布計(jì)算

1.1 基本方程

1.1.1 Reynolds方程

潤滑劑選Ree-Eyring型非牛頓流體，其非穩(wěn)態(tài)線接觸彈流潤滑的Reynolds方程為[8]：

Reynolds方程的邊界條件為：

式中，xin、xout分別為計(jì)算域始、終點(diǎn)坐標(biāo)。

1.1.2 油膜厚度方程

假設(shè)齒輪a為粗糙齒面，齒輪b為光滑齒面，則齒面間的油膜厚度為：

式中，h∞(t)—?jiǎng)傮w中心膜厚；

R( t)—嚙合點(diǎn)處的綜合曲率半徑；

Sa(x,t)—齒面a的粗糙度函數(shù)；

E'— 兩輪齒材料的綜合彈性模量。

本文應(yīng)用Taylor Hobson公司生產(chǎn)的粗糙度輪廓測量分析儀，選用輪廓算術(shù)平均偏差Ra=0.26（μm)的試塊，測得其表面真實(shí)粗糙度數(shù)據(jù)；然后借助MATLAB中的Curve Fitting功能，利用快速傅立葉變換獲得了形如下式的齒面粗糙度函數(shù)：

由式（4）可得粗糙度函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 粗糙度函數(shù)曲線

1.1.3 黏度方程

需要說明的是，基本方程中還包括密度方程、能量方程、熱傳導(dǎo)方程及載荷方程等，其推導(dǎo)與建立詳見文獻(xiàn)[8,9] ，在此不再贅述。

1.2 粗糙齒面油膜壓力計(jì)算示例

某工業(yè)齒輪傳動(dòng)及其所用潤滑劑參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動(dòng)及潤滑劑基本參數(shù)

基于表1中參數(shù)，采用多重網(wǎng)格法、多重網(wǎng)格積分法、逐列掃描法[8]獲得了沿齒輪傳動(dòng)嚙合線五個(gè)特殊點(diǎn)：嚙入點(diǎn)、雙齒變單齒、節(jié)點(diǎn)、單齒變雙齒、嚙出點(diǎn)處的粗糙齒面油膜壓力分布。圖2為五個(gè)特殊嚙合點(diǎn)處的計(jì)算結(jié)果。

圖2 五個(gè)特殊點(diǎn)處齒面油膜壓力分布

2 齒輪建模及有限元分析

2.1 齒輪參數(shù)化建模

在齒輪三維建模中，輪廓漸開線的生成是最核心、最重要的環(huán)節(jié)，齒輪模型的準(zhǔn)確與否直接影響到有限元計(jì)算結(jié)果的正確性。本文在Pro/E中進(jìn)行了齒輪參數(shù)化建模，在Pro/E中根據(jù)式（6）所示方程繪制了漸開線曲線，創(chuàng)建完整的齒輪模型。應(yīng)用Pro/E的全參數(shù)化特性，可直接修改參數(shù)值，再生之后，生成另一齒輪。

2.2 ANSYS有限元分析

鑒于本文的載荷施加區(qū)為單個(gè)輪齒的Hertz區(qū)域，且計(jì)算所關(guān)注的區(qū)域僅為輪齒的齒根部位。根據(jù)圣維南原理，可只取整個(gè)齒輪模型的3個(gè)輪齒作為研究對象。簡化后的計(jì)算模型如圖3所示。本文將Pro/E文件以IGES保存，并在ANSYS中通過Import導(dǎo)入文件。

圖3 簡化的齒輪三維模型

2.2.1 前處理

選擇單元類型為solid185，定義材料彈性模量和泊松比分別為2.1E5 (MPa)與0.28。利用輔助圓柱面使其分為兩部分，采用體掃掠生成網(wǎng)格，最終生成了160280個(gè)單元、173102個(gè)節(jié)點(diǎn)。生成后的網(wǎng)格如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格劃分

