李曉霞
(運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山西 運(yùn)城 044000)
一類狀態(tài)脈沖不育控制的單種群模型
李曉霞
(運(yùn)城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山西 運(yùn)城 044000)
建立了一類狀態(tài)反饋脈沖控制的不育單種群模型,當(dāng)害鼠的數(shù)量達(dá)到經(jīng)濟(jì)危害水平時(shí),通過滅殺,從而控制種群數(shù)量的增長(zhǎng)。首先利用微分方程幾何理論和后繼函數(shù)的方法得到系統(tǒng)階1周期解得存在性,并給出了階1周期解得漸近穩(wěn)定性的充分條件。
狀態(tài)脈沖;不育;階1周期解
健康的生態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定、具有活力、有自調(diào)節(jié)能力的系統(tǒng)。系統(tǒng)為每一種植物、動(dòng)物、微生物都準(zhǔn)備了它們所需要的食物和生存空間,任何一種植物、動(dòng)物、微生物在系統(tǒng)中都有自己的位置;它們的存在不僅無害,還有助于維持整個(gè)系統(tǒng)的健康發(fā)展。然而在自然變化過程和人類不合理活動(dòng)的影響下,系統(tǒng)平衡常常會(huì)被打破,有些生物會(huì)偏離它們?cè)瓉淼膭?dòng)態(tài)軌跡,發(fā)生種群數(shù)量的爆發(fā),破壞生態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能,威脅人類的利益,從而變成有害生物,如果是鼠類,則稱為害鼠。害鼠的綜合治理早在20世紀(jì)60年代后期收到了人們的普遍關(guān)注,控制害鼠的方法分為化學(xué)控制,不育控制,生物防治,機(jī)械防治,物理防治等。化學(xué)控制會(huì)污染環(huán)境破壞生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。近年來,不育控制下的數(shù)學(xué)模型已受到廣大學(xué)者關(guān)注[1-8],研究了不育控制下的害鼠種群模型。但是,不育控制下種群的減小是一個(gè)緩慢的過程。
在害鼠防治中,不應(yīng)當(dāng)見鼠就治,而應(yīng)當(dāng)考慮充分考慮作物的補(bǔ)償作用,有研究結(jié)果表明,草木受害后不一定就造成生長(zhǎng)損失。相反,在一定程度上,可增加草木生長(zhǎng)量。當(dāng)受害程度達(dá)到補(bǔ)償點(diǎn)時(shí),草木生長(zhǎng)率最大,超過補(bǔ)償點(diǎn)以后,才出現(xiàn)生長(zhǎng)損失。因此,有害鼠不一定造成危害。從而在海鼠防治中,應(yīng)當(dāng)充分考慮作物的補(bǔ)償作用,確定害鼠的經(jīng)濟(jì)危害水平,制定準(zhǔn)確的經(jīng)濟(jì)閾值。基于此想法,本文建立一類不育控制下狀態(tài)脈沖收獲的害鼠防治模型,即當(dāng)害鼠數(shù)量達(dá)到經(jīng)濟(jì)危害水平h,實(shí)施滅殺控制,在小于經(jīng)濟(jì)危害水平h實(shí)施不育控制,關(guān)于帶有狀態(tài)依賴的脈沖微分方程[9]。
其中x(t),y(t)分別是害鼠可育者,害鼠不育者在時(shí)刻t的密度。近幾年,有關(guān)學(xué)者對(duì)不育控制下的種群模型做了不少的研究,但關(guān)于狀態(tài)反饋脈沖不育控制的單種群模型還沒有見到,因此研究以下系統(tǒng):
在文獻(xiàn)[8]中,討論了不育控制下的單種群模型:這里所有系數(shù)均為非負(fù)的,μ是每次投放不育劑使得害鼠可育者變?yōu)椴挥叩谋壤定義為經(jīng)濟(jì)危害水平中導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)危害的害蟲數(shù)量。
△x(t)=x(t+)-x(t),△y(t)=y(t+)-y(t),
p是實(shí)施滅殺控制時(shí)候的被捕獲的數(shù)量比例。
對(duì)系統(tǒng)(1)有以下結(jié)論:
定理1當(dāng)r-μ≤0時(shí),系統(tǒng)(1)零平衡點(diǎn)(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;
主要利用微分幾何理論和后繼函數(shù)的方法討論狀態(tài)依賴的脈沖微分系統(tǒng)(2)的階1周期解的存在性。
為了使用方便,下面給出一些記號(hào)和定義。脈沖集為
脈沖函數(shù)為
I:(x,y)∈M→((1-p)h,(1-p)y)。
相集
N=I(M)={(x,y)∈
