陳向民，于德介，李 蓉

（湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

引 言

變速齒輪箱是機械系統(tǒng)中的重要部件，因其工作環(huán)境惡劣，且常處于變載荷下運行，容易因疲勞磨損而發(fā)生局部故障。在實際生產(chǎn)中，故障往往不是單獨出現(xiàn)的，某些故障常常會誘發(fā)其他故障的發(fā)生［1］，因此，對變速齒輪箱的復合故障進行研究具有重要的實際意義。

近年來，許多學者致力于機械系統(tǒng)中復合故障的研究，取得了較好的效果。常用的復合故障診斷方法主要有：基于小波的復合故障診斷方法、基于EMD的復合故障診斷方法、基于盲信號處理的復合故障診斷方法、基于形態(tài)分析的復合故障診斷方法、基于模式識別的復合故障診斷方法等［1～11］。上述方法主要是針對平穩(wěn)振動信號，即恒定轉(zhuǎn)速下的復合故障診斷，但在工程實際中，受工況、載荷變化等影響［12，13］，齒輪箱的轉(zhuǎn)速為一時變量，而故障特征往往與轉(zhuǎn)速相關，亦為一時變量，因而，需要預先對振動信號進行平穩(wěn)化處理。

工程實際中常采用階比跟蹤方法來實現(xiàn)信號的平穩(wěn)化［14，15］，其基本思想是將時域非平穩(wěn)振動信號進行等角度重采樣轉(zhuǎn)化為角域平穩(wěn)振動信號。常用的階比跟蹤方法有硬件階比跟蹤法、計算階比跟蹤法、基于瞬時頻率估計的階比跟蹤法等［16～18］。其中，基于瞬時頻率估計的階比跟蹤法因無需安裝角度編碼盤、轉(zhuǎn)速計等硬件，近年來得到了廣泛的關注。而在基于瞬時頻率估計的階比跟蹤法中，其核心問題是如何從原始振動信號中準確地提取出轉(zhuǎn)速信號。EMMANUE等近年提出了線調(diào)頻小波路徑追蹤算法［19］，該算法通過對線調(diào)頻小波圖中的線調(diào)頻小波原子進行連接，自適應的獲得頻率呈曲線變化的信號分量。由于該方法具有精度高、抗噪能力強等優(yōu)點，能自適應地從振動信號中提取出轉(zhuǎn)頻信息。近年被引入機械故障診斷［20，21］。

針對變速齒輪箱復合故障的診斷問題，本文結(jié)合線調(diào)頻小波路徑追蹤算法、階次跟蹤和能量算子解調(diào)［22］，提出了基于階次解調(diào)譜的變速齒輪箱復合故障診斷方法。該方法先采用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法自適應地從變速齒輪箱原始振動信號中提取轉(zhuǎn)速信號；然后利用該轉(zhuǎn)速信號對原始振動信號進行等角度重采樣，將時域非平穩(wěn)信號轉(zhuǎn)化為角域周期平穩(wěn)信號；最后對角域周期平穩(wěn)信號進行能量算子解調(diào)分析，根據(jù)階次解調(diào)譜進行變速齒輪箱復合故障診斷。算法仿真和應用實例表明，本文方法能有效地提取出變速齒輪箱中復合故障的故障特征。

1 線調(diào)頻小波路徑追蹤算法

線調(diào)頻小波路徑追蹤算法采用的多尺度線調(diào)頻基元函數(shù)庫如下

式（1）定義的多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)在動態(tài)分析時間段內(nèi)的瞬時頻率為aμ＋2bμt。通過多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)對信號進行逐段投影分析，計算獲得每個時間分析段I內(nèi)的最大投影系數(shù)和對應的線調(diào)頻基元函數(shù)，該基元函數(shù)即為在時間分析段I中與分析信號最為相似的頻率成分。線調(diào)頻基函數(shù)的多尺度特性使它具有動態(tài)匹配分析信號的特性，而基函數(shù)中包含的調(diào)頻率信息則使其適合分析頻率呈曲線變化的非平穩(wěn)信號。

