喬林峰 王 俊

（1.陸軍軍官學院研管大隊1隊 合肥 230031）（2.陸軍軍官學院數(shù)學教研室 合肥 230031）

1 引言

隨著小波理論研究的深入，其應用也日趨廣泛，其中，利用小波變換進行去噪始終是一個熱點。在圖像去噪領(lǐng)域，小波圖像去噪方法已成為一個重要的分支和主要的研究方向。目前小波去噪方法大致有三類：第一類是基于小波變換模極大值原理進行去噪；第二類是對含噪聲信號作小波變換之后，計算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性區(qū)別小波系數(shù)的類型，進行取舍，然后重構(gòu)信號；第三類是小波閾值去噪方法。上述三類去噪方法中最早被提出的是小波閾值去噪方法，它是一種實現(xiàn)簡單而且效果較好的去噪方法。本文對其閾值函數(shù)進行了改進，通過實驗仿真，其能較好地保留圖像的邊緣細節(jié)信息，去噪效果很明顯。

2 小波閾值去噪的基本原理

1）理論依據(jù)

設有含噪模型：f（k）＝s（k）＋n（k），k＝0，1，2，…，N－1，其中，s（k）為原始圖像信號，n（k）為方差為σ2，服從 N（0，σ2）分布的高斯白噪聲。

對f（k）作離散小波變換得：wj，k＝Ws（j，k）＋Wn（j，k），j＝0，1，2，…，J；k＝0，1，2，…，N其中，ωj，k，Ws（j，k）和 Wn（j，k）分別為含噪圖像，原始圖像和噪聲信號在第j層上的小波系數(shù)；J和N 分別為小波變換的最大分解層數(shù)和圖像的總像素數(shù)。由小波變換的線性性質(zhì)知，對f（k）作離散小波變換后，得到的小波系數(shù)wj，k，仍然由兩部分組成，即原始圖像s（k）對應的小波系數(shù)Ws（j，k），記uj，k，和噪聲信號n（k）對應的小波系數(shù) Wn（j，k），記vj，k。

小波閾值去噪的主要理論依據(jù)為：有用的圖像信息表現(xiàn)為低頻信號或是比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則表現(xiàn)為高頻信號。因此經(jīng)小波分解后，信號的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù)。于是可以找到一個合適的數(shù)作為閾值（門限），當 wj，k小于該閾值時，認為這時的 wj，k主要是由噪聲引起的，可將其置為零；當wj，k大于該閾值時，認為這時的wj，k主要是由信號引起的，可對其進行保留或收縮，從而實現(xiàn)了信噪的分離。

2）具體步驟

（1）含噪聲圖像的小波分解。對含噪圖像信號f（k）進行離散小波變換，得到各尺度小波系數(shù)wj，k。

（2）小波分解高頻系數(shù)的閾值處理。對各尺度小波系數(shù)wj，k進行閾值處理，得出估計小波系數(shù)＾wj，k，使‖＾ωj，k－uj，k‖盡可能的小。

（3）圖像的小波重構(gòu)。利用＾wj，k進行小波重構(gòu)，得到含噪圖像信號f（k）的估計信號＾f（k），即為去噪后的信號。

3）閾值函數(shù)的選取

最常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)兩種。

（1）硬閾值函數(shù)：

（2）軟閾值函數(shù)：

其原理圖如下：

圖1 硬、軟閾值函數(shù)

硬閾值和軟閾值函數(shù)雖然在實際中得到了廣泛的應用，也取得了比較好的去噪效果，但這些方法本身還存在著一些潛在缺陷。利用硬閾值方法進行圖像處理，得到的估計小波系數(shù)值連續(xù)性差，即在±λ處是不連續(xù)的，利用進行重構(gòu)得到的圖像可能會產(chǎn)生振蕩、Gibbs效應（截斷效應）等視覺失真；而利用軟閾值方法估計出的小波系數(shù)雖然整體連續(xù)性很好，但是由于當小波系數(shù)較大時，即當時和 wj，k之間總會存在恒 定的偏差，這將會直接影響重構(gòu)圖像和真實圖像的逼近度，給重構(gòu)圖像帶來不可避免的誤差。另外，傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)導數(shù)不連續(xù)，然而在實際的應用中經(jīng)常要對一階甚至是高階導數(shù)進行運算處理，所以其具有一定的局限性。

3 改進的小波閾值算法

本文根據(jù)上述兩種函數(shù)的不同優(yōu)點，結(jié)合斜坡閾值技術(shù)［10～11］（Ramp threshold function），提出了一種新的閾值函數(shù)，用于小波系數(shù)的估計運算，其計算公式如下：

圖2 新閾值函數(shù)（m＝1／2，n＝3）

改進后的閾值函數(shù)（取m＝1／2，n＝3）如圖2所示。

由以上表達式和原理圖可知，該函數(shù)有以下幾個特點：

（3）具有與軟閾值函數(shù)相同的連續(xù)性。

g利用了斜坡閾值技術(shù)，可以有效地克服Gibbs效應。

4 算法流程

本文改進小波閾值算法的流程圖見圖3，具體步驟如下所示：

圖3 改進小波閾值算法流程圖

5 仿真實驗結(jié)果與分析

下面采用噪聲方差為0.01的高斯白噪聲，以lena512×512圖像為例，為了驗證改進小波閾值算法的去噪效果，選取SYM4小波對含噪圖像進行三層分解，然后分別用軟閾值函數(shù)，硬閾值函數(shù)和本文提出的改進的閾值函數(shù)計算小波系數(shù)，再用SYM4小波進行重構(gòu)，得到去噪圖像。

圖4是以lena512×512圖像為例的實驗結(jié)果，從圖4（e）可以看出圖像的含噪量得到明顯地減少，并且能夠很好地保留圖像的紋理細節(jié)。

圖4 lena圖像去噪結(jié)果

表1 lena圖像去噪結(jié)果比較

從表1的數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法與傳統(tǒng)的軟、硬閾值方法相比，均方誤差MSE明顯下降，信噪比SNR和峰值信噪比PSNR方面都有明顯的提高，能夠較好地保留圖像的邊緣和細節(jié)信息，去噪效果很好。

6 結(jié)語

本文介紹了小波閾值去噪的基本原理以及軟、硬閾值方法去噪的優(yōu)缺點，并結(jié)合斜坡閾值技術(shù)提出了一種改進小波閾值的圖像去噪新算法。仿真實驗表明：該算法對圖像進行去噪，得到了較低的均方誤差和較高的信噪比，并且有效地去除了Gibbs效應，保留了較多的邊緣和細節(jié)信息，達到了很好的去噪效果。

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