徐慶陽，李愛群，丁幼亮，胡燦陽

(1.南京審計學(xué)院國際審計學(xué)院 江蘇公共工程審計重點實驗室，南京 211815;2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096)

設(shè)置被動控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)減震設(shè)計關(guān)鍵，在于合理地確定阻尼器的位置與參數(shù)［1］。較早的結(jié)構(gòu)減震研究主要關(guān)注減震裝置在結(jié)構(gòu)中的可行性，并通過大量算例來對比不同參數(shù)或布置下減震效果的差異［2-3］，直接將優(yōu)化方法應(yīng)用于減震控制的研究還較少［4］，并且在進行減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析時均要對結(jié)構(gòu)進行簡化［5］，影響了優(yōu)化方法在復(fù)雜工程中的應(yīng)用。

1 結(jié)構(gòu)減震裝置參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)減震系統(tǒng)的優(yōu)化需要確定設(shè)計變量、目標函數(shù)與約束條件來建立數(shù)學(xué)模型［6］。減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化是期望在合理的減震成本基礎(chǔ)上將地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)降低到某一限值以下，其數(shù)學(xué)模型可以通過下式來表達:

式中:XL為減震裝置位置變量，XC為減震裝置參數(shù)變量，Rs為減震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，Sd為減震裝置的數(shù)量表達式。減震結(jié)構(gòu)被動控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化模型的目標函數(shù)無法表達為設(shè)計變量的具體函數(shù)形式，更無法求得其關(guān)于設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)或梯度函數(shù)。這就要求優(yōu)化算法在搜索過程中不依靠目標函數(shù)的梯度、能在搜索過程中自動獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識，并能自適應(yīng)地控制搜索過程。

減震參數(shù)優(yōu)化問題中設(shè)計變量取值空間往往是連續(xù)的，尋優(yōu)的過程為沿著可行解的取值范圍進行搜索。僅僅利用目標函數(shù)值的信息直接建立搜索求解的方法稱為直接搜索法(direct search method)。以往研究結(jié)果表明［7-8］，結(jié)構(gòu)減震效果與減震裝置主要參數(shù)的關(guān)系曲線往往為一單峰凹凸曲線，不依賴求導(dǎo)的搜索方法將在結(jié)構(gòu)減震參數(shù)優(yōu)化分析中具有較好的適用性［9］。

2 模式搜索算法原理及其實現(xiàn)

2.1 模式搜索算法理論基礎(chǔ)

模式搜索算法解無約束優(yōu)化問題的需要確定一個可供選擇的搜索方向模式和一個試探性移動的準則。這個模式的一般表示式為矩陣［10］:

其中:B∈Rn×n稱為基矩陣，在每一步迭代中是不變的。C∈Zn×p，稱為生成矩陣，并記為:

Mk∈M?Zn×n，M是由整數(shù)元構(gòu)成的n階非奇異方陣的集合，Lk∈Zn×(p-2n)，至少包含一零向量列。模式搜索法的搜索方向一般取Pk的某一列，Ck包含零向量表明迭代中會出現(xiàn)不能移動的情況。

模式確定后，考慮進行試探性移動。對于步長Δk∈R，Δk＞0，定義試探步:

① sk∈ΔkPk≡Δk［BΓk，BLk］;② 若 min{f(xk+y)，y∈ΔkBΓk}＜f(xk)，則 f(xk+sk)＜f(xk)，這時記sk=sk’且 xk+1=xk+sk。sk是模式 Pk的某一列乘以步長Δk的得到的。條件②表明，只要前2n個方向中的某一個方向能使目標函數(shù)值得到下降，那么，sk也應(yīng)該能使函數(shù)值得到下降。

2.2 基本模式搜索算法

當(dāng)目標函數(shù)f(x1，x2，…，xn)無法用具體解析表達式來描述時，采用模式搜索法求解目標函數(shù)極值問題的計算步驟為［11］:

(1)任選初始近似點B1，以它為初始基點進行探索;

(2)為每一獨立變量xi(i=1，2，…，n)選定步長為=［0，…，0，δi，0，…，0］。式中，Δi是第 i個分量為δi，而其他所有分量均為零的向量;

(3)計算出初始基點B1的目標函數(shù)值f(B1)，若點B1+Δ1的目標函數(shù)值f(B1+Δ1)＜ f(B1)，就以B1+Δ1為臨時矢點，并記為T11。若B1+Δ1不比B1點準，就試驗B1-Δ1，如果它比B1點準，就以它為臨時矢點。否則，仍以B1為臨時矢點。即:

