石 巖，岳紅新，郝巧紅

(河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校 電力工程系，河北 滄州 061001)

Simulink是MathWorks公司于1990年推出的產(chǎn)品，是用于MA TLAB下建立系統(tǒng)框圖和仿真的環(huán)境。該程序有兩層含義[1]：首先，“Simu”表示它可以用于計算機(jī)仿真，而“ Link”表明它能進(jìn)行系統(tǒng)連接，即把一系列模塊連接起來，構(gòu)成復(fù)雜的系統(tǒng)模型。正是由于它的這兩大功能和特色，使得它成為仿真領(lǐng)域首選的計算機(jī)環(huán)境[2]。在基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的仿真研究中，Simulink得到了廣泛的應(yīng)用。Lu[3]采用Simulink環(huán)境中的SimMechanics模塊對多種空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)及主動力分析。汪匯[4]以3-PTT并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，討論了其運動仿真的Simulink實現(xiàn)，主要包括位置、速度、加速度等運動參數(shù)。胡峰[5]建立了3自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人的SimMechanics模型，并進(jìn)行了運動仿真。已有研究表明，基于Simulink環(huán)境下的Sim-Mechanics仿真在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)分析方面是行之有效的。

基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的應(yīng)用過程中，在要求各向同性的場合，一般采用全對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)。如果不特別要求各向同性，或針對某種具體情況，非對稱的機(jī)構(gòu)卻可能合適一些[6]。在許多不特別要求各向同性的場合，非對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)都發(fā)揮著重大的作用。本文中以一種運動分支不完全相同的非對稱并聯(lián)機(jī)床，即2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床為研究對象，在推導(dǎo)并得出其運動靜力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，在Simulink環(huán)境下應(yīng)用SimMechanics模塊對其進(jìn)行了運動靜力學(xué)仿真分析。

1 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)簡介

圖1 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的模擬機(jī)構(gòu)

2SPR+UPU 并聯(lián)機(jī)床模擬機(jī)構(gòu)如圖 1所示。其中，2個SPR分支分別通過Bj點的球副S，驅(qū)動桿上的移動副 P以及bj點的轉(zhuǎn)動副 R將定平臺和動平臺聯(lián)接在一起(j=1，3)；1個 UPU 分支通過B2 點的萬向副U，驅(qū)動桿上的移動副P以及b2點的萬向副U將定平臺和動平臺聯(lián)接在一起。位于B2點的萬向副U 包括2個互相交叉的轉(zhuǎn)動副R21和R22，位于b2 點的萬向副U包括2個互相交叉的轉(zhuǎn)動副R23和R24。機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)約束如下：R21∥Y，R21⊥R22，R22∥R23，R22⊥r2，R23⊥r2，R23⊥R24，R24∥z，R1⊥r1，R3⊥r3，R1∥y，R3∥y。

2 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床運動靜力學(xué)的Simulink實現(xiàn)

2.1 Simulink/SimMechanics模塊簡介

Matlab作為一款優(yōu)秀的計算和仿真軟件，在機(jī)電一體化技術(shù)中得到了廣泛應(yīng)用。其Simulink環(huán)境提供了機(jī)械系統(tǒng)建模和仿真的專用工具箱——SimMechanics，為多體動力機(jī)械系統(tǒng)及其控制系統(tǒng)提供了直觀有效的建模分析手段，具有直觀、簡便的優(yōu)點[5]。SimMechanics工具箱為用戶提供了剛體、關(guān)節(jié)、約束和驅(qū)動、傳感器和驅(qū)動器等機(jī)構(gòu)模塊，能夠?qū)Ω鞣N運動副連接的多剛體機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模與仿真，實現(xiàn)對機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動態(tài)性能的分析[7]。

2.2 2SPR+UPU 并聯(lián)機(jī)床運動學(xué)仿真的Simulink實現(xiàn)

