安徽省六安市第二中學(xué) 吳 斌 楊興軍 （郵編：237005）

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，是高考的重點(diǎn).近幾年高考已摒棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，將重心轉(zhuǎn)移到三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、基本思想的考查上，分析2013年高考題中的三角函數(shù)試題，可歸納為以下幾種類型.

1 純?nèi)菃?wèn)題

1.1 考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 （2013年高考大綱卷理12）已知函數(shù)f（x）＝cosxsin2x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A.y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱

B.y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱

C.f（x）的最大值為

D.f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

解析1 （排除法）

因?yàn)閒（π＋x）＋f（π－x）＝0，所以f（x）關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)A；

因?yàn)閒（＋x）＝f（－x）＝sinxsin2x，所以f（x）關(guān)于直線x＝對(duì)稱，排除選項(xiàng)B；

由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，排除選項(xiàng)D.

解析2 （直接法）

評(píng)注 此函數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)型三角函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ）），一般不能用它們的相應(yīng)結(jié)論，可用下式檢驗(yàn)其性質(zhì)：

f（a＋x）＋f（a－x）＝0?f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；

f（a＋x）－f（a－x）＝0?f（x）關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；

至于周期性、奇偶性可用定義判斷.

1.2 考查三角函數(shù)的圖象與解析式

例2 （2013年高考四川卷，理5）函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是（ ）

評(píng)注 利用圖象求y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的解析式主要從以下三個(gè)方面考慮：（1）根據(jù)最大值或最小值求出A的值；（2）根據(jù)周期求出ω的值；（3）根據(jù)函數(shù)圖象上某一特殊點(diǎn)（若是最值點(diǎn)或與y軸交點(diǎn)就用代入法，若是與x軸交點(diǎn)，可用五點(diǎn)法）求出φ的值.

1.3 考查三角恒等變換

解析1 （直接法）兩邊平方，再同時(shí)除以cos2α，解得tanα＝3或－，由倍角公式得tan2α＝－.

例5 （2013年高考重慶卷，理9）4cos 50°－tan 40°＝ （ ）

評(píng)注 三角恒等變換的通性通法是：從函數(shù)的名、角、次三方面進(jìn)行差異分析，再利用三角變換使異名化同名、異角化同角、高次化低次等，化角時(shí)“換元法”、“拼湊法”需強(qiáng)化.如考題：

2 與其他知識(shí)的綜合

2.1 與數(shù)列、方程、導(dǎo)數(shù)的綜合

例5 （2013年高考福建卷，理20）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（Ⅲ）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）＝f（x）＋ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn).

解 析 1 （Ⅰ）f（x） ＝ cos2x，g（x） ＝sinx（過(guò)程略）；

解析2 僅分析（Ⅲ），依題意，F(xiàn)（x）＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.

設(shè)t＝sinx，F(xiàn)（x）＝p（t）＝－2t2＋at＋1（－1≤t≤1），借助圖象利用x、t、F（x）之間對(duì)應(yīng)關(guān)系可知a≠±1時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，nπ）總有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)（不合題意）；而a＝±1時(shí)，情況同解析1.

說(shuō)明 本題考查的知識(shí)、方法、思想都很豐富，綜合性強(qiáng)，考生答題效果較差，但知識(shí)交匯方式比較新穎，值得關(guān)注.

2.2 與函數(shù)的綜合

A.［1，e］ B.［e－1－1，1］

C.［1，e＋1］ D.［e－1－1，e＋1］

解析 因?yàn)閥0＝sinx0∈［－1，1］，而f（x）≥0，f（f（y0））＝y(tǒng)0，所以y0∈ ［0，1］.

所以問(wèn)題化為①有解，即ex＋x－x2＝a在x∈［0，1］上有解，令g（x）＝ex＋x－x2，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)（二次求導(dǎo)）可知g（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，所以g（0）≤a≤g（1），故選A.

說(shuō)明 學(xué)生解決本題時(shí)，主要障礙是不能正確獲得y0的范圍以及將原問(wèn)題化為①有解.

2.3 與常用邏輯用語(yǔ)的綜合

例7 （2013年高考北京卷，理3）“φ＝π”是“曲線y＝sin（2x＋φ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的（ ）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

解析 由sinφ＝0可得φ＝kπ（k∈Z），此為曲線y＝sin（2x＋φ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件，故選A.

2.4 與平面向量的綜合

例8 （2013年高考遼寧卷，理17）設(shè)向量a＝ （sinx，sinx），b＝ （cosx，sinx），x∈.（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）＝a·b，求f（x）的最大值.

2.5 與解三角形、不等式的綜合

例9 （2013年高考全國(guó)卷 Ⅱ，理17）ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b＝2，求ΔABC面積的最大值.

解析 （Ⅰ）由已知及正弦定理得

由 ①② 和C∈ （0，π）得sinB＝cosB.

又B∈ （0，π），所以B＝.

說(shuō)明 三角題一般用平面向量進(jìn)行“包裝”，講究知識(shí)的交匯性，或?qū)⑷呛瘮?shù)與解三角形“縱聯(lián)橫拓”，講究知識(shí)的系統(tǒng)性，是高考題中必考內(nèi)容，大部分以解答題的形式出現(xiàn).

3 兩點(diǎn)啟示

3.1 “堅(jiān)持以本為本”.

這不應(yīng)是一句空話，2010年四川省考余弦差角公式，50萬(wàn)考生完全做對(duì)的不到500人，2011年陜西省考余弦定理證明，結(jié)果也很不理想，只有0.45的得分率（均分5.43分，其中的4分還是要求學(xué)生敘述定理的得分）.“堅(jiān)持以本為本”就是要堅(jiān)持“三基”的教學(xué)，要狠抓基本知識(shí)，基本方法，基本思想的教學(xué)；就是要堅(jiān)持“過(guò)程的教學(xué)”，注意知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，充分挖掘課本中每一個(gè)概念的內(nèi)涵及與它相關(guān)聯(lián)的知識(shí)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；就是要堅(jiān)持“數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)”，近幾年各地高考命題作了些有益的嘗試，如試題中出現(xiàn)了不少考查數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，學(xué)生若能抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，把題看“化”，也就能很快看出思路、方法、結(jié)果，從而提高解題速度、效率，高考對(duì)中學(xué)教學(xué)具有反撥作用，希望老師們能關(guān)注.

3.2 堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生的審讀能力.

筆者個(gè)人認(rèn)為：

（1）教學(xué)中，教師決不能代替學(xué)生的讀題、審題；

（2）教學(xué)中，教師必須為學(xué)生的讀題、審題提供較為充分的時(shí)間與空間；

（3）教學(xué)中，要逐步強(qiáng)化學(xué)生的審讀能力的訓(xùn)練，逐步縮短學(xué)生審讀試題所花費(fèi)的時(shí)間，逐步做到對(duì)試題審讀1－2遍，就能正確提取、篩選相關(guān)信息，確定好解題方案.