對于下一個獨立變量x2進行類似的攝動。這時，用臨時矢點T11代替原來的基點B1。N個變量都攝動之后，得到臨時矢點T1n，并令 T1n=B2，原來的基點B1和新基點B2確定了第一個模矢。

(4)將第一個模矢延長一倍，得到第二個模矢的初始矢點T20，T20=B1+2(B2-B1)=2B2-B1;

(5)在T20附近進行如上的探索，建立臨時矢點T21，T22，…，T2n，以 T2n為第三個基點 B3。這樣，B2、B3就確立了第二個模矢。第三個模矢初始矢點為T30，T30=B2+2(B3– B2)=2B3– B2;

(6)繼續(xù)上述過程，對于第i個模矢，如果f(Ti0)＜f(Bi)，但沿各坐標方向的所有攝動均得不出比Ti0更好的點，則不把這個模矢延長。若f(Ti0)＜f(Bi)，且由Ti0產(chǎn)生不出比Bi更好的點，則退回到Bi，并在Bi附近進行探索。如果能得出新的下降點，即可引出新的模矢;否則，將步長縮小，以進行更精細的探查。當(dāng)步長縮小到要求的精度時，即可停止迭代，確定已找到最優(yōu)點。

2.3 約束問題的模式搜索算法

大部分優(yōu)化問題均存在約束條件，包括等式約束和不等式約束。其形式如下:

解決此類優(yōu)化問題的常用方法是罰函數(shù)法，利用目標函數(shù)f(x)和約束函數(shù)c(x)所構(gòu)成的具有“罰性質(zhì)”的函數(shù)［12］:

其中:σ＞0為常數(shù)，稱為罰因子。

本文主要針對簡單罰函數(shù)和乘子罰函數(shù)，結(jié)合前面的模式搜索算法，給出簡單罰函數(shù)模式搜索算法和乘子罰函數(shù)算法。

3 模式搜索算法在減震優(yōu)化中的實現(xiàn)

減震參數(shù)優(yōu)化分析包含兩個部分的內(nèi)容:結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析與模式搜索算法尋優(yōu)。這里通過Matlab編制目標函數(shù)程序，實現(xiàn)模式搜索優(yōu)化程序?qū)p震結(jié)構(gòu)有限元分析結(jié)果的調(diào)用，從而實現(xiàn)優(yōu)化程序與有限元程序的互動，流程圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)減震優(yōu)化的模式搜索算法流程圖Fig1 Pattern search algorithm flowchart for seismic parameter optimization of reduction structure

3.1 多峰值多元函數(shù)最小化分析

為驗證模式搜索算法在多峰值模型尋優(yōu)過程中是否能有效準確地找到全局最優(yōu)解，首先選取一典型多峰值函數(shù)Shubert函數(shù)，用來驗證本文程序在多參數(shù)尋優(yōu)分析中的有效性。

圖2為該函數(shù)的三維示意圖，具有兩個獨立變量x、y的Shubert函數(shù)定義如式(10)所示。該函數(shù)存在多個局部最小值，但僅存在唯一全局最小值。這里采用本文的優(yōu)化程序來進行Shubert函數(shù)全局最優(yōu)解的尋優(yōu)，尋優(yōu)過程與結(jié)果如圖3所示。

圖中左上為優(yōu)化過程中目標函數(shù)值的變化過程，右上為優(yōu)化過程中相對步長值的變化過程，左下為每一步尋優(yōu)計算目標函數(shù)的次數(shù)，右下為最終得出的最優(yōu)目標函數(shù)值。初始起點選擇為［-1，-1］，尋優(yōu)步數(shù)共計56步，最終因搜索相對步長小于設(shè)定限制而達到收斂。最優(yōu)函數(shù)值為-186.730 9，對應(yīng)自變量取值為［4.858 06，-0.800 32］。

圖2 Shubert函數(shù)三維圖形Fig.2 Three-dimensional graphic of Shubert function

圖3 Shubert函數(shù)采用模式搜索算法優(yōu)化過程Fig.3 Optimization process of Shubert function by using pattern search algorithm

圖4 平面框架有限元模型Fig.4 Finite element model of plane frame

結(jié)果顯示，采用模式搜索算法可以有效準確地求得多峰多元問題的全局最優(yōu)解。

3.2 三層雙跨平面框架減震參數(shù)優(yōu)化分析

為進一步驗證算法在結(jié)構(gòu)減震參數(shù)優(yōu)化分析中的可行性，選用一雙跨三層混凝土框架進行分析。結(jié)構(gòu)有限元模型如圖4所示。框架柱截面面積0.16 m2，梁截面面積0.18 m2，粘滯流體阻尼器沿對角線布置。

