吳鳳嬌，張建偉，王 雷

(西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引言

世界的本質(zhì)是非線性的，非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件。自從1963年Lorenz［1］第一次在三維系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來(lái)，混沌引起了人們的廣泛關(guān)注。人們發(fā)現(xiàn)并提出了很多新的混沌系統(tǒng)，具有代表性的包括1999年陳關(guān)榮等［2］發(fā)現(xiàn)存在混沌吸引子的Chen系統(tǒng)，2002年呂金虎等［3］發(fā)現(xiàn)的Lü系統(tǒng)和2004年劉崇新等［4］進(jìn)一步提出的Liu系統(tǒng)。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的不斷發(fā)展，人們對(duì)系統(tǒng)的混沌認(rèn)識(shí)逐漸加深。

近年來(lái)，相關(guān)學(xué)者構(gòu)造了很多新的四維混沌系統(tǒng)［5-7］，但對(duì)只含有一個(gè)立方項(xiàng)的四維混沌系統(tǒng)的研究不多，對(duì)其控制進(jìn)行的文獻(xiàn)就更少。人們對(duì)于如何控制混沌開(kāi)展了大量的研究，并已經(jīng)設(shè)計(jì)出許多控制方法，包括線性反饋控制方法、模糊控制方法、滑?？刂品椒ㄒ约爸鲃?dòng)控制方法等［8-13］。本文首先在磁彈體混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng)，并對(duì)其混沌特性進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，證實(shí)該系統(tǒng)混沌的存在性。并提出一種新的滑模控制方法用于該系統(tǒng)的控制，通過(guò)Matlab數(shù)值仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

1 混沌系統(tǒng)的提出及分析

1.1 系統(tǒng)的混沌數(shù)學(xué)模型

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的行為，而含有非線性項(xiàng)是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)能否出現(xiàn)混沌具有重要作用。磁彈體系統(tǒng)［14］的混沌模型為:

本文在公式(1)磁彈體系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入部分線性項(xiàng)，構(gòu)造只含有一個(gè)立方項(xiàng)的新四維動(dòng)力系統(tǒng)為:

其中，α、F、ω 均是大于零的常數(shù)，d1、d2、d3、d4為外界擾動(dòng)，它們都是有界的，即|di|≤δ，δ為常數(shù)。為不失一般性，此處取隨機(jī)擾動(dòng) d1=0.2;d2=0.3*sin(t);d3=0.4*cos(t);d4=0.4。當(dāng) α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2時(shí)，系統(tǒng)的三維相軌跡曲線如圖1所示。

圖1 公式(2)系統(tǒng)的x1-x2-x3相軌跡運(yùn)動(dòng)曲線

1.2 系統(tǒng)的混沌特性分析

1.2.1 耗散性分析

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行耗散性分析有助于更好地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的混沌特性，對(duì)式(2)做梯度運(yùn)算可以得到:

經(jīng)過(guò)上述分析計(jì)算可以看出，公式(2)系統(tǒng)的梯度小于零，即系統(tǒng)具有耗散性結(jié)構(gòu)，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡最終將會(huì)趨于一個(gè)體積為零的極限吸引子上，收斂的速度是以指數(shù)-0.8-α的形式收斂到零。

1.2.2 Poincaré截面分析

利用Poincaré截面可以更好地認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的混沌特性，是一種經(jīng)典的混沌系統(tǒng)分析技術(shù)。可以通過(guò)觀測(cè)龐加萊截面上點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，做出公式(2)系統(tǒng)在x1-x4平面點(diǎn)的分布情況如圖2所示，在圖2中點(diǎn)的分布是成片分形密集的，說(shuō)明系統(tǒng)存在混沌行為。

圖2 公式(2)系統(tǒng)的龐加萊截面

1.2.3 Lyapunov 指數(shù)

李雅普諾夫是一種非常經(jīng)典的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析技術(shù)，通過(guò)觀察李雅普諾夫隨系統(tǒng)參數(shù)變化的動(dòng)態(tài)規(guī)律，可以非常方便地對(duì)系統(tǒng)是否存在混沌做出判斷。當(dāng)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)有一個(gè)大于零時(shí)，稱其為混沌系統(tǒng);當(dāng)系統(tǒng)存在2個(gè)李雅普諾夫指數(shù)大于零時(shí)，稱其為超混沌系統(tǒng)。當(dāng) α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2時(shí)，做出公式(2)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)F的變化規(guī)律如圖3所示，可以從圖3中明顯地看出，系統(tǒng)有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于零，因此公式(2)系統(tǒng)存在混沌特性。

圖3 公式(2)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

2 系統(tǒng)混沌模型的滑模變結(jié)構(gòu)控制

2.1 系統(tǒng)的受控模型

公式(2)系統(tǒng)在控制器作用下的受控模型為:

式(4)中 u1、u2、u3、u4為待設(shè)計(jì)的控制器，定義如下矩陣:

其中，A為系統(tǒng)的線性矩陣，B為系統(tǒng)的控制矩陣，U為控制向量，X為狀態(tài)向量，D為外界擾動(dòng)向量，G為系統(tǒng)的非線性向量。

