毛 峽 劉運(yùn)龍 薛雨麗

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

光柵圖形顯示器由一系列離散像素組成，利用未加入反走樣技術(shù)的簡單直線生成算法（例如Bresenham算法［1］）繪制的非垂直非水平直線會在該類顯示器上出現(xiàn)明顯鋸齒狀或階梯狀邊緣［2］，在某種場合將會嚴(yán)重影響顯示效果.這種用離散量表示連續(xù)量引起的失真，稱為走樣（aliasing）；而用于減少或消除走樣的技術(shù)，稱為反走樣（anti-aliasing）［3］.反走樣在光柵圖形顯示［4－12］、共聚焦三維數(shù)據(jù)表面重建［13］、地圖可視化表達(dá)［14－15］等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用.

目前，直線反走樣技術(shù)主要有兩類：區(qū)域采樣和Wu算法.區(qū)域采樣又可分為未加權(quán)區(qū)域采樣和加權(quán)區(qū)域采樣，前者在確定顯示屏上某一像素灰度值時需要在重疊區(qū)域（該像素與代表直線的矩形相互重疊的部分）上對加權(quán)函數(shù)w（x，y）求積分，此加權(quán)函數(shù)恒為1；后者計算方法與前者相同，只是所選加權(quán)函數(shù)w（x，y）不恒為1.Wu算法［7－8］基于距離加權(quán)確定像素灰度值，其在二像素寬直線的反走樣方面至今仍是經(jīng)典解決方案［2］.

對于具有多灰度的光柵圖形顯示器，未加權(quán)區(qū)域采樣和加權(quán)區(qū)域采樣通過控制像素灰度緩慢變化從而很好地實(shí)現(xiàn)反走樣.至今，以加權(quán)和未加權(quán)區(qū)域采樣算法為基礎(chǔ)已延伸出多種能有效解決直線走樣問題的算法［5－9］.

文獻(xiàn)［5］從頻域的角度剖析走樣現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理，并將二維圓錐形濾波器應(yīng)用于直線反走樣，雖然該加權(quán)區(qū)域采樣算法能取得很好的反走樣效果，但是由于該算法在計算像素與理想直線的距離時需要用到浮點(diǎn)數(shù)加法和乘法，并且在確定灰度值時用到了取整運(yùn)算，這些運(yùn)算利用FPGA（Field Programmable Gate Array）實(shí)現(xiàn)所需周期過多，不利于FPGA硬件的快速實(shí)現(xiàn).

文獻(xiàn)［6］給出一種基于加權(quán)區(qū)域采樣的離散化算法，在確定像素灰度值時不再使用運(yùn)算量很大的積分運(yùn)算，算法效率相對于傳統(tǒng)算法更優(yōu)，但是該算法在計算當(dāng)前像素灰度值時仍會用到浮點(diǎn)運(yùn)算以及類型強(qiáng)制轉(zhuǎn)換運(yùn)算，不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).

文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］提出了經(jīng)典Wu直線反走樣算法.相比于Bresenham算法，利用 Wu直線反走樣算法生成的直線能達(dá)到很好的平滑效果，但是Wu算法需要用到較多的浮點(diǎn)數(shù)乘法和取整運(yùn)算，計算比較復(fù)雜.

文獻(xiàn)［9］分析了屏幕正方形像素和一個像素寬直線條相交的7種情況，并給出相應(yīng)的重疊區(qū)域面積計算方法，該方法用到了不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)的除法運(yùn)算.

綜上所述，為實(shí)現(xiàn)反走樣，傳統(tǒng)區(qū)域采樣和Wu算法使用大量不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算.本文通過結(jié)合Bresenham算法和傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣的思想，提出一種利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)的反走樣直線生成新算法.

1 直線生成與反走樣概述

1.1 直線生成算法

計算機(jī)圖形學(xué)中的直線生成算法（或直線掃描轉(zhuǎn)換算法）通過在光柵圖形顯示器上尋找與理想直線距離最近的一系列離散像素近似表示直線.

目前生成單像素寬直線的算法主要有3種：數(shù)值微分法、中點(diǎn)畫線法和Bresenham算法［16］.

1.1.1 數(shù)值微分法

數(shù)值微分法是最簡單、直觀的直線生成算法.假設(shè)擬生成直線的斜率處于0～1之間（其它情況可通過先轉(zhuǎn)換x和y軸再處理），算法原理為：沿著x軸方向根據(jù)直線斜率從起點(diǎn)到終點(diǎn)依次確定與直線距離最近的一組離散像素.

由于該算法中的像素縱坐標(biāo)y和直線斜率k必須用浮點(diǎn)數(shù)表示，且每次循環(huán)計算均需對y進(jìn)行舍入取整，所以該算法不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).

