熊曉莉

(河南工業(yè)大學(xué)土木建筑學(xué)院，河南鄭州450001)

0 引言

按照彈性穩(wěn)定理論，T形截面壓桿與其他單軸對(duì)稱(chēng)截面一樣，當(dāng)壓力作用在截面形心時(shí)，構(gòu)件繞其對(duì)稱(chēng)軸發(fā)生彎扭屈曲.而當(dāng)壓力作用在截面的剪切中心時(shí)，T形截面壓桿繞其對(duì)稱(chēng)軸發(fā)生彎曲屈曲或扭轉(zhuǎn)屈曲.自從上世紀(jì)六十年代開(kāi)始，這一特點(diǎn)就逐漸廣泛地被國(guó)內(nèi)外研究人員所認(rèn)識(shí)［1-4］.在 2004 年和 2007 年，陳紹蕃［1-2］提出了下述觀點(diǎn):T形截面壓桿具有如下特性，即當(dāng)壓力由截面形心移至剪切中心時(shí)，其繞對(duì)稱(chēng)軸失穩(wěn)時(shí)的承載能力將得到提高.然而，文獻(xiàn)［5］進(jìn)行ANSYS有限元分析后證明該結(jié)論不正確.

筆者從以下兩方面進(jìn)行研究:一方面，以我國(guó)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50017—2003)［6］的設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)，提出計(jì)算T形截面壓桿設(shè)計(jì)承載力的新方法——折算長(zhǎng)細(xì)比法，該方法與文獻(xiàn)［1］中的方法和規(guī)范中的方法均有所不同;另一方面，既然T形截面壓桿的設(shè)計(jì)承載力也能通過(guò)ANSYS有限元分析獲得，筆者將對(duì)比新方法、文獻(xiàn)［1］方法和規(guī)范方法的計(jì)算結(jié)果，證明新方法的合理性.

1 T形截面壓桿的屈曲臨界力

由彈性穩(wěn)定理論可知，忽略對(duì)稱(chēng)軸平面內(nèi)的失穩(wěn)，如圖1所示的T形截面的兩端鉸支軸心壓桿繞其對(duì)稱(chēng)軸y軸發(fā)生彎扭屈曲，其屈曲臨界力Pyz可由下式獲得［1-4］

式中:i0為截面對(duì)剪心S的極回轉(zhuǎn)半徑=+;e0為截面形心至剪心的距離;ix，iy為截面繞x軸，y軸的回轉(zhuǎn)半徑;PEy為歐拉臨界力，PEy=π2EIy/l2;Iy為截面繞 y軸的慣性矩;E為材料的彈性模量;l為桿件的計(jì)算長(zhǎng)度;Pz為軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力，Pz=GIt;It為截面抗扭慣性矩;G為材料的剪切模量.

由式(1)可知，Pyz與 PEy和 Pz有關(guān)，且比二者中的任何一個(gè)都小.這表明剪心偏離形心導(dǎo)致壓桿的臨界荷載降低.

另一方面，壓力作用于剪切中心的T形截面壓桿繞對(duì)稱(chēng)軸y軸屈曲時(shí)彎曲變形與扭轉(zhuǎn)變形不再耦合［1-4］，屈曲臨界力有兩個(gè)，一個(gè)為繞對(duì)稱(chēng)軸y軸屈曲時(shí)的歐拉臨界力PEy;另一個(gè)為扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力，由下式給出:

式中:βy為單軸對(duì)稱(chēng)截面的幾何特性

式中:Ix為截面繞 x軸的慣性矩;A為截面面積;x，y為截面上任一點(diǎn)在形心主坐標(biāo)系統(tǒng)(如圖1)中的坐標(biāo).

由于e0與βy總是異號(hào)，根據(jù)式(2)和式(3)可知，Pzs總是比 Pz大，并且常比 PEy大.

如果壓力作用點(diǎn)在截面形心與彎心之間的區(qū)域內(nèi)，臨界荷載Pyze由下式獲得

式中:ey為荷載的偏心距.

圖2中的曲線I即為當(dāng)壓力由形心移至彎心的過(guò)程中，理想T形截面壓桿的臨界力變化曲線.

