胥永剛，孟志鵬，陸 明，付 勝

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

引 言

滾動(dòng)軸承是機(jī)械設(shè)備中最常用的零件之一，它的運(yùn)行狀態(tài)直接影響到整臺(tái)機(jī)器的性能，而滾動(dòng)軸承故障是導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生故障的主要原因之一，因此對(duì)滾動(dòng)軸承故障診斷進(jìn)行研究具有十分重要的意義［1］。通常，除固定的外圈之外，滾動(dòng)軸承中的運(yùn)動(dòng)部件（包括內(nèi)圈、保持架和滾動(dòng)體）局部損傷造成的振動(dòng)激勵(lì)源與傳感器之間的位置相對(duì)變化，而且在軸和軸上多種零部件振動(dòng)的影響作用下，信號(hào)中的干擾激勵(lì)多，滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的成分比較復(fù)雜，因此，相對(duì)于外圈故障來(lái)說(shuō)，內(nèi)圈、保持架和滾動(dòng)體故障特征微弱，不易提?。?］。

雙樹(shù) 復(fù) 小 波 變 換 （dual－tree complex wavelet transform，DT－CWT）首先由 Kingsbury等提出［3］，后經(jīng)學(xué)者Selesnick進(jìn)一步發(fā)展［4］。雙樹(shù)復(fù)小波變換保留了復(fù)小波變換的優(yōu)良特性，而且采用雙樹(shù)濾波器的形式，保證了信號(hào)的完全重構(gòu)性。因此，雙樹(shù)復(fù)小波變換是一種具有近似平移不變性、良好的方向選擇性、有限的數(shù)據(jù)冗余性、完全重構(gòu)性和計(jì)算效率高等良好特性的小波變換，已經(jīng)成功應(yīng)用于圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、信號(hào)降噪和故障診斷等領(lǐng)域［5～8］。

目前，奇異值分解技術(shù)在故障診斷領(lǐng)域已有應(yīng)用［9，10］，主 要 用 于 信 號(hào) 降 噪 處 理 及 周 期 成 分 的 提?。?1］。奇異值差分譜用來(lái)描述信號(hào)中有用成分和噪聲的奇異值的本質(zhì)差異，根據(jù)差分譜的最大突變位置可以準(zhǔn)確地確定有效奇異值的個(gè)數(shù)。

本文提出了基于雙樹(shù)復(fù)小波和奇異差分譜的故障診斷方法，并將其成功應(yīng)用于機(jī)械故障診斷。實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用均表明，該方法可以有效的提取滾動(dòng)軸承的故障特征頻率。

1 雙樹(shù)復(fù)小波變換的基本原理

雙樹(shù)復(fù)小波變換采用兩個(gè)并行的實(shí)小波變換來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解和重構(gòu)，分別稱(chēng)為實(shí)部樹(shù)和虛部樹(shù)，DT－CWT的分解與重構(gòu)過(guò)程如圖1所示［3，4］。在信號(hào)的分解與重構(gòu)過(guò)程中，始終保持虛部樹(shù)的采樣位置位于實(shí)部樹(shù)的中間，使雙樹(shù)復(fù)小波變換能有效綜合利用實(shí)部樹(shù)和虛部樹(shù)的小波分解系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)部樹(shù)和虛部樹(shù)的信息互補(bǔ)。這種小波分解算法使雙樹(shù)復(fù)小波變換具有近似平移不變性，并減少了有用信息的丟失。雙樹(shù)復(fù)小波變換在各層的分解過(guò)程中，利用小波系數(shù)二分法減少了多余的計(jì)算，從而提高了計(jì)算速度。根據(jù)雙樹(shù)復(fù)小波的構(gòu)造方法，復(fù)小波可表示為

式中ψh（t），ψg（t）表示兩個(gè)實(shí)小波；i為復(fù)數(shù)單位。由于雙樹(shù)復(fù)小波變換由兩個(gè)并行的小波變換組成，因此，根據(jù)小波理論，上面實(shí)部樹(shù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式計(jì)算：

同理，下面虛部樹(shù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式計(jì)算：

因此，可得到雙樹(shù)復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)：

最后，雙樹(shù)復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由下式進(jìn)行重構(gòu)：

