牛 飛， 梅 帥， 張 盛， 陳 飆 松， 程 耿 東

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化旨在尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问剑沟媒Y(jié)構(gòu)目標(biāo)性能在滿足相關(guān)約束條件下達(dá)到最優(yōu).近30年來(lái)，拓?fù)鋬?yōu)化研究得到了迅速發(fā)展，并在工業(yè)界得到廣泛的應(yīng)用，已成為設(shè)計(jì)師在概念設(shè)計(jì)階段實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)的有力工具［1］.

對(duì)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究可追溯到1988年，Bendse等基于“微結(jié)構(gòu)”思想提出了均勻化方法（homogenization method）［2］.之后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們展開(kāi)了豐富的相關(guān)研究，相繼提出了多種結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，如SIMP（solid isotropic material with penalization）方法［3］、進(jìn)化法［4］、水平集方法［5］等.其中SIMP方法由于優(yōu)化設(shè)計(jì)變量較少，優(yōu)化求解實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，備受學(xué)者和工程師們的青睞，從而得到了更為深入的研究和應(yīng)用.

隨著結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在工程中的成功應(yīng)用，近年來(lái)，幾乎所有的商用有限元軟件都在增加結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化功能，比如MSC.Nastran、ANSYS等.與此同時(shí)，一些以結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化為主要特色的商用軟件也相繼問(wèn)世，如Altair公司的OptiStruct、FE－DESIGN公司的TOSCA、VR＆D公司的GENESIS以及Quint公司的OPTISHAPE－TS等［6］.無(wú)一例外，這些軟件的拓?fù)鋬?yōu)化功能都是圍繞結(jié)構(gòu)的剛度、頻率、應(yīng)力等基本性能要求而開(kāi)發(fā)，所采用的模型、算法也都是以往比較成熟的研究成果.但是隨著工程結(jié)構(gòu)的性能需求日益多樣化，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)本身的復(fù)雜化，使得工程實(shí)際問(wèn)題遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了優(yōu)化軟件所能解決的范疇.受商用軟件本身封閉性和滯后性的制約，大量的學(xué)者針對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題的新的研究成果不能及時(shí)在軟件中實(shí)施并應(yīng)用到工程實(shí)際中.

另外，拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程涉及結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析和性能評(píng)價(jià)等問(wèn)題，結(jié)構(gòu)分析模塊是實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化程序的一個(gè)重要環(huán)節(jié).但是對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題（例如結(jié)構(gòu)模型復(fù)雜、非線性問(wèn)題等），開(kāi)發(fā)結(jié)構(gòu)分析程序需要投入大量的時(shí)間和精力，因此大多數(shù)學(xué)者的研究對(duì)象都是簡(jiǎn)單的平面或?qū)嶓w單元，且結(jié)構(gòu)模型規(guī)則.當(dāng)然也有一些學(xué)者在商業(yè)軟件或開(kāi)源有限元分析程序（ANSYS、Nastran、OpenSees等）上進(jìn)行了一定的二次開(kāi)發(fā)來(lái)研究復(fù)雜問(wèn)題，然而這些商業(yè)CAE軟件均采用內(nèi)嵌數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)內(nèi)部專用、接口不對(duì)外開(kāi)放等特點(diǎn)依然給科研工作者帶來(lái)了大量的附加工作.

SiPESC［7］（software integration platform forengineering and scientific computation，工程與科學(xué)計(jì)算集成化軟件平臺(tái)）是由大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的面向工程與科學(xué)計(jì)算的集成軟件系統(tǒng).如圖1所示的體系結(jié)構(gòu)，其所有應(yīng)用功能均基于插件實(shí)現(xiàn)，具有可擴(kuò)展、可維護(hù)、可重用、動(dòng)態(tài)加載／卸載、使用靈活等優(yōu)點(diǎn).