1.1.2 中點(diǎn)畫線法

假設(shè)擬生成直線的斜率處于0～1之間，若直線在x方向增1，則在y方向的增量只能在0～1之間.中點(diǎn)畫線法的思想為：將當(dāng)前列（設(shè)橫坐標(biāo)為x0）與直線距離最近的兩個像素（x0，y0），（x0，y0＋1）的中點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0＋0.5）代入函數(shù)F（x，y）（F（x，y）＝0為直線方程）；若F（x0，y0＋0.5）≥0，認(rèn)為當(dāng)前列屬于直線的點(diǎn)為（x0，y0）；若F（x0，y0＋0.5）＜0，則認(rèn)為當(dāng)前列屬于直線的點(diǎn)為（x0，y0＋1）.

經(jīng)過簡單換算后，中點(diǎn)畫線法只包含整數(shù)加減及比較運(yùn)算，因此該算法利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).

1.1.3 Bresenham算法

Bresenham 算法［1，17－18］被公認(rèn)為最有效的直線生成算法.假設(shè)擬生成直線的斜率處于0～1之間，該算法基本思想是：直線每走一步，橫坐標(biāo)x改變一個像素單位，縱坐標(biāo)y根據(jù)誤差項(xiàng)e的符號決定是否改變.

Bresenham算法同樣可改寫為只包含整數(shù)加減及比較運(yùn)算的形式，因此該算法利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).

1.2 區(qū)域采樣直線反走樣算法

區(qū)域采樣直線反走樣算法的提出基于兩點(diǎn)假設(shè)：第一，將像素看成有一定面積的規(guī)則區(qū)域（本文將像素看成互不相交的正方形）；第二，擬生成直線段并非無寬度理想線段，而是一個寬度至少為一個像素單位的線條.如圖1所示，正方形代表一個像素，內(nèi)部實(shí)心圓點(diǎn)為像素中心，矩形代表擬生成的單像素寬線條，虛線為矩形中軸線.

圖1 代表直線的矩形和代表像素的正方形

區(qū)域采樣算法可分為未加權(quán)區(qū)域采樣與加權(quán)區(qū)域采樣兩類.由于加權(quán)區(qū)域采樣所用到的加權(quán)函數(shù)w（x，y）不恒為1，因此需要花費(fèi)大量計算用于確定在重疊區(qū)域上對w（x，y）所求的積分，而未加權(quán)區(qū)域采樣則只需計算重疊區(qū)域的面積，因此，未加權(quán)區(qū)域采樣的運(yùn)算量往往少于加權(quán)區(qū)域采樣.然而，未加權(quán)區(qū)域采樣在計算重疊面積時仍需大量浮點(diǎn)數(shù)乘法，在確定像素灰度值時需用到舍入運(yùn)算，這些運(yùn)算使該算法復(fù)雜度過高，不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).

1.3 Wu直線反走樣算法

Wu直線反走樣算法［7－8］是計算機(jī)圖形學(xué)反走樣技術(shù)領(lǐng)域較早使用的一種經(jīng)典算法，適用于生成二像素寬的反走樣直線.Wu算法實(shí)際上是一種基于距離加權(quán)的反走樣算法，其基本思想為：沿長軸方向前進(jìn)一個像素單位，在短軸方向有兩個像素距離理想直線最近，灰度值由它們與直線的距離確定，距離越近灰度值越大，兩個像素灰度值之和等于像素顏色的最大灰度.

由于Wu直線反走樣算法能滿足通常需求且算法本身計算不復(fù)雜，因此該算法在很多場合得到廣泛應(yīng)用.

2 新的直線反走樣算法

鑒于傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣直線反走樣算法不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)，本文將Bresenham算法與未加權(quán)區(qū)域采樣思想相結(jié)合，提出一種利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)的直線反走樣算法，該算法可用于快速生成三像素寬的反走樣直線段.

2.1 算法的基本原理

本文算法的應(yīng)用前提是光柵圖形顯示器支持多級灰度顯示，例如64級和256級.

算法的基本原理是將與矩形區(qū)域有重疊的像素均分為M個子像元，M等于灰度級數(shù)，通過統(tǒng)計被覆蓋子像元的數(shù)量確定像素灰度值.例如，若某像素被覆蓋子像元數(shù)量為N，則該像素灰度值為N－1，特殊地，若N＝0，則像素灰度值為0.

2.2 算法的實(shí)現(xiàn)

2.2.1 非端點(diǎn)部分的處理

圖1的實(shí)線矩形框代表擬生成的直線段，虛線為矩形的中軸線，介紹本文算法的具體實(shí)現(xiàn)時只討論直線斜率處于0～1之間的情況，其余斜率情況可通過將x和y軸互換處理.本文算法流程如圖2所示.