雙樹(shù)復(fù)小波變換后的重構(gòu)信號(hào)可表示為

圖1所示為3層雙樹(shù)復(fù)小波分解和重構(gòu)過(guò)程，在分解過(guò)程中，h0和h1分別為實(shí)部樹(shù)對(duì)應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器，g0和g1分別為虛部樹(shù)對(duì)應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器。同樣，在重構(gòu)時(shí)，h0′和h1′為實(shí)部樹(shù)濾波器組，g0′和g1′為虛部樹(shù)濾波器組，本文采用的是Kingsbury所構(gòu)造的Q－shift雙樹(shù)濾波器［3］。

圖1 雙樹(shù)復(fù)小波變換的分解和重構(gòu)過(guò)程Fig．1 Decomposition and reconstruction process of dual－tree complex wavelet transform

2 奇異值差分譜的基本原理

奇異 值 分 解 （Singular value decomposition，SVD）是一種正交化的方法。一個(gè)實(shí)矩陣A∈Rm×n，不管其行列是否相關(guān)，必定存在一對(duì)正交矩陣U＝（u1，u2，…，um）∈Rm×m和一個(gè)正交矩陣V＝（v1，v2，…，vn）∈Rn×n，使得

式中S＝（diag（σ1，σ2，…，σq），0）或者其轉(zhuǎn)置，這取決于m＜n還是m＞n，其中，A∈Sm×n，0代表零矩陣，q＝min（m，n），σ1≥σ2≥…σq≥0，它們稱(chēng)為矩陣A的奇異值。

應(yīng)用SVD的關(guān)鍵是利用信號(hào)構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)木仃?。一維信號(hào)可以構(gòu)造出很多矩陣，如Toeplitz矩陣、Cycle矩陣、Hankel矩陣等，也有其他的構(gòu)造方法，構(gòu)造的矩陣不同，SVD處理信號(hào)的效果就不同。采用Hankel矩陣，SVD可以有效地去除信號(hào)中的噪聲成分［12］。

設(shè)有Y＝（y（1），y（2），…，y（N））為離散數(shù)字信號(hào)，可以構(gòu)造Hankel矩陣如下

式中 1＜n＜N。令m＝N－n＋1，則H∈Rm×n，上述矩陣稱(chēng)為重構(gòu)吸引子軌道矩陣。為實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)各成分的充分分離，要求Hankel矩陣的行數(shù)和列數(shù)盡可能達(dá)到最大，故n＝N／2，m＝N／2＋1。

然后再對(duì)重構(gòu)吸引子軌道矩陣進(jìn)行奇異值分解。SVD的本質(zhì)是將原始信號(hào)分解為一系列分量信號(hào)的簡(jiǎn)單線(xiàn)性疊加，一個(gè)分量從原始信號(hào)中被分離的過(guò)程就是從原始信號(hào)中簡(jiǎn)單的減去，而且各個(gè)分離出來(lái)的分量信號(hào)保持在原信號(hào)中的相位不變，也就是具有零相位偏移特性。其意義在于，可以選取感興趣的若干分量進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)特征信息的提取［12］。

Hankel矩陣的特點(diǎn)是：矩陣的后一行總是比前一行滯后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)于理想信號(hào)所構(gòu)造的Hankel矩陣，是一種病態(tài)矩陣，相鄰的行都是高度相關(guān)的。這種病態(tài)矩陣的前幾個(gè)奇異值比較大，后面的奇異值非常小，都近似于零，奇異值在某一點(diǎn)發(fā)生突變，即矩陣的秩所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處。而對(duì)含噪聲的信號(hào)，盡管前后兩行也滯后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但卻互不相關(guān)，是一個(gè)良態(tài)滿(mǎn)秩的矩陣。

對(duì)于含噪信號(hào)構(gòu)造的Hankel矩陣有后面的q－k個(gè)奇異值明顯小于前k個(gè)奇異值，也就是說(shuō)奇異值在第k個(gè)點(diǎn)發(fā)生突變，而前k個(gè)奇異值代表了要提取的理想信號(hào)。由于每一個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分量信號(hào)，因此，只要選擇前面k個(gè)分量進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，就可獲得降低了噪聲的信號(hào)。