圖1 SiPESC軟件體系結(jié)構(gòu)Fig.1 Software architecture of SiPESC

在開(kāi)放接口的數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)［7］以及基于此系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析系統(tǒng) SiPESC.FEMS［7－8］逐漸成熟的條件下，基于SiPESC.FEMS、工程數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)及插件技術(shù)設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)出了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模塊SiPESC.TOPO.目前，此模塊主要圍繞結(jié)構(gòu)剛度設(shè)計(jì)功能進(jìn)行開(kāi)發(fā)，具有以下特點(diǎn)：

（1）給定結(jié)構(gòu)剛度要求的最小化結(jié)構(gòu)重量設(shè)計(jì)；

（2）給定材料用量約束下的結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì)；

（3）采用結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì)的廣義算法列式，可以考慮彈性力學(xué)的三類邊界條件；

（4）提供多種密度過(guò)濾策略以及靈敏度過(guò)濾來(lái)控制優(yōu)化迭代的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象；

（5）可靈活選用準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法（MMA、SLP、SQP）等優(yōu)化算法；

（6）跨平臺(tái)，支持Linux、Windows等操作系統(tǒng)；

（7）組合結(jié)構(gòu)優(yōu)化，設(shè)計(jì)變量支持膜、板、殼、實(shí)體等單元，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析支持SiPESC.FEMS所具有的所有單元類型.

本文介紹SiPESC.TOPO的設(shè)計(jì)思路，并以結(jié)構(gòu)最大剛度設(shè)計(jì)為例闡述SiPESC.TOPO的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)方法.

1 SiPESC系統(tǒng)功能簡(jiǎn)介

SiPESC.TOPO是基于SiPESC平臺(tái)開(kāi)發(fā)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模塊，其開(kāi)發(fā)過(guò)程延續(xù)了SiPESC系統(tǒng)“平臺(tái)／微核心＋插件”的設(shè)計(jì)思想，開(kāi)發(fā)者借助開(kāi)放接口將優(yōu)化功能與現(xiàn)有分析模塊SiPESC.FEMS通過(guò)插件管理系統(tǒng)集成，同時(shí)依靠工程數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)一管理.

如圖2所示的插件式體系結(jié)構(gòu)是一種靈活的組件式結(jié)構(gòu)，它將程序的功能打散，分布于不同插件中.插件作為獨(dú)立于程序系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)模塊，能夠動(dòng)態(tài)地插入系統(tǒng)，并且可以被自由地加載、卸載或替換.結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模塊SiPESC.TOPO是具備多個(gè)應(yīng)用插件的系統(tǒng).

圖2 插件體系結(jié)構(gòu)Fig.2 Architecture of plugin

SiPESC工程數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)管理接口，實(shí)現(xiàn)了大規(guī)模計(jì)算中的多類型數(shù)據(jù)、大數(shù)據(jù)塊（如總剛度陣）的管理.采用高效的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、動(dòng)態(tài)擴(kuò)展和檢索技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算數(shù)據(jù)的高效訪問(wèn).采用索引的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)ID的快速檢索功能；同類型數(shù)據(jù)ID的唯一性保證了查詢算法的高效性.以結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化為例，為消除網(wǎng)格依賴、棋盤(pán)格式等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，優(yōu)化過(guò)程中需要對(duì)靈敏度或者密度進(jìn)行過(guò)濾，而目標(biāo)單元的鄰域及鄰域內(nèi)各個(gè)單元權(quán)重的計(jì)算和存儲(chǔ)都需要對(duì)系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行操作，借助數(shù)據(jù)ID可方便準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這些操作.

2 SiPESC.TOPO的設(shè)計(jì)思路

拓?fù)鋬?yōu)化求解過(guò)程主要包括結(jié)構(gòu)拓?fù)涓?、結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、優(yōu)化問(wèn)題建立、優(yōu)化問(wèn)題求解以及優(yōu)化過(guò)程異常處理5個(gè)要素，它們依據(jù)各自的算法理論獨(dú)立求解.SiPESC.TOPO的設(shè)計(jì)目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)各部分求解算法的動(dòng)態(tài)選擇、替換（如靈敏度過(guò)濾與密度過(guò)濾等的動(dòng)態(tài)選擇、最優(yōu)準(zhǔn)則法與各種數(shù)學(xué)規(guī)劃法的動(dòng)態(tài)替換）.