對齒輪軸孔圓柱面施加全約束，兩個(gè)切割面施加對稱約束。齒輪在傳動(dòng)中，理論上為線接觸，但因在齒面壓力作用下會(huì)產(chǎn)生彈性變形，故將加載區(qū)域設(shè)置成寬為兩個(gè)Hertz半寬的狹窄接觸帶，在區(qū)間表面施加如前計(jì)算所得的粗糙齒面油膜壓力。

2.2.2 求解及后處理

下文以輪齒在節(jié)點(diǎn)嚙合為例進(jìn)行闡述。對齒輪進(jìn)行靜力學(xué)分析，應(yīng)力云圖如圖5所示，可見最大應(yīng)力在加載處，最大等效應(yīng)力值為652.261(MPa)，最大位移為0.042 (mm)。

圖5 齒輪應(yīng)力云圖

2.2.3 五個(gè)特殊嚙合點(diǎn)處計(jì)算結(jié)果比較與分析

對于表1所給齒輪傳動(dòng)，沿其傳動(dòng)嚙合線五個(gè)特殊嚙合點(diǎn)處的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 五個(gè)特殊點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果

為了獲取不同齒輪模型的計(jì)算結(jié)果，本文在完成上述算例的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了兩個(gè)算例的計(jì)算。兩個(gè)算例計(jì)算的絕大多數(shù)輸入?yún)?shù)維持表1所給參數(shù)不變，僅對少數(shù)參數(shù)做了變動(dòng)，變動(dòng)條件分別如下：算例2的變動(dòng)參數(shù)為：齒數(shù)分別為50、200，模數(shù)為10（mm），小齒輪轉(zhuǎn)速為446.7244(r.p.m)，單位齒寬載荷為1.2072×106(N/m)；算例3的變動(dòng)參數(shù)為：齒數(shù)分別為30、60，模數(shù)為 10（mm），小齒輪轉(zhuǎn)速744.5407 (r.p.m)，單位齒寬載荷為6.0358×105(N/m)。計(jì)算結(jié)果分別列于表3和表4中。

表3 算例2五個(gè)特殊點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果

表4 算例3五個(gè)特殊點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果

2.3 不同加載方式下計(jì)算結(jié)果的比較與分析

為了比較、分析不同加載方式對齒根彎曲應(yīng)力的影響，在單齒變雙齒嚙合點(diǎn)施加Hertz壓力進(jìn)行有限元計(jì)算；與此同時(shí)，按照現(xiàn)行的齒根應(yīng)力計(jì)算方法[10]進(jìn)行了相應(yīng)對比。對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果列于表5表6中。

表5 不同加載方式下最大齒根彎曲應(yīng)力

表6 理論計(jì)算值

3 結(jié)論

1）在齒輪傳動(dòng)過程中，考慮了齒面粗糙度的影響，應(yīng)用彈流潤滑理論，以油膜壓力作為加載項(xiàng)，齒根彎曲應(yīng)力隨著嚙合位置不同而不斷變化，沿著嚙合線從嚙入點(diǎn)到嚙出點(diǎn)呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。齒根彎曲應(yīng)力的最大值發(fā)生在單齒嚙合變?yōu)殡p齒嚙合的臨界點(diǎn)。

2）粗糙齒面的油膜壓力對于齒根彎曲應(yīng)力的影響遠(yuǎn)大于Hertz應(yīng)力對于齒根彎曲應(yīng)力的影響，以粗糙齒面油膜壓力作為加載項(xiàng)時(shí)計(jì)算的齒根彎曲應(yīng)力最接近理論計(jì)算結(jié)果。

3）傳統(tǒng)計(jì)算方法所得的應(yīng)力值最大，所以以此進(jìn)行齒根彎曲應(yīng)力的校核計(jì)算是偏安全的。

4）通過實(shí)例可知以油膜壓力作為加載項(xiàng)計(jì)算齒根彎曲應(yīng)力更符合實(shí)際工況，計(jì)算結(jié)果較為精確，對于齒輪傳動(dòng)過程中的應(yīng)力分析具有一定借鑒作用。

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