當信號與多尺度線性調(diào)頻基函數(shù)越相似時，其投影系數(shù)也越大，基元函數(shù)的能量也越大，因此要找到一種動態(tài)分析時間段連接方法，在該連接方法下整個分析時間內(nèi)連接的所有基元函數(shù)的總能量最大，即

Π覆蓋整個分析時間段，不重疊，其對應的最大投影系數(shù)和基元函數(shù)分別為

Π的連接方法應保證在投影中使連接的基函數(shù)在整個分析時間段內(nèi)的總能量最大，線調(diào)頻小波路徑追蹤算法提出的連接算法如下：

（1）初始化。以i為時間支持區(qū)序號，為第i個時間支持區(qū)之前分解信號的總能量，pi為連接到第i個時間支持區(qū)的前置時間支持區(qū)序號，Eei為第i個時間支持區(qū)最大投影系數(shù)對應的分解信號的能量，初始化時，置

（2）對于動態(tài)分析時間段集合｛Ii，i∈Z｝中的每一個元素Ii，查找出與其相鄰的所有下一個動態(tài)分析時間段集合｛Ij｝，即｛Ij｝中所有元素的起始時間與Ii相鄰。如果

有

2 能量算子解調(diào)

具有時變幅值a（t）和時變相位ω（t）的AM－FM信號x（t）的一般表達式為

其能量算子定義為

對式（6）求導得

對式（8）求導得

同理可得

由式（10）和（11）可求出信號的瞬時幅值a（t）和瞬時相位ω（t）

3 基于階次解調(diào)譜的變速齒輪箱復合故障診斷方法

齒輪、軸承作為變速齒輪箱的主要部件，在變速齒輪箱的機械傳動中起著重要的作用。由于變速齒輪箱工作環(huán)境惡劣，且常處于變載荷下運行，齒輪箱中的齒輪、軸承容易因疲勞、磨損等出現(xiàn)局部故障。

當齒輪箱中的軸承內(nèi)圈或外圈出現(xiàn)裂紋、點蝕等局部故障時，會產(chǎn)生周期性的沖擊信號，其沖擊出現(xiàn)的頻率（調(diào)制頻率）為內(nèi)圈或外圈的通過頻率［23］，內(nèi)圈、外圈的通過頻率計算公式分別如下

式中Z為滾動體個數(shù)，fr為軸的轉(zhuǎn)頻，d0為滾動體直徑，D為節(jié)徑，α為接觸角。而當齒輪出現(xiàn)斷齒、裂紋等局部故障時，會產(chǎn)生以嚙合頻率為中心，以轉(zhuǎn)頻為間隔的調(diào)幅調(diào)頻信號［24］。

在工程實際中，齒輪箱中的故障往往不是單獨出現(xiàn)的，某些故障常常會誘發(fā)其他故障的發(fā)生，從而出現(xiàn)齒輪箱復合故障。當變速齒輪箱同時出現(xiàn)齒輪局部故障和軸承局部故障時，由于齒輪故障調(diào)制頻率和軸承故障調(diào)制頻率不同，因此，可根據(jù)調(diào)制頻率的不同實現(xiàn)對包含齒輪局部故障和軸承局部故障的變速齒輪箱復合故障進行診斷能量算子解調(diào)常用于解調(diào)分析，能有效地提取信號中的調(diào)制信息。相對于Hilbert解調(diào)，能量算子解調(diào)具有運算量小、解調(diào)精度高和響應速度快等優(yōu)點［25，26］。但在變轉(zhuǎn)速情況下，齒輪箱振動信號為非平穩(wěn)信號，其故障調(diào)制信息亦為一時變量，因而，需預先對非平穩(wěn)的變速齒輪箱信號進行平穩(wěn)化處理。因此，本文方法先用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法從原始振動信號中提取出轉(zhuǎn)速信號，再利用獲取的轉(zhuǎn)速信號對原始振動信號進行角域重采樣，將時域非平穩(wěn)信號轉(zhuǎn)化為角域周期平穩(wěn)信號，最后對角域周期平穩(wěn)信號進行能量算子解調(diào)分析，根據(jù)階次解調(diào)譜中的調(diào)制信息診斷變速齒輪箱復合故障，其算法流程框圖如圖1所示。