2.1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程

對(duì)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，采用有限元方法進(jìn)行求解時(shí)，其基本流程如圖3所示.首先將結(jié)構(gòu)用有限單元進(jìn)行離散，施加荷載和位移邊界條件，得到結(jié)構(gòu)模型數(shù)字化信息；其次，在模型中選取部分單元定義為優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)域；再次，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，計(jì)算優(yōu)化問(wèn)題求解所需要的各種響應(yīng)，并進(jìn)行相應(yīng)的靈敏度計(jì)算；將響應(yīng)值以及靈敏度值代入優(yōu)化算法程序來(lái)更新設(shè)計(jì)變量，以此實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞母淖?；最后?duì)更新后的結(jié)構(gòu)拓?fù)溥M(jìn)行新一輪的分析優(yōu)化直到收斂.

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化一般求解流程Fig.3 The general flow chart of topology optimization

2.2 SiPESC.TOPO需求分析

考慮到結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題本身的復(fù)雜性和多樣性，在具體問(wèn)題的求解過(guò)程中，可能用到不同的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和優(yōu)化算法，這就要求優(yōu)化程序具有靈活性，能夠根據(jù)所解決的實(shí)際問(wèn)題，方便地將不同功能進(jìn)行動(dòng)態(tài)組合.這就是開(kāi)發(fā)SiPESC.TOPO的出發(fā)點(diǎn)和實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

此外，在實(shí)際工作中，常用的CAE軟件已經(jīng)無(wú)法滿足科研需求，特殊的問(wèn)題需要更為專業(yè)的求解軟件，甚至需要研究人員自己開(kāi)發(fā)求解程序.這就要求SiPESC.TOPO能夠方便地集成專業(yè)軟件的求解器或者是用戶開(kāi)發(fā)的程序代碼，以此來(lái)提高科研工作效率.對(duì)于SiPESC.TOPO來(lái)說(shuō)，插件管理平臺(tái)的可擴(kuò)展性使用戶能夠根據(jù)自己的需求選擇相應(yīng)的響應(yīng)分析插件或編寫(xiě)屬于自己?jiǎn)栴}的求解插件，動(dòng)態(tài)地選擇或替換優(yōu)化算法、過(guò)濾算法等.

3 SiPESC.TOPO程序?qū)崿F(xiàn)

結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì)是拓?fù)鋬?yōu)化中最一般的研究模型，也是商用軟件中最基本的功能.本章以此為例來(lái)介紹SiPESC.TOPO的具體實(shí)現(xiàn)方法.

在結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì)中，外力在結(jié)構(gòu)變形過(guò)程中所做的功，即結(jié)構(gòu)柔順性被用來(lái)作為目標(biāo)函數(shù).然而文獻(xiàn)［9］的研究工作指出，當(dāng)結(jié)構(gòu)在同時(shí)具有給定的外力和指定的非零位移情況下，即混合邊界條件下，傳統(tǒng)優(yōu)化列式不再適用，需要采用他們提出的如下廣義優(yōu)化列式：

上述列式適用于所有彈性力學(xué)三類邊界條件下的結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì).其中N表示設(shè)計(jì)域內(nèi)的有限單元個(gè)數(shù)；ρ為設(shè)計(jì)變量向量，即單元人工密度向量；K為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)奂佣桑籚為給定的材料總量；fp和uw分別是已知的外力向量和指定非零位移向量；up和fw是相應(yīng)的位移未知向量和反力未知向量，fw可借助有限元分析模塊SiPESC.FEMS中的org.sipesc.fems.MComputeKU擴(kuò)展來(lái)求解.

在SiPESC.TOPO中，本文選用式（1）來(lái)建立優(yōu)化模型.圖4給出了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化插件的主要結(jié)構(gòu)，其包括的擴(kuò)展有：（1）插值模型擴(kuò)展；（2）優(yōu)化算法擴(kuò)展；（3）過(guò)濾函數(shù)擴(kuò)展；（4）文件輸入輸出擴(kuò)展；（5）結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算擴(kuò)展.其中（1）和（5）屬于工具擴(kuò)展，暫不考慮其擴(kuò)展性；針對(duì)具有多種可選算法的（2）、（3），本文采用設(shè)計(jì)模式中的工廠方法［10］，首先定義用戶可見(jiàn)的抽象類，然后在子類中重定義抽象操作即實(shí)現(xiàn)具體算法，最后利用工廠對(duì)象實(shí)現(xiàn)子類的動(dòng)態(tài)調(diào)用.下面就上述主要擴(kuò)展進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

