王祥，陳金梅，劉有軍，趙嬛嬛

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州034000；

2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

正定厄米特矩陣乘積的特征值新估計(jì)

王祥1，陳金梅1，劉有軍2，趙嬛嬛2

（1.忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州034000；

2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

主要是對(duì)正定厄米特矩陣乘積的特征值給出更精確估計(jì)，并且得到一種不斷縮小上下限的距離的方法，經(jīng)過(guò)若干次的減小能夠取得較滿意的結(jié)果。

正定厄米特矩陣；矩陣乘積；特征值估計(jì)

特征值的估計(jì)一直是矩陣分析領(lǐng)域非常熱門的課題。它在理論和實(shí)際應(yīng)用上都有意義，因而為人們所關(guān)注。設(shè)A=（aij）n×n與B=（bij）n×n是n×n正定厄米特矩陣，其中n＞1，對(duì)正定厄米特矩陣A與B，我們簡(jiǎn)記為A＞0，B＞0，μi和νi（i=1，2，…，n）分別為A和B的特征值。λi（AB）是乘積矩陣AB的特征值。對(duì)一般的復(fù)矩陣A，B，其乘積矩陣AB的特征值，估計(jì)很困難。通常限定A＞0，B＞0，文獻(xiàn)[1]在此條件下給出了一個(gè)估計(jì)

得到上界與下界，文獻(xiàn)[1]中改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的上述估計(jì)得到估計(jì)

minμjminνj≤λi≤m axμjm axνj。

文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果，得到較精確的估計(jì)。

主要是對(duì)矩陣乘積的特征值給出更精確的上界與下界，并且得到一種不斷縮小上下限的距離的方法，經(jīng)過(guò)若干次的減小能夠取得較滿意的結(jié)果，它是文獻(xiàn)[2]結(jié)果的一般化，且改進(jìn)了文獻(xiàn)[3-9]的結(jié)果。

引理1[1]設(shè)A＞0，那么A－1＞0。

引理3[4]設(shè)A與B是n×n正定厄米特矩陣，

λi（AB）≤（maxνi）μi（A）（i=1，2，…，n），

λi（AB）＜（maxμi）νi（B）（i=1，2，…，n）。

定理1 設(shè)A與B是n×n正定厄米特矩陣，矩陣AB的特征值有下界

則有

證明由引理2我們有

因?yàn)棣?＋λ2＋…＋λn＞

所以

由引理1知A＞0，B＞0，有A-1＞0，B-1＞0，從引理3

λi（AB）＋…＋λn（AB）＜tr（A）（m axνj），

所以

定理2設(shè)A與B是n×n正定厄米特矩陣，AB特征值有下界

證明因?yàn)?/p>

（1）式證明，不等式（2）同樣能證明。

[1]游光榮.關(guān)于正定厄米特矩陣乘積的特征值的最優(yōu)估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1990（3）：51-54.

[2]Sha Huyun.Estimation of the Eigenvalues of AB for A＞0，B＞0[J].Linear Algebra and Its Application，1986（73）：147-150.

[3]周金土.關(guān)于正定厄米特矩陣乘積的特征值估計(jì)的改進(jìn)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1993（4）：74-75.

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[8]陳景良，陳向暉.特殊矩陣[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001.

[9]石鐘慈，鄧健新.代數(shù)特征值問(wèn)題[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

The New Estimation of the Eigenvalues of the Product of Postive Herm itian Matrices

WANG X iang1，CHEN J in-mei1，L IU Y ou-jun2，Z HAO H uan-huan2
（1.Xinzhou Teachers University，X inzhou Shanxi，034000；
2.School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，D atong Shanxi，037009）

In this paper，we point outmore accurate estimation for the eigenvalues of the product ofmatrices，when A and B are positive Hermitianmatrices.We obtained amethod of shrinking upper and lower distance，and able to achieve satisfactory results after a number of reduc tions.

positive Hermitianmatrices；matices product；estimation of eigenvalues

O151.21

A

2012-10-25

忻州師范學(xué)院自然科學(xué)基金項(xiàng)目[201124]

王祥（1978-），男，山西忻州人，碩士，講師，研究方向：最優(yōu)化理論和矩陣?yán)碚摗?/p>

1674-0874（2013）01-0018-04