為了合理地描述含噪信號(hào)的奇異值突變情況，定義奇異值差分譜。設(shè)所有奇異值按照從大到小的順序形成的序列為S＝σ1，σ2，…，σq，則

將所有bi組成的序列B＝（b1，b2，…，bq－1）稱(chēng)為奇異值的差分譜，它描述了兩兩相鄰奇異值的變化情況，當(dāng)兩相鄰奇異值差別較大時(shí)，在差分譜中必將產(chǎn)生一個(gè)峰值，而在整個(gè)差分譜中必然存在一個(gè)最大峰值bk，根據(jù)差分譜的定義，這意味著奇異值序列在位置k處發(fā)生了最大突變。

奇異值在最大突變點(diǎn)處產(chǎn)生的最大差異根本原因就在于有用信號(hào)和噪聲的相關(guān)性不同而在奇異值上表現(xiàn)出來(lái)的自然反應(yīng)。

3 DT－CWT和奇異差分譜診斷方法

首先將信號(hào)進(jìn)行DT－CWT分解，得到幾個(gè)不同頻段的分量。然后選擇某個(gè)含有故障特征信息的分量，對(duì)其進(jìn)行差分譜消噪，重構(gòu)信號(hào)，并求其希爾伯特包絡(luò)譜，從而找到故障頻率，進(jìn)行更為準(zhǔn)確的故障識(shí)別［13，14］。該方法實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于DT－CWT和奇異差分譜的診斷方法Fig．2 The method based on DT－CWT and different spectrum of singular value

其診斷具體步驟如下：

（1）通過(guò)對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解和重構(gòu)，得到幾個(gè)頻段不同的分量。

（2）對(duì)包含故障特征的分量，構(gòu)建Hankel矩陣。

（3）對(duì)Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解。

（4）求差分譜，并畫(huà)出差分譜曲線(xiàn)圖。確定譜圖中最大突變點(diǎn)，即重構(gòu)信號(hào)時(shí)需要保留的分量個(gè)數(shù)。

（5）根據(jù)步驟（4）中確定的分量個(gè)數(shù)，消除噪聲，重構(gòu)信號(hào)，并求希爾伯特包絡(luò)譜。

（6）從希爾伯特包絡(luò)譜中確定故障特征信息。

4 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖3所示，由軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)、壓電式加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集儀、筆記本電腦組成。將正常和有故障軸承依次安裝在軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集，數(shù)據(jù)采集儀將數(shù)據(jù)傳到電腦中，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析。

圖3 故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig．3 Bearing fault test rig

該實(shí)驗(yàn)的滾動(dòng)軸承型號(hào)為6307，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 496r／min，采樣頻率為15 360Hz，模擬了實(shí)驗(yàn)臺(tái)末端軸承外圈點(diǎn)蝕、內(nèi)圈點(diǎn)蝕、滾動(dòng)體點(diǎn)蝕及復(fù)合故障。經(jīng)計(jì)算，故障特征頻率如表1所示。

表1 6307軸承故障頻率Tab．1 Fault frequency of 6307bearing

4．1 軸承外圈故障診斷

圖4 軸承外圈故障波形及頻譜Fig．4 Waveform and spectrum of bearing outer ring fault

圖4為軸承外圈點(diǎn)蝕故障的時(shí)域波形及其幅值譜。從波形中可以看到較為明顯的周期性沖擊，但是故障特征不是很明顯，幅值譜中亦存在較為明顯的邊頻帶，同時(shí)也存在強(qiáng)烈的干擾成分。故利用DT－CWT對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行4層分解，然后進(jìn)行單支重構(gòu)，各層重構(gòu)信號(hào)為a4，d4，d3，d2和d1，得到如圖5所示的不同頻段的分量，可以看到第三個(gè)分量d3有較為明顯的周期性沖擊成分。

圖5 雙樹(shù)復(fù)小波分解圖Fig．5 Waveform of DT－CWT decomposition

將第三個(gè)分量d3作為研究對(duì)象，構(gòu)造Hankel矩陣，進(jìn)行奇異值分解并求得奇異值序列，進(jìn)而求得奇異值差分譜，由于奇異值差分譜峰突變?cè)谇岸尾糠郑竺娴亩稼呌诹?。為了清楚的觀(guān)察差分譜的情況，將奇異值序列和差分譜前100個(gè)點(diǎn)繪在一個(gè)坐標(biāo)系下，如圖6所示。從圖中可以看到最大的峰值發(fā)生在第6個(gè)點(diǎn)，奇異值序列在此位置發(fā)生了最大的突變。故保留SVD分解的前6個(gè)奇異值，其余的置為0，進(jìn)行奇異值重構(gòu)得到如圖7所示結(jié)果。信號(hào)呈現(xiàn)非常好的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．013s，對(duì)應(yīng)的頻率為76．9Hz，與軸承外圈特征頻率非常接近。