圖4 使用插件設(shè)計(jì)器創(chuàng)建的擴(kuò)展Fig.4 The extension created by plugin designer

3.1 插值模型擴(kuò)展

擴(kuò)展名：org.sipesc.topo.MTopoElementStiff

此擴(kuò)展的功能是通過(guò)引入合理拓?fù)渥兞坎逯的Ｐ?，將原有的離散變量?jī)?yōu)化問(wèn)題連續(xù)化以便于優(yōu)化問(wèn)題的求解.這里選用SIMP插值模型，它通過(guò)對(duì)中間密度材料的單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行懲罰使得連續(xù)變量?jī)?yōu)化問(wèn)題趨近于原來(lái)的0－1優(yōu)化問(wèn)題.擴(kuò)展主要接口如下：

（1）擴(kuò)展初始化：bool initialize（var，…）；

（2）提取單元?jiǎng)偠染仃嚕篗Matrix getElementStiff（var，…）；

（3）修改單元?jiǎng)偠染仃嚕篵ool updateElement－Stiff（var，…）.

3.2 優(yōu)化算法擴(kuò)展

擴(kuò)展名：org.sipesc.topo.MOptiAlgorithm.

此擴(kuò)展的功能是選取合適的優(yōu)化算法對(duì)已經(jīng)建立的優(yōu)化模型進(jìn)行求解.目前常用的優(yōu)化算法主要有優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃算法，前者針對(duì)不同類型的優(yōu)化問(wèn)題需要推導(dǎo)不同的優(yōu)化準(zhǔn)則，一般用于單約束情況，但其求解速度較快；后者不但能夠用于單約束情況，而且能用于多目標(biāo)多約束等復(fù)雜工程問(wèn)題的求解建模，更為可靠.

考慮到優(yōu)化準(zhǔn)則法與數(shù)學(xué)規(guī)劃法的不同特點(diǎn)，SiPESC.TOPO中，數(shù)學(xué)規(guī)劃法作為通用算法，優(yōu)化準(zhǔn)則法作為定制算法使用.SiPESC平臺(tái)的可擴(kuò)展性能使不同算法靈活添加、調(diào)用，用戶依據(jù)具體工程問(wèn)題利用接口編程定制插件，即插即用.當(dāng)用戶需要使用新的算法時(shí)，只需繼承此虛基類并重新實(shí)現(xiàn)下面的接口即可.擴(kuò)展主要接口如下：

（1）擴(kuò)展初始化：bool initialize（var，…）；

（2）優(yōu)化問(wèn)題求解：bool update（var，…）.

3.3 過(guò)濾函數(shù)擴(kuò)展

擴(kuò)展名：org.sipesc.topo.MTopoFilter.

此擴(kuò)展的功能是利用過(guò)濾技術(shù)解決優(yōu)化過(guò)程中的數(shù)值問(wèn)題，例如，解決拓?fù)鋬?yōu)化中的棋盤(pán)格式、網(wǎng)格依賴性及灰度單元等數(shù)值問(wèn)題，相對(duì)于其他方法具有概念簡(jiǎn)單、容易操作以及通用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn).本擴(kuò)展主要采用密度過(guò)濾類算法，實(shí)現(xiàn)了Xu等［11］提出的體積守恒型非線性密度過(guò)濾策略.此擴(kuò)展主要接口如下：

（1）擴(kuò)展初始化：bool initialize（var，…）；

（2）靈敏度更新：QMap〈int，double〉updateSensitivity（var，…）.

考慮到程序開(kāi)發(fā)的長(zhǎng)遠(yuǎn)需要，工廠模式被用來(lái)設(shè)計(jì)此擴(kuò)展.所設(shè)計(jì)的工廠對(duì)象根據(jù)過(guò)濾算法類型動(dòng)態(tài)創(chuàng)建具體算法，實(shí)現(xiàn)算法的動(dòng)態(tài)調(diào)用.例如，針對(duì)體積守恒的非線性密度過(guò)濾方法，調(diào)用代碼如下：

這里，MTopoVolNLDensityFilter為工廠對(duì)象，MTopoFilter為過(guò)濾算法的基類，所有的過(guò)濾算法均基于基類實(shí)現(xiàn)，按基類方法調(diào)用，保證了代碼統(tǒng)一性；系統(tǒng)擴(kuò)展性由工廠機(jī)制完成，即上述代碼中的工廠名稱可動(dòng)態(tài)替換.