4 算法仿真

為驗證本文方法對變速齒輪箱復合故障診斷的有效性，構(gòu)造包含齒輪局部故障和軸承局部故障的

圖1 算法流程框圖Fig．1 The flow chart of the algorithm

式（16）中，x1（t）為被1倍頻調(diào)制的調(diào)幅調(diào)頻信號（如式（17）所示），以模擬變轉(zhuǎn)速下的齒輪故障信號，模擬齒數(shù)為20，其信號波形圖如圖2（a）所示；x2（t）為周期性的瞬態(tài)沖擊信號（如式（18）所示），以模擬變轉(zhuǎn)速下的軸承故障模擬信號，其中，y（t）為單瞬態(tài)沖擊信號，瞬態(tài)沖擊的中心頻率為1 200Hz，衰減系數(shù)為－800；u（t）為單位階躍函數(shù)；xc（t）為軸承故障調(diào)制信號，軸承故障階次為3．5，即軸承故障特征頻率為轉(zhuǎn)頻fr的3．5倍；Max（·）表示取最大值；P表示xc（t）的最大值（即峰值）集合；tPi表示第i個峰值所對應的時間點。x2（t）的信號波形圖如圖2（b）所示。n（t）為0dB的高斯白噪聲，由MATLAB中的函數(shù)awgn產(chǎn)生，以模擬隨機干擾。信號采樣頻率4 096Hz，采樣時長為1s。式（16）所示合成信號的時域波形如圖2（c）所示，從圖2（c）中可看出，信號中存在沖擊，但無法直接判斷故障類型。

利用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法從圖2（c）所示合成信號中提取瞬時轉(zhuǎn)頻，獲取的估計瞬時轉(zhuǎn)頻曲線如圖3中實線所示，而虛線則為實際瞬時轉(zhuǎn)頻。從圖3中可看出，實線與虛線基本重合，說明線調(diào)頻小波路徑追蹤算法能很好地從信號中提取轉(zhuǎn)頻曲線，具有較高的精度。

變速齒輪箱復合故障仿真信號，如下式所示：

圖2 模擬齒輪故障信號、模擬軸承故障信號與合成信號Fig．2 The simulated signal of the fault gear、the simulated signal of the fault bearing and the composited signal

圖3 實際瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻與估計瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻對比Fig．3 The comparison between the actual rotate speed and the estimated rotate speed

利用圖3中的估計瞬時轉(zhuǎn)頻曲線對圖1（c）所示合成信號進行角域重采樣，得到的角域周期平穩(wěn)信號如圖4所示。

對圖4所示信號進行能量算子解調(diào)分析，得到的階次解調(diào)譜如圖5所示，圖中存在2個明顯的峰值，即階次1．0和階次3．5處，其中，階次1．0為轉(zhuǎn)頻階次，說明信號中出現(xiàn)了轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，與模擬齒輪故障相符；而階次3．5為軸承故障階次，說明信號中出現(xiàn)了軸承局部故障，與實驗設置相符，驗證了本文方法的有效性。