2 T形截面壓桿設(shè)計(jì)計(jì)算的折算長(zhǎng)細(xì)比法

T形截面壓桿的臨界荷載一般是針對(duì)彈性構(gòu)件而言的.實(shí)際上，長(zhǎng)細(xì)比λy=60的T形截面壓桿繞對(duì)稱(chēng)軸y軸通常在彈塑性階段發(fā)生失穩(wěn)，其穩(wěn)定設(shè)計(jì)承載力能通過(guò)折算長(zhǎng)細(xì)比方法獲得，該方法的實(shí)用計(jì)算公式是基于現(xiàn)行國(guó)家GB 50017—2003《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》［6］提出的.

根據(jù)前述的屈曲分析內(nèi)容，能獲得壓桿的屈曲臨界力Pcr.對(duì)于軸心壓桿而言，繞對(duì)稱(chēng)軸屈曲時(shí)的臨界力 Pcr=Pyz.對(duì)剪心加載的壓桿而言，平面外屈曲臨界力Pcr=min(PEy，Pys)，平面內(nèi)屈曲臨界力 Pcr=PEx，其中:PEx為繞非對(duì)稱(chēng)軸 x軸的歐拉臨界力.對(duì)一般的偏心加載壓桿而言，平面外屈曲臨界力Pcr=Pyze，平面內(nèi)屈曲臨界力Pcr=PEx.

可借助折算長(zhǎng)細(xì)比的概念將彎扭屈曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為彎曲屈曲問(wèn)題，折算長(zhǎng)細(xì)比

式中:σcr為T(mén)形截面壓桿橫截面上的屈曲應(yīng)力，σcr=Pcr/Ac，Ac為偏心壓桿的等效截面面積，Ac可由下式獲得

式中:σn為壓力P作用點(diǎn)處截面上的一階應(yīng)力.

根據(jù)現(xiàn)行鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中軸心壓桿的正則化長(zhǎng)細(xì)比公式，T形截面壓桿的正則化長(zhǎng)細(xì)比公式如下

式中:fy為材料的屈服強(qiáng)度.

由規(guī)范中的柱子曲線(即φ-λ曲線，φ為穩(wěn)定系數(shù)，λ為長(zhǎng)細(xì)比)可知，T形截面壓桿的柱子曲線表達(dá)式如下:

若λn≤0.215，曲線a的穩(wěn)定系數(shù)

曲線b的穩(wěn)定系數(shù)

曲線c的穩(wěn)定系數(shù)

若λn＞0.215，穩(wěn)定系數(shù)

式中:ε0為等效偏心率，其表達(dá)式如下

曲線 a，ε0=0.152λn-0.014，

曲線 b，ε0=0.300λn-0.035，

曲線c，當(dāng)0.215 ＜ λn≤1.05 時(shí)，ε0=0.595λn-0.094;當(dāng) λn＞1.05 時(shí)，ε0=0.302λn+0.216.

T形截面壓桿的設(shè)計(jì)承載力

式中:f為材料屈服強(qiáng)度的設(shè)計(jì)值，f=fy/γR.

若不計(jì)T形截面壓桿繞非對(duì)稱(chēng)軸的失穩(wěn)，壓力產(chǎn)生的彎矩作用在對(duì)稱(chēng)軸平面內(nèi)的兩端鉸支T形截面壓桿的設(shè)計(jì)承載力可由上述式(5)～式(12)計(jì)算獲得.該方法對(duì)T形截面壓桿穩(wěn)定承載力的計(jì)算具有普適性，適用于軸心受壓、剪心受壓以及壓力作用于截面軸心與剪心之間的任何情況.表1中列出了T形截面鋼壓桿(鋼材屈服強(qiáng)度 fy=235 N/mm2，彈性模量E=206 000 N/mm2，剪切模量G=79 000 N/mm2)設(shè)計(jì)承載力的計(jì)算結(jié)果.

3 文獻(xiàn)［1］中T形截面壓桿的設(shè)計(jì)方法

文獻(xiàn)［1］中，剪心加載的T形截面壓桿設(shè)計(jì)承載力式中:φy為相應(yīng)于長(zhǎng)細(xì)比λy的穩(wěn)定系數(shù).