3.4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算擴(kuò)展

擴(kuò)展名：org.sipesc.topo.MStiffResponse.

此擴(kuò)展是一個(gè)工具擴(kuò)展，其作用是根據(jù)結(jié)構(gòu)有限元分析結(jié)果來(lái)計(jì)算優(yōu)化模型中的目標(biāo)／約束函數(shù)值以及相關(guān)的靈敏度.對(duì)于基于廣義列式描述的結(jié)構(gòu)最大化剛度設(shè)計(jì)問(wèn)題，求解式（1）中所定義的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，需要分開(kāi)計(jì)算指定位移uw處的反力fw，以及指定外力fp處的位移up，然而此目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度的計(jì)算仍需要求解單元應(yīng)變能.其主要接口如下：

（1）單元應(yīng)變能計(jì)算：double getElement－UTK0U（var，…）；

（2）單元體積計(jì)算：double getElement－Vol（var，…）；

（3）目標(biāo)函數(shù)計(jì)算：double getGeneral－Stiff（var，…）.

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到混合邊界條件作用時(shí)，調(diào)用SiPESC.FEMS中的擴(kuò)展MComputeKU；當(dāng)結(jié)構(gòu)僅受指定外力或是指定位移作用時(shí)，目標(biāo)函數(shù)自動(dòng)退化為應(yīng)變能的表達(dá)，此時(shí)調(diào)用單元應(yīng)變能計(jì)算擴(kuò)展更為簡(jiǎn)單.

3.5 軟件研發(fā)模式

基于SiPESC平臺(tái)的關(guān)鍵技術(shù)是插件和數(shù)據(jù)庫(kù).SiPESC.TOPO針對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算的需求，開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的擴(kuò)展模塊，利用已有的插件和數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)完成了計(jì)算功能；構(gòu)建了整體的優(yōu)化求解流程，并針對(duì)可能的擴(kuò)展需求，提出了基于工廠模式的解決方案.作為平臺(tái)類軟件的研發(fā)，開(kāi)放性是核心目標(biāo)；SiPESC.TOPO實(shí)現(xiàn)的框架和開(kāi)放性機(jī)制，為將來(lái)的多人／多組織協(xié)同開(kāi)發(fā)提供了機(jī)制和模式，也為功能動(dòng)態(tài)擴(kuò)展提供了保證.上述介紹的擴(kuò)展，均可在后續(xù)應(yīng)用中被二次開(kāi)發(fā)模塊調(diào)用，也可以在需要擴(kuò)展處實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)替換／更新.

4 SiPESC.TOPO算例

4.1 二維懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

如圖5（a）所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)L＝2m，高H＝1m，左端根部固定，右端中點(diǎn)作用豎直向下的集中力P＝100.0N.材料的彈性模量E＝10.0 MPa，泊松比ν＝0.3，材料體分比為0.3，進(jìn)行最大剛度設(shè)計(jì).

采用四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，初始網(wǎng)格劃分100×50.采用體積守恒型非線性密度過(guò)濾，過(guò)濾半徑0.05m，優(yōu)化求解采用MMA算法.優(yōu)化后的最優(yōu)拓?fù)淙鐖D5（b）所示，最優(yōu)設(shè)計(jì)拓?fù)錁?gòu)型清晰，傳力路徑合理；目標(biāo)函數(shù)迭代歷史曲線如圖5（c）所示，目標(biāo)光滑收斂.此經(jīng)典算例驗(yàn)證了SiPESC.TOPO拓?fù)鋬?yōu)化功能的正確性.

圖5 二維懸臂梁算例Fig.5 2－D cantilever beam example

4.2 三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

如圖6（a）所示的正六面體初始設(shè)計(jì)域，l1＝0.90m，l2＝0.45m，模型底部4個(gè)角點(diǎn)固定，頂部表面受對(duì)稱的線荷載P＝10.0kN／m作用.材料的彈性模量E＝68.0GPa，泊松比ν＝0.3，材料體分比為0.25，進(jìn)行最大剛度設(shè)計(jì).

