買阿麗,盧永紅,孫國偉

（1.運城學院應用數(shù)學系，山西 運城 044000；

2.山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

一類Dirichlet邊值問題多解的存在性

買阿麗1,盧永紅2,孫國偉1

（1.運城學院應用數(shù)學系，山西 運城 044000；

2.山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西 大同 037009）

利用上下解方法結合變分法得到了一類Dirichlet邊值問題四解存在的充分條件。關鍵詞：臨界點；上下解；多解；Dirichlet邊值問題

其中Lu＝（p（x）u′）′－q（x）u是Sturm－liouville算子，p，q∈C1［0，1］，p，q＞0，f（x，u）在［0，1］×R上是連續(xù)的且關于u是Lipschitz連續(xù)的，對所有的x∈［0，1］。我們可以得到問題（1）的四個解的存在性并給出了解存在的具體范圍。

近幾年Dirichlet邊值問題解的存在性是學者們研究的熱點課題[1-7]，其主要研究方法包括：臨界點理論，不動點理論，拓撲度理論，三臨界點理論等方法。

將研究如下的一類Dirichlet邊值問題

1 預備知識

設空間H=H′［0，1］是Sobolev空間，定義H的內積如下

由內積導出的范數(shù)

定義空間X=C1［0，1］，范數(shù)為

‖u‖X＝max｛maxx∈［0，1］｜u（x）｜，maxx∈［0，1］｜u′（x）｜｝，顯然X稠密嵌入H。

定義泛函Φ：H→R如下

由文獻[8]，問題（1）的解等價于泛函Φ的臨界點，即〈Φ′（u），v〉＝0，v∈H，其中

設G（x，s）[9]是以下問題的格林函數(shù)