圖6 奇異值和差分譜前100個(gè)點(diǎn)Fig．6 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

圖7 重構(gòu)SVD前6個(gè)奇異值的信號(hào)波形Fig．7 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

對(duì)圖7所示的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)，得到如圖8所示的包絡(luò)譜，可以很清楚地看到75，150和225Hz的頻率，與軸承外圈特征頻率的一倍、二倍和三倍頻非常接近，可以斷定此軸承發(fā)生了外圈故障。

圖9所示為直接對(duì)d3作希爾伯特包絡(luò)譜，也可以看到75Hz的頻率，但是明顯地出現(xiàn)了120，157．5Hz等一系列的虛假成分，易造成誤診斷。對(duì)比分析，本文方法可以有效地提取故障特征信息。

圖8 SVD重構(gòu)后信號(hào)的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．8 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖9 d3分量的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．9 Hilbert envelope spectrum of d3

4．2 軸承內(nèi)圈故障診斷

同理，對(duì)于軸承內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解，選擇第二個(gè)分量d2的波形如圖10所示，有較為明顯的沖擊成分，同時(shí)也有強(qiáng)烈的干擾成分。

圖10 雙樹(shù)復(fù)小波分解后d2的波形Fig．10 Waveform of d2by DT－CWT

利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變點(diǎn)在第8個(gè)點(diǎn)，故選前8個(gè)奇異值重構(gòu)波形如圖11所示，信號(hào)有明顯的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．008 3s，對(duì)應(yīng)的頻率為120．4Hz，與軸承內(nèi)圈特征頻率非常接近。進(jìn)一步做希爾伯特包絡(luò)解調(diào)得如圖的12所示的包絡(luò)譜，可以很清楚地看到123．1 Hz，243．8，367．5和491．3Hz的頻率，與軸承內(nèi)圈特征頻率的一倍、二倍、三倍和四倍頻非常接近，可以斷定此故障為軸承內(nèi)圈故障。直接對(duì)雙樹(shù)復(fù)小波分解的d2做希爾伯特包絡(luò)解調(diào)得如圖13所示的包絡(luò)譜。

圖11 重構(gòu)SVD前8個(gè)奇異值的信號(hào)波形Fig．11 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

圖12 SVD重構(gòu)后信號(hào)的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．12 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖13 d2分量的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．13 Hilbert envelope spectrum of d2

4．3 軸承滾動(dòng)體故障診斷

圖14 雙樹(shù)復(fù)小波分解后d3的波形Fig．14 Waveform of d3by DT－CWT

將軸承滾動(dòng)體點(diǎn)蝕故障信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解，選擇第三個(gè)分量d3的波形如圖14所示。利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變?cè)诘?個(gè)點(diǎn)，如果最大突變點(diǎn)發(fā)生在前兩個(gè)點(diǎn)，往往取第二個(gè)最大突變點(diǎn)，因?yàn)槠娈愔捣至刻贂?huì)丟失有效信息。第二最大突變點(diǎn)為第6點(diǎn)，故保留前6個(gè)奇異值進(jìn)行重構(gòu)得到的波形如圖15所示。信號(hào)有明顯的周期性沖擊，沖擊周期大約為0．019s，對(duì)應(yīng)的頻率為52．6Hz，與滾動(dòng)體故障特征頻率非常接近。進(jìn)一步做希爾伯特解調(diào)得如圖16所示的包絡(luò)譜，對(duì)比直接對(duì)d3做希爾伯特解調(diào)得到如圖17所示的包絡(luò)譜。

圖15 重構(gòu)前6個(gè)奇異值的信號(hào)波形Fig．15 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

圖16 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．16 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖17 d3的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．17 Hilbert envelope spectrum of d3