圖4 重采樣信號Fig．4 The resampling signal

圖5 仿真信號階次解調(diào)譜Fig．5 The order demodulating spectrum of the simulated signal

5 應用實例

試驗臺為單級傳動齒輪箱，其簡圖如圖6所示。試驗齒輪為正齒輪，主動軸與從動軸齒數(shù)均為37。試驗軸承1～4均為SKF6307－2RS深溝球軸承，其內(nèi)徑d＝35mm，外徑D＝80mm，滾動體個數(shù)Z＝8，接觸角α＝0，滾動體直徑d0＝13．5mm。經(jīng)計算，內(nèi)圈、外圈對應的故障特征階次分別為4．94，3．06。為模擬齒輪箱齒輪、軸承復合故障，在齒輪2上整體切割掉一個齒，以模擬齒輪斷齒故障，并用激光在齒輪2齒根處切割寬0．15mm、深1mm的槽，以模擬齒輪裂紋故障；同時，用激光在軸承4的內(nèi)圈和外圈上切割寬0．15mm，深0．13mm的槽，以模擬軸承內(nèi)圈和外圈故障。為減少傳遞路徑的影響，振動加速度傳感器置于軸承4的軸承蓋上，測取徑向垂直方向上的振動加速度信號。同時，在主動軸上安裝光電式轉(zhuǎn)速傳感器，獲取實測轉(zhuǎn)速信號，以進行對比研究。試驗中，主動軸的轉(zhuǎn)速在300～700r／min之間變化。試驗用LMS數(shù)據(jù)采集設備同時采集振動加速度信號和轉(zhuǎn)速信號，采樣頻率為8 192 Hz，采樣時長為4s。

圖7為齒輪2斷齒故障和軸承4外圈故障的時域波形圖，圖中可看出，信號中存在明顯沖擊，但沖擊之間的時間間隔逐漸變大，且幅值隨時間變小，說明齒輪箱處于降速階段。

圖6 試驗臺簡圖Fig．6 The diagram of the test bed

圖7 齒輪斷齒加軸承外圈復合故障信號Fig．7 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

利用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法對圖7信號進行瞬時轉(zhuǎn)頻提取，估計得到轉(zhuǎn)頻曲線如圖8中實線所示，虛線為實測瞬時轉(zhuǎn)頻，實線與虛線基本重合，表明線調(diào)頻小波路徑追蹤算法能從實測信號中精確地提取轉(zhuǎn)速信號。

圖8 齒輪斷齒加軸承外圈復合故障實測瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻與估計瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻對比Fig．8 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

利用獲取的轉(zhuǎn)頻曲線對圖7信號進行角域重采樣，得到角域周期平穩(wěn)信號，再對角域周期平穩(wěn)信號進行能量算子解調(diào)分析，得到的階次解調(diào)譜如圖9所示。從圖9中可看出，在轉(zhuǎn)頻階次fr、二倍轉(zhuǎn)頻階次2fr處出現(xiàn)了峰值，與齒輪斷齒故障調(diào)制現(xiàn)象相符；同時，在外圈故障階次fo～6fo處峰值明顯，表明軸承出現(xiàn)了外圈局部故障。

圖9 齒輪斷齒加軸承外圈復合故障階次解調(diào)譜Fig．9 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of broken gear and outer race cracked bearing

圖10為齒輪2斷齒故障和軸承4內(nèi)圈故障的時域波形圖，圖示信號中存在沖擊，但沖擊不如圖7明顯。其原因為軸承內(nèi)圈與軸多為緊密的過盈配合，內(nèi)圈存在故障時，其故障位置會隨著軸承旋轉(zhuǎn)而相對地發(fā)生改變，因而，內(nèi)圈故障信號中的沖擊特征會比外圈故障信號微弱［27］。

圖10 齒輪斷齒加軸承內(nèi)圈復合故障信號Fig．10 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

采用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法從圖10信號中提取轉(zhuǎn)頻曲線，估計的轉(zhuǎn)頻曲線如圖11實線所示。圖11中虛線為實測轉(zhuǎn)頻曲線。

利用圖11中的估計瞬時轉(zhuǎn)頻曲線對圖10信號進行角域重采樣，獲取角域周期平穩(wěn)信號，再對角域周期平穩(wěn)信號進行能量算子解調(diào)分析，得到的階次解調(diào)譜如圖12所示。圖12中，在轉(zhuǎn)頻階次fr～3fr處存在明顯峰值，說明信號中存在轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，與齒輪斷齒故障相符；同時，在內(nèi)圈故障階次fi、2倍階次2fi處存在峰值，表明出現(xiàn)了軸承內(nèi)圈局部故障。

圖11 齒輪斷齒加軸承內(nèi)圈復合故障實測瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻與估計瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻對比Fig．11 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

圖12 齒輪斷齒加軸承內(nèi)圈復合故障階次解調(diào)譜Fig．12 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of broken gear and inner race cracked bearing