采用八節(jié)點(diǎn)正六面體單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，初始網(wǎng)格30×30×30.同4.1一樣，仍然采用體積守恒型非線性密度過(guò)濾，過(guò)濾半徑0.05m，優(yōu)化求解采用MMA算法.優(yōu)化后的最優(yōu)拓?fù)淙鐖D6（b）所示，得到了清晰的結(jié)構(gòu)拓?fù)洌荒繕?biāo)函數(shù)迭代歷史曲線如圖6（c）所示，曲線收斂光滑.此算例說(shuō)明SiPESC.TOPO可用于求解三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.

圖6 三維結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例Fig.6 3－D structure optimization example

4.3 混合邊界條件下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

如圖7所示兩端固支梁，寬400mm，高100 mm，單位厚度，結(jié)構(gòu)同時(shí)受到A點(diǎn)豎直向上的外力F＝1N和B點(diǎn)豎直向下的指定位移D＝10mm的作用.材料的彈性模量和泊松比分別為1.0MPa和0.3.材料體分比為0.3，進(jìn)行最大剛度設(shè)計(jì).

圖7 兩端固支梁模型Fig.7 The beam model clamped at both ends

采用四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)力單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格離散，初始網(wǎng)格劃分200×50.同4.1一樣，仍然采用體積守恒型非線性密度過(guò)濾，過(guò)濾半徑4mm，優(yōu)化求解采用 MMA算法.進(jìn)一步，為了說(shuō)明SiPESC.TOPO進(jìn)行最大剛度設(shè)計(jì)時(shí)所采用的廣義優(yōu)化列式的優(yōu)越性，還分別采用了ANSYS、MSC.Nastran以及OptiStruct進(jìn)行求解.其中OptiStruct對(duì)此種情況不予求解并給出錯(cuò)誤警告，其他程序求解結(jié)果如圖8所示，可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)邊界上同時(shí)作用有指定的外力和非零位移時(shí)，SiPESC.TOPO得到了清晰的拓?fù)錁?gòu)型，并且迭代過(guò)程穩(wěn)定收斂.ANSYS和MSC.Nastran雖能以最小化柔順性為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解并也給出了材料分布，但是從目標(biāo)函數(shù)迭代歷史曲線來(lái)看違反了最小化要求，不理想.

圖8 不同程序平臺(tái)的優(yōu)化結(jié)果Fig.8 The optimal results under different program platforms

5 結(jié)論與展望

本文基于公共服務(wù)CAE軟件平臺(tái)SiPESC，探討了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模塊SiPESC.TOPO的開(kāi)發(fā).該模塊在SIMP插值模型的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，并能夠?qū)?yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)的棋盤(pán)格式、網(wǎng)格依賴性以及灰度單元等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象進(jìn)行處理.更值得一提的是，該模塊的最大剛度設(shè)計(jì)功能依據(jù)最新提出的結(jié)構(gòu)最大剛度設(shè)計(jì)的廣義優(yōu)化列式，能夠適用于各類邊界條件的情況，這是其他商用程序所不具備的.

另外，SiPESC.TOPO結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模塊繼承了SiPESC平臺(tái)的優(yōu)勢(shì)，具有較好的開(kāi)放性，并且其內(nèi)部插件的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展，使得在此基礎(chǔ)上的二次開(kāi)發(fā)靈活簡(jiǎn)單.該拓?fù)鋬?yōu)化模塊可對(duì)大規(guī)模的復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)的建模、分析、優(yōu)化、可視化等系列操作集成一身，并具備跨平臺(tái)優(yōu)勢(shì).因此SiPESC.TOPO適合于理論和算法研究；同時(shí)隨著SiPESC.FEMS功能提升，SiPESC.TOPO將具備解決大規(guī)模復(fù)雜工程問(wèn)題拓?fù)鋬?yōu)化的能力.

目前此模塊依然處于開(kāi)發(fā)階段，在求解問(wèn)題種類、優(yōu)化效率、用戶界面操作性方面需要進(jìn)一步拓展與完善，研究工作的目標(biāo)是逐步構(gòu)建結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域面向科學(xué)研究與工程應(yīng)用的開(kāi)放計(jì)算平臺(tái).

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