馮 磊， 王宏力， 韓曉霞， 周志杰

0 引 言

陀螺儀是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的敏感部件，其性能的優(yōu)劣直接決定整個系統(tǒng)的導(dǎo)航精度［1］。隨著使用時間的增長，陀螺儀性能不可避免地發(fā)生退化。在這種情況下，及時有效地預(yù)測陀螺儀的剩余壽命，適時采取必要的維護(hù)手段，對于提高整個慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的可靠性與安全性有著至關(guān)重要的作用［2］。

現(xiàn)有的預(yù)測方法中，一般假設(shè)設(shè)備的性能退化變量直接可觀測，并且可以完整地反映設(shè)備的退化狀態(tài)。通過建模設(shè)備的退化過程，預(yù)測退化狀態(tài)達(dá)到給定失效閾值的時間，進(jìn)而預(yù)測設(shè)備的剩余壽命［3］。但是，工程實際中，直接測量的退化變量因受到各種噪聲與誤差的影響，不能精確反映設(shè)備的退化狀態(tài)，這種測量被稱為不完整測量［4］。例如，在測試慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的陀螺儀漂移系數(shù)過程中，由于受到各種因素的影響，測量結(jié)果不可避免地存在噪聲干擾與誤差。為解決直接監(jiān)測量帶噪聲的問題，可以采用狀態(tài)空間模型，建模設(shè)備實際的退化過程以及退化過程與不完整測量之間的關(guān)系，通過濾波技術(shù)預(yù)測設(shè)備的剩余壽命。此外，根據(jù)濾波算法的預(yù)測方程與更新方程可以方便地實現(xiàn)在線預(yù)測。因此，基于狀態(tài)空間模型的剩余壽命預(yù)測方法日益受到研究人員的重視。但是，現(xiàn)有研究中大都直接利用退化狀態(tài)的估計均值作為設(shè)備實際的退化狀態(tài)值，不能精確反映狀態(tài)估計的不確定性對后續(xù)剩余壽命預(yù)測的影響［5-7］。

基于上述分析，文中考慮直接監(jiān)測量含有噪聲的剩余壽命預(yù)測問題，利用基于線性漂移的布朗運動建模陀螺儀退化過程，然后構(gòu)建狀態(tài)空間模型表征不完整測量與實際退化狀態(tài)的關(guān)系。在利用期望最大化算法與卡爾曼濾波聯(lián)合估計與更新未知參數(shù)與退化狀態(tài)后，充分考慮狀態(tài)估計的不確定性，將估計的退化狀態(tài)分布引入剩余壽命預(yù)測過程中，得到剩余壽命概率密度函數(shù)的參數(shù)化解析形式。一旦新的監(jiān)測值可用，即可更新未知參數(shù)與退化狀態(tài)。相應(yīng)地，可以更新剩余壽命的分布，最終實現(xiàn)在線剩余壽命預(yù)測。實驗結(jié)果表明了所提方法具有較小的預(yù)測不確定性。

1 基于狀態(tài)空間技術(shù)的剩余壽命預(yù)測

1.1 退化過程建模

假設(shè)設(shè)備實際的退化過程｛X（t），t≥0｝可由基于線性漂移的布朗運動建模，即X（t）可表示為

基于線性漂移的布朗運動被廣泛用于退化過程建模，其最大優(yōu)點是可以根據(jù)首達(dá)時間（First Hitting Time，F(xiàn)HT）的概念定義設(shè)備的壽命，進(jìn)而得到壽命分布的解析形式，即逆高斯分布［8］。因此，時刻ti設(shè)備的剩余壽命可以定義為退化過程｛X（t），t≥ti｝達(dá)到預(yù)先設(shè)定的失效閾值的首達(dá)時間［9］，即剩余壽命Tr可定義為

若直接監(jiān)測的退化變量不含有噪聲，則可根據(jù)式（2）直接得到剩余壽命分布的概率密度函數(shù)。但是，正如上節(jié)所述，不完整測量廣泛存在于工程實際中，直接監(jiān)測信息不能精確反映設(shè)備的退化狀態(tài)，因此，不能直接利用式（2）計算設(shè)備剩余壽命。文中利用狀態(tài)空間技術(shù)解決此問題。

1.2 狀態(tài)空間模型的構(gòu)建

為建模直接監(jiān)測與實際退化之間的關(guān)系，采用如下加性噪聲模型構(gòu)建觀測方程:

其中，ε（t）為噪聲項，假設(shè)ε（t）～N（0，σ2）且與B（t）相互獨立。

為了辨識實際的退化狀態(tài)，首先將動態(tài)系統(tǒng)（1）和（3）離散化，得到離散時間點tk＝kΔt，k＝1，2，…的狀態(tài)方程和觀測方程:

根據(jù)狀態(tài)空間模型（4），應(yīng)用卡爾曼濾波［10］估計當(dāng)前時刻實際的退化狀態(tài)。首先定義E（Xi｜Y1∶i）和＝Var（Xi｜Y1∶i）為利用當(dāng)前時刻的整個觀測序列Y1∶i＝Δ｛Y1，Y2，…，Yi｝得到的狀態(tài)Xi的條件期望與方差，即Xi～N（X∧i｜i，Pi｜i）?，F(xiàn)有研究大都直接將狀態(tài)估計的均值作為其實際值，直接可以得到時刻ti，剩余壽命概率密度函數(shù)為:

式（5）沒有考慮狀態(tài)估計的不確定性，為了減少剩余壽命預(yù)測的不確定性，文中將估計的狀態(tài)分布引入后續(xù)的剩余壽命預(yù)測中。根據(jù)全概率定律，可以得到當(dāng)前時刻ti，剩余壽命概率密度函數(shù)為:

2 參數(shù)估計算法

由于模型中含有未知參數(shù)，并且狀態(tài)是未知的，因此，采用EM算法解決存在未知狀態(tài)時的參數(shù)極大似然估計問題。為后續(xù)表示方便，首先定義當(dāng)前時刻的狀態(tài)序列為Xi｝。通過迭代計算且最大化包含完整數(shù)據(jù)集（X1∶i，Y1∶i）的對數(shù)似然函數(shù)的條件期望，EM 算法能夠產(chǎn)生一個估計序列收斂到參數(shù)的極大似然估計值［11］。令θ∧（j）表示 EM 算法第j次迭代所得的估計值，則完整數(shù)據(jù)對數(shù)似然函數(shù)的條件期望可表示為:

其中，L（X1∶i，Y1∶i｜θ）＝logp（X1∶i，Y1∶i｜θ）為完整數(shù)據(jù)對數(shù)似然函數(shù)?？偨Y(jié)起來，參數(shù)估計程序包含如下兩個步驟:

1）E 步。

計算 Q（θ，θ∧（j））。

2）M 步。

求解:

具體到文中構(gòu)建的狀態(tài)空間模型（4），為了計算對數(shù)似然函數(shù)的條件期望，對于k＝1，2，…，i，首先定義如下變量:

經(jīng)過一系列代數(shù)運算，可以得到

其中

為降低參數(shù)空間的維數(shù)，減少計算復(fù)雜度，分別計算式（8）相對于參數(shù)λ，σB和σ的偏導(dǎo)數(shù)，并且令這3個偏導(dǎo)數(shù)為零，可得

根據(jù)一階必要條件可知，最優(yōu)的參數(shù)估計值必滿足式（9）～式（11）。因此，可通過直接計算得到未知參數(shù)的估計值。

由上述推導(dǎo)可知，一旦獲取新的觀測值，就可以利用卡爾曼濾波和EM算法，估計和更新退化狀態(tài)及未知參數(shù)。相應(yīng)地，根據(jù)式（6）可以更新剩余壽命的概率分布，實現(xiàn)實時剩余壽命預(yù)測。

3 陀螺儀剩余壽命預(yù)測實驗

3.1 問題描述

陀螺儀漂移是表征其性能的一項重要指標(biāo)［12］。運行狀態(tài)下，陀螺儀的轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)必然造成轉(zhuǎn)軸的磨損，引起漂移系數(shù)的增長，當(dāng)漂移系數(shù)增大到預(yù)先設(shè)定的閾值，即認(rèn)為系統(tǒng)發(fā)生失效。本實驗選取敏感軸方向的一次項漂移系數(shù)作為衡量陀螺儀退化狀態(tài)的性能指標(biāo)。該系數(shù)的值一旦達(dá)到失效閾值0.38°／h，即表明陀螺儀已經(jīng)失效。對陀螺儀連續(xù)工作測試，采樣間隔為3h，所得到的測試數(shù)據(jù)共96組，如圖1所示。

圖1 漂移系數(shù)測試數(shù)據(jù)

3.2 實驗結(jié)果

為預(yù)測陀螺儀的剩余壽命，首先利用EM算法對參數(shù)進(jìn)行估計與更新。各未知參數(shù)的估計與更新結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的增加，各未知參數(shù)很快收斂到各自的穩(wěn)定值，說明所提參數(shù)估計方法的有效性。其中，參數(shù)a最終的估計結(jié)果為0.004 6，σB的估計結(jié)果為0.007 8，σ的估計結(jié)果為0.004 5。

圖2 參數(shù)估計與更新結(jié)果

為了驗證文中方法的有效性，將文中模型與不考慮狀態(tài)估計不確定性的模型做比較研究。為表示方便，將文中所構(gòu)建的模型稱為模型1，不考慮狀態(tài)估計不確定性的模型為模型2。以第90個到96個數(shù)據(jù)為例，剩余壽命預(yù)測結(jié)果如圖3所示。

圖3 兩種模型的剩余壽命預(yù)測結(jié)果的比較

由圖3可知，兩種模型的預(yù)測曲線都比較平滑，但是文中模型考慮了退化狀態(tài)估計的不確定性，因此，利用文中方法預(yù)測得到的剩余壽命的概率密度曲線更加緊致，預(yù)測結(jié)果的不確定性小。由于后續(xù)的維護(hù)策略優(yōu)化需要預(yù)測的剩余壽命信息，因此，文中方法可以減少維護(hù)策略建模的不確定性，降低失效風(fēng)險，提高維護(hù)效率。

4 結(jié) 語

陀螺儀剩余壽命預(yù)測實踐中，受各種因素的影響，直接監(jiān)測的退化變量含有噪聲，不能準(zhǔn)確反映陀螺儀的退化狀態(tài)。為解決此問題，構(gòu)建了狀態(tài)空間模型建模實際退化過程以及直接監(jiān)測與退化狀態(tài)間的關(guān)系，并且考慮狀態(tài)估計的不確定性，將其引入剩余壽命預(yù)測過程，最終實現(xiàn)剩余壽命的在線預(yù)測。仿真實驗表明，文中所提方法能夠較好地解決陀螺儀剩余壽命預(yù)測的相關(guān)問題，并且可以減少預(yù)測的不確定性，為后續(xù)的維護(hù)策略安排提供準(zhǔn)確而實時的預(yù)測信息。

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