SimMechanics工具箱包含剛體模塊組、約束與驅(qū)動模塊組、運動副模塊組、檢測與驅(qū)動模塊組等。驅(qū)動模塊用來給機(jī)構(gòu)添加Simulink輸入量，主要包括構(gòu)件驅(qū)動、鉸鏈副驅(qū)動和執(zhí)行器驅(qū)動3種驅(qū)動方式。以非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的各支鏈連接方式為依據(jù)，建立其SimMechanics仿真模型。通過添加合適的驅(qū)動器和傳感器模塊，并合理設(shè)置初始位置參數(shù)，即可得到正確的運動學(xué)仿真模型。

圖2 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的 SimMechanics運動學(xué)仿真模型

非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的運動學(xué)仿真模型如圖2所示。其中，圖2(a)表示SPR支鏈的框圖，由2個桿件(Body)、1個球副(Spherical)、1個移動副(Prismatic)和1個轉(zhuǎn)動副(Revolute)組成。圖2(b)表示UPU支鏈的框圖，由2個桿件、2個萬向副(Universal)和1個移動副(Prismatic)組成。由于3條支鏈均以P副驅(qū)動，各支鏈的 P副均和驅(qū)動器(Joint Actuator)相連接。兩條SPR支鏈的結(jié)構(gòu)完全相同，區(qū)別在于初始位置參數(shù)不同。初始位置參數(shù)與上、下平臺的尺寸密切相關(guān)。當(dāng)選定了初始位置以后，依據(jù)計算所得的初始位置參數(shù)設(shè)定移動副、轉(zhuǎn)動副和萬向副的相關(guān)參數(shù)。圖2(c)表示動平臺及其輸出的連接。其中：CS2，CS3，CS4分別表示動平臺的3個頂點b1，b2，b3；CS1表示動平臺的中心點o，CS1經(jīng)過剛體傳感器(Body Sensor)與示波器(Scope)和工作空間(Workspace)相連。

圖3 驅(qū)動桿輸入?yún)?shù)和動平臺輸出參數(shù)的設(shè)置界面

驅(qū)動桿的輸入運動參數(shù)由驅(qū)動器(Joint Actuator)設(shè)置，動平臺的輸出參數(shù)類型由剛體傳感器(Body Sensor)設(shè)置，界面分別如圖3(a)和圖3(b)所示。在進(jìn)行運動學(xué)仿真時，可在Joint Actuator方框中選擇加速度、速度和位移的單位，并在與之相連的方框中設(shè)置任意已知的驅(qū)動桿加速度、驅(qū)動桿速度和驅(qū)動桿位移(相對于初始位置)。輸入?yún)?shù)設(shè)置好之后，在Body Sensor方框中選擇輸出參數(shù)的類型，包括位移、速度、角速度、加速度和角加速度等，每一類型的輸出參數(shù)都可以根據(jù)需要選擇單位。點擊工具欄中的“Simulation Start”按鈕，或在菜單欄“Simulation”的子菜單中選擇“Start”，即可在任意瞬時對非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行運動學(xué)仿真。

2.3 2SPR+UPU 并聯(lián)機(jī)床靜力學(xué)仿真的Simulink實現(xiàn)

非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的靜力學(xué)仿真模型如圖4所示。其中，圖4(a)表示操作端所受到的廣義力情況。為便于區(qū)分，用兩個剛體驅(qū)動模塊(Body Actuator)分別表示動平臺中心點所受到的力和力矩。圖4(b)表示非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床3條支鏈的連接情況，每條支鏈的移動副都通過關(guān)節(jié)傳感器(Joint Sensor)與示波器和工作空間相連。在建立起圖4所示的非對稱2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床靜力學(xué)仿真模型之后，給定任意的廣義外負(fù)載，即可得到任一瞬時驅(qū)動桿上的驅(qū)動力數(shù)值。

圖4 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的 SimMechanics靜力學(xué)仿真模型