設(shè)計變量為阻尼器的阻尼系數(shù)，目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)基底剪力，優(yōu)化程序?qū)ふ沂菇Y(jié)構(gòu)基底剪力達到最小值所對應(yīng)的阻尼系數(shù)。

圖5 框架模型減震參數(shù)優(yōu)化過程Fig.5 Damper parameter optimization process of one frame through pattern search algorithm

圖6 平面排架有限元分析模型Fig.6 Finite element model of plane frame

初始阻尼系數(shù)定為50 000 N·s/m。圖6為模型采用線性粘滯流體阻尼器減震參數(shù)優(yōu)化的過程與優(yōu)化結(jié)果，其中(a)為優(yōu)化過程中目標函數(shù)值的變化過程，(b)為優(yōu)化過程中相對步長值的變化過程，(c)為每一步尋優(yōu)計算目標函數(shù)的次數(shù)，(d)為最終得出的最優(yōu)目標函數(shù)值。結(jié)果顯示最優(yōu)阻尼系數(shù)為2 733 790 N·s/m，對應(yīng)的結(jié)構(gòu)基底剪力為39 928 N，未減震結(jié)構(gòu)基底剪力為98 792 N，最優(yōu)減震幅度達到59.58%。尋優(yōu)步數(shù)共計46步，最后尋優(yōu)步長小于設(shè)定值因而收斂。在第6步時目標函數(shù)已基本接近最優(yōu)值。

4 平面排架減震參數(shù)優(yōu)化分析

這里選取某單榀排架來進一步驗證優(yōu)化算法在減震參數(shù)優(yōu)化分析中的可靠性與穩(wěn)定性。該平面排架為某大跨機庫結(jié)構(gòu)中的一榀，上部為鋼結(jié)構(gòu)桁架，下部為鋼筋混凝土支撐住，柱間設(shè)有斜撐。模型在支撐柱與上部鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點之間設(shè)置粘滯流體阻尼器。鋼結(jié)構(gòu)桿件采用Link1單元，下部支撐柱采用Beam3單元，消能支撐采用Combin4單元來模擬。結(jié)構(gòu)Ansys有限元模型如圖6所示。

圖8 Gengma波作用下消能支撐減震參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Damper parameter optimization process under Gengma seismic wave

在El-Centro與Gengma兩條不同地震波作用下，優(yōu)化模型以結(jié)構(gòu)基底剪力的減震效果為目標函數(shù)，消能支撐參數(shù)優(yōu)化分析結(jié)果如圖7～8所示。

最優(yōu)阻尼系數(shù)為38 849 kN·s/m，對應(yīng)基底剪力減震幅度為47.96%，優(yōu)化算法經(jīng)過48步達到收斂，在第7步達到最優(yōu)值。

最優(yōu)阻尼系數(shù)為38 688 kN·s/m，對應(yīng)基底剪力減震幅度26.71%，優(yōu)化算法經(jīng)過52步達到收斂，在第8步達到最優(yōu)值。

上面的算例表明，地震波類別對阻尼器參數(shù)優(yōu)化結(jié)果影響較小。優(yōu)化算法達到收斂的尋優(yōu)步數(shù)一般在50左右，但往往在10步左右即可達到或接近最優(yōu)解，而后面的迭代對于最優(yōu)解的改進僅僅是針對小數(shù)點后若干位的，因此該優(yōu)化算法其實可以在很少的步數(shù)內(nèi)尋找到最優(yōu)解，具有較高的效率。

5 結(jié)論

本文選取模式搜索算法作為結(jié)構(gòu)減震系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化分析算法，在研究模式搜索算法的基本原理與實現(xiàn)技術(shù)基礎(chǔ)上，編制了結(jié)構(gòu)減震參數(shù)優(yōu)化程序，通過多峰多元函數(shù)以及單榀框架模型對優(yōu)化程序進行有效性與準確性驗證，并通過一單榀排架驗證了不同地震波下優(yōu)化程序的穩(wěn)定性。結(jié)果表明，不依賴目標函數(shù)導(dǎo)數(shù)的搜索方法將在結(jié)構(gòu)減震參數(shù)優(yōu)化分析中具有較好的適用性，尋優(yōu)過程迅速。由于在求目標函數(shù)時利調(diào)用了有限元分析結(jié)果，而優(yōu)化過程利用Matlab本身優(yōu)化工具箱，因此本文方法結(jié)果具有較高的可信度與可行性。

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