圖2 本文算法流程圖

假設(shè)光柵圖形顯示器支持256級多灰度顯示，結(jié)合圖1與圖2將本文算法主要步驟敘述如下：

1）判斷當(dāng)前列是否被矩形區(qū)域覆蓋.

由于擬生成直線的起點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0）和終點(diǎn)坐標(biāo)（x1，y1）已知，因此只需判斷當(dāng)前列的橫坐標(biāo)X是否處于x0～x1的范圍內(nèi)即可.若X處于x0～x1之間，說明當(dāng)前列存在被矩形區(qū)域覆蓋的現(xiàn)象，執(zhí)行步驟2）操作；否則，直接結(jié)束該直線的生成操作.

2）確定當(dāng)前列可能有灰度值的3個像素.

由圖1可知，單像素寬的直線段在當(dāng)前列最多與3個相鄰像素存在重疊區(qū)域，其中處于中間位置的像素距離虛線最近，而該像素坐標(biāo)可通過對虛線應(yīng)用Bresenham算法快速地進(jìn)行確定.假設(shè)中間像素的坐標(biāo)為（Xmid，Ymid），則另外兩個像素的坐標(biāo)分別為（Xmid，Ymid＋1）和（Xmid，Ymid－1）.

3）均勻分割步驟2）中確定的3個像素.

根據(jù)算法原理，將3個像素各自均勻分割成數(shù)量等同于灰度級數(shù)的子像元.由于假設(shè)光柵顯示器的灰度級數(shù)為256，因此可將像素均勻分割為16×16子像元，圖3給出像素的分割示意圖.

圖3 像素均勻分割結(jié)果示意圖

4）確定當(dāng)前列距離矩形兩邊最近的兩組子像元.

根據(jù)Bresenham算法可快速確定這兩組子像元，其中每組包含16個子像元.這兩組子像元給出矩形區(qū)域在當(dāng)前列覆蓋的邊界情況.圖4給出當(dāng)前列矩形兩邊經(jīng)過Bresenham算法確定的兩組子像元.

圖4 當(dāng)前列確定的兩組子像元

5）統(tǒng)計3個像素被矩形區(qū)域覆蓋的子像元數(shù)量.

根據(jù)步驟4）確定的兩組子像元，依次統(tǒng)計當(dāng)前列（共包含16個子列）每一個子列分別屬于3個像素的子像元數(shù)量，最后將16個子列的統(tǒng)計結(jié)果進(jìn)行累加，從而得到3個像素被矩形區(qū)域覆蓋的子像元數(shù)量.

6）確定像素灰度值.

3個像素的灰度值分別等于各自被矩形區(qū)域覆蓋的子像元數(shù)量減1，例如，假設(shè)像素（x，y）共有N個子像元被矩形區(qū)域覆蓋，則該像素的灰度值應(yīng)為N－1，特殊地，若N＝0，則灰度值為0.接著，將記錄當(dāng)前列的橫坐標(biāo)X增1，繼續(xù)執(zhí)行步驟1）操作.

2.2.2 端點(diǎn)部分的處理

在確定直線端點(diǎn)（起點(diǎn)和終點(diǎn)）所在列像素灰度值時不能直接采用上述方法，而需進(jìn)一步分析.

圖5給出直線起始端點(diǎn)的放大圖，在直線斜率不為0時，矩形兩邊的起點(diǎn)（P1和P5）橫坐標(biāo)不相等（斜率為0時，兩橫坐標(biāo)相等）.這時，利用Bresenham算法確定兩組子像元并統(tǒng)計圖中像素被覆蓋子像元的數(shù)量將會存在一定困難.

考慮到圖中三角形A區(qū)域（由P1，P2和P3確定）與三角形B區(qū)域（由P3，P4和P5確定）面積相等，因此有

式中，NA與NB分別表示區(qū)域A與B覆蓋的子像元數(shù)量.

此外，還有

式中，C為由P2，P3，P5，P8，P7和P6確定的多邊形區(qū)域.

根據(jù)式（2）可知，確定圖中像素的灰度值只需統(tǒng)計B＋C區(qū)域的子像元數(shù)量，由于B＋C區(qū)域兩條邊界的起點(diǎn)（P2和P4）橫坐標(biāo)相同，此時以P2，P4為起點(diǎn)利用Bresenham算法確定圖5中的像元所在列的兩組子像元后，即可方便地統(tǒng)計出該列各個像元中被矩形區(qū)域覆蓋子像元的數(shù)量，從而確定該列像元的灰度值，可見以P2，P4作為矩形兩長邊的等效起點(diǎn)可簡化統(tǒng)計被覆蓋子像元的步驟.利用類似方法可簡化直線段終點(diǎn)所在列像素灰度值確定的工作，這里不再詳細(xì)說明.