對(duì)軸心受壓構(gòu)件而言，借助換算長(zhǎng)細(xì)比將彎扭屈曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為彎曲問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算

式中:λz為扭轉(zhuǎn)屈曲時(shí)的換算長(zhǎng)細(xì)比，=25.7A

軸心受壓時(shí)的設(shè)計(jì)承載力

式中:φyz為相應(yīng)于長(zhǎng)細(xì)比λyz的穩(wěn)定系數(shù).

按照式(13)，(14)和(15)，T形截面壓桿設(shè)計(jì)承載力的計(jì)算結(jié)果詳見(jiàn)表1.

4 規(guī)范中的T形截面壓桿設(shè)計(jì)方法

規(guī)范GB50017—2003中，軸心壓桿設(shè)計(jì)承載力可由式(14)和式(15)獲得.

對(duì)偏心壓桿而言，設(shè)計(jì)承載力可由規(guī)范中的一系列公式獲得.平面外穩(wěn)定承載力可根據(jù)下式計(jì)算

式中:Mx為荷載偏心引起的繞非對(duì)稱(chēng)軸x軸的彎矩;W1x為截面最外邊緣纖維處的抗彎模量;φb為桿件純彎曲時(shí)的穩(wěn)定系數(shù)，對(duì)T形截面壓桿而

平面內(nèi)的穩(wěn)定承載力可由下式計(jì)算

式中:φx為彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù);γx1為截面塑性發(fā)展系數(shù)，對(duì)于T形截面受壓翼緣而言，取 1.05;P’Ex為參數(shù)，P’Ex=π2EA/(1.1.

表1中列出了公式(16)，(17)和(18)的計(jì)算結(jié)果.

5 T形截面壓桿彎扭屈曲的ANSYS分析

使用通用有限元程序ANSYS建立兩端鉸支的T形截面壓桿的有限元模型，并對(duì)其進(jìn)行非線性分析獲得設(shè)計(jì)承載力，鋼材的屈服強(qiáng)度取235 N/mm2，分析采用Von Mises屈服準(zhǔn)則.

選取SHELL181單元，該單元為適用于線性、大轉(zhuǎn)動(dòng)和大應(yīng)變分析的四節(jié)點(diǎn)單元［7-8］.

對(duì)材料屬性的定義分為線性和非線性兩部分.線性部分是在線性靜力分析階段之前進(jìn)行定義的.定義楊式彈性模量E=206 000 N/mm2，泊松比v=0.3.非線性部分在非線性階段定義，相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線如圖3所示.

建立幾何模型.為正確模擬現(xiàn)實(shí)情況中構(gòu)件兩端的鉸支約束，需要將構(gòu)件兩端部單元的彈性模量E修改為較大值.

定義邊界條件，施加荷載，設(shè)定分析類(lèi)型，選擇靜力分析，激活預(yù)應(yīng)力開(kāi)關(guān)后求解，然后，重新進(jìn)入求解器，指定分析類(lèi)型為特征值屈曲分析并求解，獲得屈曲荷載和屈曲模態(tài).

圖3 應(yīng)力—應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curve

引入模型缺陷，如初始變形和如圖4所示初始應(yīng)力，定義材料的非線性，重新加載(加載大小約為屈曲荷載的50% ～80%)，設(shè)定分析類(lèi)型為靜力分析，打開(kāi)大變形開(kāi)關(guān)，選擇弧長(zhǎng)法，設(shè)置收斂準(zhǔn)則，設(shè)置子步數(shù)，求解并獲得非線性屈曲荷載.

圖4 初始應(yīng)力分布Fig.4 Distribution of initial stress

為證明新方法的正確性，表1中列出了一些T形截面鋼壓桿基于ANSYS的非線性分析結(jié)果.圖2中的曲線II即為當(dāng)壓力由截面形心移至剪心時(shí)的設(shè)計(jì)承載力的變化曲線.