x′(t)=0,y′(t)=0,
N1={(x,y)∈R2+|x=(1-p)h,y≥0}。
定義對(duì)于任意的點(diǎn)P∈N1,系統(tǒng)(2)存在過點(diǎn)P的軌線Γ,它與脈沖集M交與點(diǎn)P1,=I(P1)∈N,令yp+1,yp1,分別表示,P1與x軸距離,g(P)= yp+1-yp1那么g(P)就是點(diǎn)P的后繼函數(shù),其中稱為點(diǎn)P的后繼點(diǎn)。
定理2當(dāng)r-μ<0時(shí),系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。
(Ⅰ)點(diǎn)B+與點(diǎn)A重合;(Ⅱ)點(diǎn)B+在點(diǎn)A正上方;(Ⅲ)點(diǎn)B+在點(diǎn)A正下方。
當(dāng)B+與點(diǎn)A重合時(shí),顯然軌線Γ1就是系統(tǒng)(2)的階1周期解。下面證明在(Ⅱ),(Ⅲ)這每種情形之下,都存在階1周期解。
當(dāng)B+在A正下方,在點(diǎn)A的正下方且充分接近取一點(diǎn)C′。經(jīng)過C′的軌線設(shè)其為,根據(jù)微分方程解函數(shù)的性質(zhì),軌線Γ1與充分接近,且在兩軌線都沒有與脈沖集相交之前,它們沒有交點(diǎn)。又由于點(diǎn)是全局穩(wěn)定的焦點(diǎn),所以經(jīng)過C′的軌線肯定與脈沖集M相交,設(shè)其交點(diǎn)為,則其坐標(biāo)可設(shè)為(h,),顯然<yB1,且充分接近B,根據(jù)系統(tǒng)(2)可得<。從而C的后繼函數(shù)g(C)=<yC1<0。同樣取集合N1與x軸交點(diǎn)D′,則yD′=0。經(jīng)過D′的軌線設(shè)其為,由于點(diǎn)是全局穩(wěn)定的焦點(diǎn),所以經(jīng)過D′的軌線肯定與脈沖集M相交,設(shè)其交點(diǎn)為,則其坐標(biāo)可設(shè)為(h,),則yD′1>0。從而點(diǎn)的相點(diǎn)為((1-p)h,(1-p))。從而的后繼函數(shù)g(D′)=-yD′>0。由后繼函數(shù)的連續(xù)性1知,在線段D′C′一定存在一點(diǎn)E′,使得g(E′)=0,從而系統(tǒng)(2)存在階1周期解。
類似可證以下結(jié)論:
由上面的分析可知,系統(tǒng)(2)在滿足一定條件下,存在階1周期解,下面討論階1周期解的穩(wěn)定性。
引理若乘子|μ2|<1,則系統(tǒng)的T-周期解x=ξ(t),y=η(t)是軌道漸近穩(wěn)定的,其中
P(x,y)=(r-k(x+y)-μ)x,Q(x,y)=μx-dy,
α(x,y)=-px,β(x,y)=-py,φ(x,y)=x-h(huán),
(ξ(T),η(T))=(h+η0),(ξ(T+),η(T+))=
((1-p)h,(1-p)η0),
所以
令
那么,對(duì)于系統(tǒng)(2)有因?yàn)?x(t),y(t))是系統(tǒng)(2)的周期為T的周期解,則
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A S ingle Modelw ith Contraception Im pulsive State Control
LI Xiao-xia
(Department of Applied Mathematics,Yuncheng University,Yuncheng Shanxi,044000)
In this paper,a single model with c ontraception i mpulsive state control is proposed.When it reach es the critical case,the controlmeasures are taken by harvesting.The sufficient conditions for existences of order-1 periodic solution are obtained by differential equation geometry theory and themethod of successor function.The order-1 periodic solution is orbitally asymptotically stable under some conditions.
i mpulsive state;contraception;order-1 periodic solution〔責(zé)任編輯 高 海〕
1674-0874(2013)03-0016-03
O175
A
2013-03-19
運(yùn)城學(xué)院科研項(xiàng)目[YQ-2010011]
李曉霞(1984-),女,山西臨猗人,碩士,助教,研究方向:泛函分?jǐn)?shù)。