3 數(shù)例驗證

假設(shè)動平臺三角形的邊長為50 cm，定平臺三角形的邊長為100 cm。動平臺3個獨立輸出變量的加速度分別為aZo=0.03 cm/s2，aT=0.01°/s2，aV=-0.01°/s2(Zo，T，V分別表示動平臺原點坐標(biāo)在Z 方向分量和動平臺的兩個歐拉角)，在t=0時刻，vZo=1 cm/s，vT=0.5°/s，vV=-0.2°/s，Zo=85 cm，T=5°，V=-3°。作用在動平臺上的外力沿x，y，z 軸的分量分別為Fx=20 N，F(xiàn)y=30 N，F(xiàn)z=40 N；作用在動平臺上的外力矩沿x，y，z 軸的分量分別為Tx=10 N?m，Ty=20 N?m，Tz=30 N?m。在所建立的2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的SimMechanics運動學(xué)和靜力學(xué)模型中進(jìn)行仿真，仿真過程截圖如圖5所示。

由已知的驅(qū)動桿參數(shù)可以得到動平臺的速度和加速度以及驅(qū)動桿上作用的驅(qū)動力，分別用vx，vy，vz和ax，ay，az 以及F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3表示。在t=1 s至t=20 s，各參數(shù)曲線如圖6所示。將用解析法[8]和Simulink仿真法得到的動平臺運動靜力學(xué)參數(shù)作以比較，發(fā)現(xiàn)和解析法相比，采用 Simulink仿真所得到的各速度分量和加速度分量相對誤差都不超過0.1%，驅(qū)動力相對誤差都不超過0.2%，說明了仿真結(jié)果的正確性。

圖5 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的 Sim Mechanics仿真過程截圖

圖6 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的 SimMechanics運動靜力學(xué)仿真曲線

4 結(jié)論

在Simulink環(huán)境下，基于SimMechanics工具箱所包含的各模塊組不僅可以建立非對稱 2SPR+UPU并聯(lián)機(jī)床的運動學(xué)仿真模型，而且可以建立其靜力學(xué)仿真模型。數(shù)例分析表明，仿真結(jié)果與解析結(jié)果之間的誤差很小，在允許的范圍之內(nèi)。文中所述方法同樣適用于其它非對稱并聯(lián)機(jī)床的運動靜力學(xué)分析，尤其對于一些解析模型復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)床具有重要的應(yīng)用價值。

[1]H.Podhaisky，B.A.Schmitt，R.Weiner.Design，Analysis and Testing of Some Parallel Two-Step W-methods for Stiff System [J].Applied Numerical Math ematics，2002，42：381-395.

[2]向博，高炳團(tuán)，張曉華，等.非連續(xù)系統(tǒng)的 Simulink仿真方法研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2006，18(7)：1750-1754.

[3]Y.Lu，B.Hu.Solving Kinematics and Active Forces of Som e Parallel Manipulators by a Block Diagram Modeling System [C]∥Proceedings of ASME International Design Engineering Technical Conferences&Computers and Information in Engineering Conference，Las Vegas，Nevada，USA，2007：1495-1501.

[4]汪匯.3-PTT并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動仿真的Simulink實現(xiàn)[J].機(jī)械工程與自動化，2008(5)：26-28.

[5]胡峰，駱德淵，段棟棟，等.基于 Pro/E與 Simulink 的Delta并聯(lián)機(jī)器人運動仿真[J].機(jī)電工程，2012，29(8)：982-984.

[6]黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：158-267.

[7]張立勛，趙豫玉，韓雪峰.穿戴式下肢康復(fù)機(jī)器人的運動學(xué)仿真分析[J].應(yīng)用科技，2008，35(12)：43-46.

[8]Y.Lu，Y.Shi，J.P.Yu.Kinematic Analysis of Limited-DO F Parallel Manipulators Based on Translational/Rotational Jacobian and Hessian Mat rices [J].Robotica，2009，27(7)：971-980.

[9]Y.Lu，Y.Shi.Kinematics Analysis and Solving Active Forces of a Plane Symmetry 3-SPR Parallel Manipulator[C]∥ ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences&Computers and Information in Engineering Conference，Las Vegas，Nevada，U SA，2007，8，Part A：361-367.