圖13為齒輪2裂紋故障和軸承4外圈故障的時域波形圖。圖示，信號中存在著沖擊，且幅值由大變小，說明齒輪箱處于減速階段。

圖13 齒輪裂紋加軸承外圈復合故障信號Fig．13 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

利用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法估計圖13信號中的轉(zhuǎn)速信息，估計出的轉(zhuǎn)速曲線如圖14中實線所示。圖14中虛線為實測瞬時轉(zhuǎn)頻曲線。

圖14 齒輪裂紋加軸承外圈復合故障實測瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻與估計瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻對比Fig．14 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

利用圖14中的估計瞬時轉(zhuǎn)頻對圖13所示信號進行等角度重采樣，得到角域平穩(wěn)信號，再對角域平穩(wěn)信號進行能量算子解調(diào)分析，得到的階次解調(diào)譜如圖15所示。圖15中，在轉(zhuǎn)頻階次fr，2倍轉(zhuǎn)頻階次2fr和4倍轉(zhuǎn)頻階次4fr處出現(xiàn)了峰值，說明信號中存在轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，與齒輪裂紋局部故障特征相符；同時，在外圈故障特征階次fo～6fo處出現(xiàn)了較大的峰值，說明軸承的外圈出現(xiàn)了局部故障。

圖15 齒輪裂紋加軸承外圈復合故障階次解調(diào)譜Fig．15 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of cracked gear and outer race cracked bearing

圖16為齒輪2裂紋故障和軸承4內(nèi)圈故障的時域波形圖，圖示信號中存在沖擊。

圖16 齒輪裂紋加軸承內(nèi)圈復合故障信號Fig．16 The vibration signal of the test bed with compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

利用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法對圖16所示信號進行轉(zhuǎn)頻估計，提取出的轉(zhuǎn)頻曲線如圖17中實線所示。圖17中，虛線為實測瞬時轉(zhuǎn)頻。從圖17中可見，估計瞬時轉(zhuǎn)頻和實測瞬時轉(zhuǎn)頻基本重合。

圖17 齒輪裂紋加軸承內(nèi)圈復合故障實測瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻與估計瞬態(tài)轉(zhuǎn)頻對比Fig．17 The comparison between the measured rotate speed and the estimated rotate speed of the compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

利用圖17中的估計瞬時轉(zhuǎn)頻對圖16所示信號進行等角度重采樣，再對重采樣信號進行能量算子解調(diào)分析，得到的階次解調(diào)譜如圖18所示。圖18中，在轉(zhuǎn)頻階次fr～4fr，6fr處出現(xiàn)峰值，說明信號中出現(xiàn)轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，與齒輪裂紋局部故障相符；同時，在軸承內(nèi)圈故障特征階次fi處，亦出現(xiàn)了峰值，表明軸承出現(xiàn)了內(nèi)圈局部故障。

圖18 齒輪裂紋加軸承內(nèi)圈復合故障階次解調(diào)譜Fig．18 The order demodulating spectrum of the compound fault consisted of cracked gear and inner race cracked bearing

6 結(jié) 論

（1）算法仿真和應用實例表明，線調(diào)頻小波路徑追蹤算法可直接從原始振動信號中提取出轉(zhuǎn)速信息，具有精度高的優(yōu)點。

（2）齒輪出現(xiàn)斷齒、裂紋局部故障時振動信號中往往出現(xiàn)轉(zhuǎn)頻調(diào)制現(xiàn)象，而軸承出現(xiàn)內(nèi)圈、外圈局部故障時其振動信號則會被軸承內(nèi)圈或外圈的通過頻率調(diào)制，因而，可根據(jù)調(diào)制頻率的不同，實現(xiàn)對包含齒輪局部故障和軸承局部故障的變速齒輪箱復合故障進行診斷。

（3）通過算法仿真和應用實例對包含齒輪局部故障與軸承局部故障的變速齒輪箱復合故障進行分析，結(jié)果表明，本文方法在無轉(zhuǎn)速計的情況下，能有效地提取變速齒輪箱中復合故障的故障特征。

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