圖5 直線起始端點(diǎn)放大示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文分別從仿真速度與運(yùn)算次數(shù)統(tǒng)計、反走樣效果兩個方面將傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣算法、Wu算法以及本文算法進(jìn)行對比.

3.1 仿真速度與運(yùn)算次數(shù)統(tǒng)計

為驗(yàn)證本文算法仿真速度，在Pentium（R）2.80GHz雙核、內(nèi)存3GB的計算機(jī)，用 MATLAB 7.11.0編程完成傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域反走樣算法、Wu算法以及本文提出的反走樣算法，利用這3種算法分別計算3條擬生成直線所有像素的坐標(biāo)和灰度值.表1給出3條直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，表2給出3種算法分別生成3條直線所需時間.

表1 3條直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)

表2 3種算法生成3條直線所需時間對比

由表2可知，本文算法在軟件平臺上生成直線的效率約比傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣算法快2倍，與經(jīng)典Wu算法效率相差不大.但是Wu算法在確定像素灰度值時需用到大量浮點(diǎn)數(shù)乘法、四舍五入以及浮點(diǎn)數(shù)加減法，這些運(yùn)算對于FPGA硬件來說較復(fù)雜，執(zhí)行效率不高.本文算法將傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣算法中的浮點(diǎn)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為整數(shù)加減法運(yùn)算，確保算法易于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).表3為3種算法分別生成直線1所需執(zhí)行的各種運(yùn)算次數(shù)統(tǒng)計表.

表3 3種算法生成直線1所需運(yùn)算次數(shù)統(tǒng)計

可見，本文算法主要運(yùn)算由整數(shù)加減法完成，利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)，能達(dá)到FPGA硬件加速目的.

3.2 反走樣效果

為驗(yàn)證本文算法的反走樣效果，利用MATLAB 7.11.0軟件仿真平臺完成基于Bresenham算法以及3種反走樣算法生成直線1與直線2的任務(wù).圖6的4個子圖分別是對應(yīng)算法仿真結(jié)果放大8倍后的效果圖，圖7的兩個子圖分別給出Wu算法與本文算法仿真結(jié)果放大16倍后的效果圖.

圖6 4種算法仿真結(jié)果圖

圖7 Wu算法與本文算法仿真效果圖對比

對比并分析圖6與圖7的各個子圖，可得如下4個分析結(jié)果：

1）由于Bresenham算法沒有加入反走樣思想，因此由該算法所得直線（圖6a）邊緣存在明顯鋸齒狀或階梯狀，而由另外3種反走樣算法生成所得直線（圖6b、圖6c和圖6d）明顯比圖6a的平滑；

2）Wu算法生成的反走樣直線（圖6c）平滑效果較好，但是直線整體灰度偏低，這是由于Wu算法用于生成二像素寬直線，在短軸方向距離直線最近的兩個像素點(diǎn)灰度之和僅為像素顏色的最大灰度，從而造成直線整體灰度降低；

3）對比圖6的后3個子圖可知，由本文算法（圖6d）與傳統(tǒng)非加權(quán)區(qū)域采樣算法（圖6b）分別生成的直線平滑度相差不大，這兩種算法生成的直線整體灰度比Wu算法直線高，使得直線看起來更清晰；

4）對比圖7的兩個子圖可知，由于Wu算法基于距離加權(quán)計算像素灰度值，所以沿著直線方向，Wu算法所得直線某些相鄰像素灰度值相差較大，遠(yuǎn)處觀看時由該算法生成的直線會出現(xiàn)“斷斷續(xù)續(xù)”的現(xiàn)象，而基于面積加權(quán)的本文算法相鄰像素灰度值差異則較小.

綜上所述，相比于Wu算法，本文算法的反走樣效果更佳.

4 結(jié) 束 語

通過結(jié)合Bresenham算法以及未加權(quán)區(qū)域采樣的思想，本文提出一種符合FPGA硬件實(shí)現(xiàn)特點(diǎn)的反走樣直線生成新算法.本文算法可用于在支持多灰度的光柵圖形顯示器上生成三像素寬的反走樣直線.本文算法摒棄傳統(tǒng)算法使用大量不利于FPGA硬件實(shí)現(xiàn)的浮點(diǎn)運(yùn)算，而主要采用整數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)，因此易于FPGA硬件實(shí)現(xiàn).仿真結(jié)果表明：本文算法不但反走樣效果比Wu算法更好，而且仿真效率遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)未加權(quán)區(qū)域采樣算法.

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