格林函數(shù)的性質見文獻[1]。

定義1泛函?：［0，1］→R是（1）的下解是指如果?∈C1［0，1］，p?′∈C1［0，1］使得

－L?≤f（x，?），

?（0）≥0，?（1）≤0。

定義2泛函ψ：［0，1］→R［0，1］是（1）的上解是指，如果ψ∈C1［0，1］，pψ′∈C1［0，1］使得

－Lψ≥f（x，ψ），

ψ（0）≤0，ψ（1）≥0。

2 主要結果

引理1[10]設H是Hibert空間且X是Bancch空間使得X嵌入H。設Φ是定義在H上的C2－0泛函。假設

（1）Φ′（u）＝u－Au且Φ′（u）是X到X上的Lips－

（2）K=｛u∈H：Φ′（u）=0｝?X。

（3）Φ在H上滿足（PS）-條件。

（4）存在X中的兩個開凸集D1和D2，D1∩D2≠?，A（?xD1）?D1和A（?xD2）?D2。

如果存在一路徑h：［0，1］→X使得

h（0）∈D1＼D2，h（1）∈D2＼D1，

和

其中?xD和D—X分別是D關于X的邊界和閉包。

引理2[1]函數(shù)u∈H是泛函Φ的臨界點，當且僅當u∈X是方程

引理3 gradΦ（u）=u-Au，其中

證明對任意的h∈H，。

其中0＜θ＜1。

對任意的h∈H，利用分部積分和格林函數(shù)的性質可得，

于是由上式和（5）可得定義線性特征值問題

定義線性特征值問題

（6）有一列特征值（λ1）：0＜λ1≤λ2≤…≤λj≤…。對應的特征函數(shù)是φ1，φ2，…。且‖φ‖iH=1，i=1，2，…，構成H的正交基。

引理4假設（H1）成立，則泛函Φ滿足（PS）-條件。

（H1）存在數(shù)a，b且λk＜a＜b＜λk＋1，k≥2使得

a≤f（′tx，t）≤b，?x∈［0，1］，｜t｜≥R1。

證明類似于文獻[1]中的引理，只需要做如下修改：n

定理1 假設（H1）成立，再假設

（H2）（1）有下解?∈C［20，1］和上解ψ∈C［20，1］，?≤ψ；

（H3）u≤v有（f x，u）≤（f x，v）。

則問題（1）至少四個解。

證明利用引理1證明此定理，下面驗證滿足引理的條件即可。

設D1=｛u∈X：u＞?，x∈［0，1］｝和D2=｛u∈X：u＜ψ，x∈［0，1］｝。顯然D1和D2是X中的開凸集且D1∩D1≠?。

若u∈?xD1且v=Au，則由（H3）得

所以Au≥A?。

設ω=A?，下證A?≥?。

事實上，由定義得

-Lω＋L?=-LA?＋L?≥0，

并由格林函數(shù)的性質

同理得ω（1）-?（1）≥0。

由引理4，ω≥?。故A?≥?。

因此Au≥A?≥?。從而A（?xD1?D1），類似的可證A（?xD2）?D2。

假設（H1）中的k=2，選取路徑為

下證Φ（h（rs））→－∞，r→＋∞，s∈［0，1］。

注意到（φi，φ）j＝0，i≠j，由內積定義易得，

且‖φi‖H＝1，i＝1，2，…。

因此存在常數(shù)C1，C2＞0使得

由（H1），存在常數(shù)C3，C4＞0滿足

所以

（6）兩邊同乘以φ，注意到邊界條件，得

于是（8）變?yōu)?/p>

由（7）和（9）得

當r→∞，s∈[0，1]。所以r充分大，

由引理4并應用引理1，問題（1）至少存在四個解，分別為：

[1]Tian Y，Ge W.Multiple solution of Sturm-Liouville boundary value problem via lower an upper solution and variationalmethods [J].Nonliear Anal，2011（74）：6733-6744.

[2]BaiZ.Teupperand lowersolutionmethod for some fourth orderboundary valueproblem[J].NonliearAnal，2007，67（15）：1704-1709.

[3]Averna D，BonannoG.A tree criticalpoints theorem and itsapplications to theordinary Dirichletproblem[J].TopolMethods Nonliear Anal，2003（22）：93-104.

[4]Lin X，Jiang D.Multiple positive solution of Dirichlet boundary value problems for second order impulsive differential equations [J].Jmath Anal Appl，2006（321）：，501-514.

[5]Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M].Springer-VerLag：Berlin，1989.

[6]Agarwal R.P，Hong Huei-Lin，Yeh Cheh-Chih.The existence of positive solutions for the Sturm-Liouville boundary value problem[J].ComputMath Appl.1998，35（9）：89-96.

[7]盧永紅，劉宏英.橄欖樹距離和及平均距離的求解[J].山西大同大學學報：自然科學版，2010，26（2）：15-17.

[8]Tian Y，GeW.Applications of variationalmethods to boundary value problem for impulsive differential equations[J].Proc.Edinb.Math.Soc，2008（51）：509-527.

[9]郭大均，孫經先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法[M].濟南：山東科學技術出版社，1995.

[10]Liu Z L，Sun JX.Invariant sets of descending flow in critical point theory with applications to nonlinear differential equations[J].J.Differential Equations，2001（172）：257-299.

Multip le S olutions to Dirichlet Boundary Value Problem

MAIA-li1，LU Yong-hong2，SUN Guo-wei1
（1.Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng Shanxi，044000；2.School of Mathematics and Computer Science，Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，by using lower and upper solutions and variationalmethods，we obtain a sufficient condition of four solutions for a class of Dirichletboundary value peoblem.

c ritical point；l ower and upper solutions；multiple solutions；d irichletboundary value peoblem

1674-0874（2013）01-0006-04

O175.7

A

2012-10-10

運城學院基礎研究項目[J C-2009024]

買阿麗（1981-），女，山西河津人，博士，講師，研究方向：常微分方程及其應用。chitz連續(xù)。

〔責任編輯 高 海〕