在控制器輸入為0時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡曲線以x1為例如圖4所示，可以看出，公式(2)系統(tǒng)在未加控制器時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是非周期的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。因此設(shè)計(jì)目標(biāo)就是在加入控制器后，能夠?qū)⒐?2)系統(tǒng)控制到指定的固定點(diǎn)或周期軌道。

圖4 受控前公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域圖

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

滑模控制器的設(shè)計(jì)分為2步:(1)等價(jià)控制器的設(shè)計(jì)，通過(guò)構(gòu)造滑模面使系統(tǒng)達(dá)到期望的軌道;(2)不連續(xù)的趨近率的設(shè)計(jì)，保證系統(tǒng)在滑模面外的運(yùn)動(dòng)都能在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面上，保證系統(tǒng)的魯棒性。

控制的目標(biāo)是使系統(tǒng)的狀態(tài)X=［x1x2x3x4］T跟蹤期望的狀態(tài) Xd=［xd1xd2xd3xd4］T，因此，定義系統(tǒng)的跟蹤誤差:

其中，E= [e1e2e3e4]T為系統(tǒng)的跟蹤誤差向量?？梢缘贸稣`差動(dòng)力系統(tǒng)為:

設(shè)計(jì)滑模面S=S(E，t):

其中，需要滿足條件 det(KB)≠0，此處取 K=diag(1，1，1，1)，并且滿足 A-BL 為負(fù)定矩陣。

總的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)為:

其中，ueq是等效控制器，ud為不連續(xù)的趨近律。

在滑模狀態(tài)下，必須滿足:

在不考慮外界擾動(dòng)時(shí)，由式(6)、式(7)和式(9)可得:

因此由式(10)可以得到等效控制器:

為了保證系統(tǒng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)的魯棒性，設(shè)計(jì)不連續(xù)的趨近律:

將式(11)和式(12)代入式(8)可得，系統(tǒng)總的控制器設(shè)計(jì)為:

其中，sign( x)是 x的符號(hào)函數(shù)，當(dāng) x＞0，sign( x)=1;當(dāng) x=0，sign( x)=0;當(dāng) x＜0，sign( x)=-1。

命題 若ε為常數(shù)，且滿足ε＞δ，則前述設(shè)計(jì)的式(13)控制器可將公式(2)系統(tǒng)從混沌態(tài)控制至穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。

證明 李雅普諾夫函數(shù)選擇為:

從式(7)和式(13)可以得到:

證畢。

從上面的證明可以看出，設(shè)計(jì)的式(13)控制器具有很好的魯棒性，具有對(duì)外界干擾不敏感的優(yōu)點(diǎn)。

2.3 數(shù)值模擬

為將公式(2)系統(tǒng)從混沌態(tài)控制到期望的目標(biāo)，取矩陣 A-BL的特征根為 P=［-5，-4.99，-5，-5.01］，故可確定矩陣:

根據(jù)式(7)可確定滑模面如下:

系統(tǒng)的初值取為［x(0)，y(0)，z(0)，u(0)］=［1，1，1，1］，期望目標(biāo) xd1=xd2=xd3=xd4=xd。可以得到控制器為:

2.3.1 控制到固定點(diǎn)

在這里取參考狀態(tài)xd=0.3為例，在剛開(kāi)始不加入控制器，等系統(tǒng)運(yùn)行至t=10s時(shí)加入控制器，采用Matlab數(shù)值模擬繪制系統(tǒng)的狀態(tài)變量和滑模面的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖5和圖6所示，此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值為 α =0.3，F(xiàn)=0.365，ω =1.2，ε =7。

通過(guò)觀察圖5和圖6系統(tǒng)的狀態(tài)變量以及滑模面時(shí)域圖可知，系統(tǒng)在加入控制器后在很短的時(shí)間內(nèi)最終被控制至參考狀態(tài)xd=0.3，證明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

圖5 受控后公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域圖(xd=0.3)

圖6 受控后公式(2)系統(tǒng)滑模面的時(shí)域圖

2.3.2 控制到周期軌道

在這里取參考狀態(tài)xd=0.5sin(0.5t)為例，在剛開(kāi)始不加入控制器，等系統(tǒng)運(yùn)行至t=10s時(shí)加入控制器，采用Matlab數(shù)值模擬繪制系統(tǒng)的狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示。

圖7 受控后公式(2)系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)域圖(xd=0.5sin(0.5t)

通過(guò)觀察圖7系統(tǒng)的狀態(tài)變量時(shí)域圖可知，系統(tǒng)在加入控制器后在很短的時(shí)間內(nèi)最終被控制至參考狀態(tài) xd=0.5sin(0.5t)，證明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文構(gòu)造了一種只含一個(gè)立方項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)其相圖、耗散性、Lyapunov指數(shù)等動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，證實(shí)了該系統(tǒng)的混沌存在性。并設(shè)計(jì)了一種新的滑模控制方法對(duì)其混沌運(yùn)行軌跡進(jìn)行控制，分別將其控制到期望的固定點(diǎn)和周期軌道，理論分析和Matlab數(shù)值仿真結(jié)果完全一致，證實(shí)了設(shè)計(jì)的控制器的合理性和有效性。

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