4．4 軸承復(fù)合故障診斷

對(duì)同時(shí)存在內(nèi)圈點(diǎn)蝕、外圈點(diǎn)蝕、滾動(dòng)體點(diǎn)蝕三種故障的信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解，選擇第三個(gè)分量d3的波形如圖18所示。利用SVD分解求奇異值差分譜，最大突變點(diǎn)是第8個(gè)點(diǎn)，故選前8個(gè)奇異值進(jìn)行重構(gòu)的波形如圖19所示，信號(hào)中有明顯的沖擊性成分，但其周期性較為復(fù)雜，應(yīng)是由多個(gè)不同頻率的調(diào)幅信號(hào)復(fù)合而成。

進(jìn)一步做希爾伯特解調(diào)得如圖20所示的包絡(luò)譜，很清楚地看到52．5，78．7和120Hz的頻率，分別與軸承滾動(dòng)體特征頻率、外圈特征頻率和內(nèi)圈特征頻率接近，105Hz為52．5Hz的二倍頻，可以判定此故障為軸承外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動(dòng)體故障的復(fù)合故障。

圖18 雙樹(shù)復(fù)小波分解后d3的波形Fig．18 Waveform of d3by DT－CWT

圖19 重構(gòu)前8個(gè)奇異值的信號(hào)波形Fig．19 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

圖20 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．20 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

5 工程案例

某鋼鐵廠(chǎng)第27架精軋機(jī)出現(xiàn)齒輪箱打壞事故，故障位置為II軸12號(hào)軸承，整個(gè)軸承損壞嚴(yán)重，停機(jī)4h。故障發(fā)生時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 178r／min，采樣頻率為12 000Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048。故障特征頻率為117．187 5Hz。故障發(fā)生8天前波形及幅值譜如圖21所示，波形顯示有沖擊成分，但根據(jù)頻譜圖無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別故障軸承對(duì)應(yīng)的特征頻率。

圖21 軸承滾動(dòng)體故障波形及頻譜Fig．21 Waveform and spectrum of original signal

為了提取故障特征，利用本文方法，首先利用雙樹(shù)復(fù)小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行4層分解并單支重構(gòu)，得到如圖22所示結(jié)果，可以看出第三個(gè)分量d3有較為明顯的沖擊成分。進(jìn)行SVD分解求奇異值差分譜如圖23所示。

圖22 雙樹(shù)復(fù)小波分解圖Fig．22 Waveform of DT－CWT decomposition

圖23 奇異值和差分譜前100個(gè)點(diǎn)Fig．23 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

圖24 重構(gòu)前4個(gè)奇異值的信號(hào)波形Fig．24 Waveform of reconstruction the first four SVD singular value

保留前4個(gè)奇異值進(jìn)行重構(gòu)結(jié)果如圖24所示，出現(xiàn)明顯的周期性沖擊，周期大約為0．008 67s，對(duì)應(yīng)的頻率為115．34Hz，與故障特征頻率非常接近。進(jìn)一步做希爾伯特包絡(luò)解得到如圖25所示的包絡(luò)譜，可以很清楚地看到117．2，234．4Hz，…等倍頻，與軸承故障特征頻率117．187 5Hz非常接近。圖26為直接對(duì)第3個(gè)分量d3的希爾伯特包絡(luò)譜，對(duì)比本文方法，效果差了很多。

圖25 SVD重構(gòu)后的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．25 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

圖26 d3的希爾伯特包絡(luò)譜Fig．26 Hilbert envelope spectrum of d3

上述結(jié)果表明，雙樹(shù)復(fù)小波分解和奇異值差分譜結(jié)合，可以有效地提取故障特征頻率。

6 結(jié) 論

本文研究了將雙樹(shù)復(fù)小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法，通過(guò)滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用驗(yàn)證了方法的有效性。

（1）利用雙樹(shù)復(fù)小波變換具有近似平移不變性和有效降噪的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹(shù)復(fù)小波分解和重構(gòu)，得到不同頻段的分量。

（2）根據(jù)奇異值差分譜理論，可以自動(dòng)地判定SVD分解有效分量的個(gè)數(shù)，保留了信號(hào)中有用成分，同時(shí)又最大限度地消除了噪聲。

（3）將雙樹(shù)復(fù)小波分解與奇異值差分譜結(jié)合的方法應(yīng)用于故障診斷中，可以有效和準(zhǔn)確地找到故障特征信息。

［1］ 褚福磊，彭志科，馮志鵬，等．機(jī)械故障診斷中的現(xiàn)代信號(hào)處理方法［M］．北京：科學(xué)出版社，2009．

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