6 折算長(zhǎng)細(xì)比法、文獻(xiàn)［1］方法、規(guī)范方法與ANSYS的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［5］中，對(duì)壓力作用在剪心、形心和形心與剪心之間的M點(diǎn)(CS中點(diǎn))時(shí)T形截面壓桿的承載力大小進(jìn)行了對(duì)比.表1中列出了對(duì)T248×199×9×14和 T298×199×10×15壓桿分別按照新方法(折算長(zhǎng)細(xì)比法)、文獻(xiàn)［1］方法、規(guī)范方法、ANSYS方法的計(jì)算結(jié)果.

表1 壓力作用在不同位置時(shí)T形截面壓桿承載力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of T-strut capacity subject to loading at different positions

文獻(xiàn)［1］中數(shù)據(jù)表明，當(dāng)壓力由形心移至彎心或M點(diǎn)時(shí)，構(gòu)件的承載力將有所提高.文獻(xiàn)［1］按照其中提出的計(jì)算方法，在計(jì)入截面彎角部分面積的條件下得到了T形截面鋼壓桿的穩(wěn)定承載力.為了將其與筆者提出的折算長(zhǎng)細(xì)比法、規(guī)范方法和ANSYS的計(jì)算結(jié)果(均未計(jì)入截面彎角部分面積)進(jìn)行比較，表1中所列出的文獻(xiàn)［1］中數(shù)據(jù)為按照其提出的計(jì)算方法，在不計(jì)入截面彎角部分面積的條件下得到的計(jì)算結(jié)果.因此，與文獻(xiàn)［1］中的原數(shù)據(jù)略有不同，但差別不大.

由于ANSYS模型更貼近實(shí)際情況，而新方法和規(guī)范中的計(jì)算公式均偏于安全，ANSYS的計(jì)算結(jié)果大于新方法和規(guī)范的計(jì)算結(jié)果.并且，新方法的計(jì)算結(jié)果與ANSYS的計(jì)算結(jié)果更為貼近.新方法、規(guī)范方法以及ANSYS方法中的計(jì)算結(jié)果均表明:荷載的偏心將導(dǎo)致壓桿承載力的下降.

由表1中的數(shù)據(jù)可知，文獻(xiàn)［1］中的計(jì)算方法有誤，原因是:按照式(13)計(jì)算剪心加載的T形截面壓桿的設(shè)計(jì)承載力是不合理的，該式僅適用于雙軸對(duì)稱(chēng)截面和極對(duì)稱(chēng)截面壓桿承載力的計(jì)算.因而，在桁架設(shè)計(jì)中，不能按照文獻(xiàn)［1］的建議將壓力作用線由T形截面壓桿的形心軸移至剪心軸.

雖然ANSYS的非線性分析結(jié)果更接近實(shí)際，但由于有限元模型的建立過(guò)于復(fù)雜而不便于應(yīng)用.因此，基于上述4種方法的對(duì)比分析結(jié)果，建議對(duì)T形截面壓桿進(jìn)行穩(wěn)定承載力計(jì)算時(shí)采用折算長(zhǎng)細(xì)比法.

7 結(jié)論

在彈性階段，無(wú)缺陷的的T形截面壓桿繞其對(duì)稱(chēng)軸屈曲時(shí)，當(dāng)壓力由截面剪切中心移至形心時(shí)，其屈曲荷載將會(huì)降低.然而，在彈塑性階段，有初彎扭、初偏心及殘余應(yīng)力等初始缺陷的T形截面壓桿繞其對(duì)稱(chēng)軸屈曲時(shí)，當(dāng)壓力由截面剪切中心移至形心時(shí)，其屈曲荷載將會(huì)提高.

介紹了4種計(jì)算T形截面壓桿設(shè)計(jì)承載力的方法，特別提出了一種新方法——折算長(zhǎng)細(xì)比法，并將該方法與陳紹蕃提出的計(jì)算方法、規(guī)范中的計(jì)算方法以及有限元法進(jìn)行對(duì)比后指出新方法合理、簡(jiǎn)捷，值得推廣應(yīng)用.

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［6］中華人民共和國(guó)建設(shè)部.GB 50017—2003鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京:中國(guó)計(jì)劃出版社，2004.

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