楊晉朝，夏智勛，胡建新，孔龍飛

(國防科技大學高超聲速沖壓發(fā)動機技術(shù)重點實驗室，長沙 410073)

0 引言

粉末燃料沖壓發(fā)動機是一種新概念沖壓發(fā)動機，它使用金屬粉末為燃料、沖壓空氣為氧化劑和工質(zhì)。具有比沖高、能量密度大、結(jié)構(gòu)簡單、燃燒產(chǎn)物穩(wěn)定、燃料存儲和使用過程中安全性高、燃料流量可主動調(diào)節(jié)等優(yōu)點，在未來超聲速導彈設(shè)計中受到廣泛關(guān)注［1－2］。

粉末燃料沖壓發(fā)動機使用高能量密度的固體顆粒(鎂、鋁、硼、碳等)作為燃料，理論體積比沖高。但由于粉末燃料的裝填率不可能達到100%，所以發(fā)動機的實際體積比沖比理論體積比沖要低。為了使粉末燃料高效燃燒，發(fā)動機中使用的粉末燃料粒徑都較小，在微米級以下。理論與實踐都表明，顆粒越小，顆粒團聚、顆粒表面吸附作用越明顯，松裝密度越低［3］，這都使粉末燃料的裝填率不能達到較高水平。在文獻［4］中粉末燃料裝填率只達到了37%，文獻［2，5］也只達到了40%。因此，導致粉末燃料的體積熱值降低很多。在裝填率為40%的情況下，Mg粉末燃料的體積熱值為17.3 kJ/cm3，而煤油和鋁鎂貧氧推進劑(組分為:20%Al，20%Mg，40%AP，20%HTPB)的體積熱值分別為33.84 kJ/cm3和 33.26 kJ/cm3，可見，雖然 Mg的質(zhì)量熱值很高，但Mg粉末燃料的體積熱值與煤油和鋁鎂貧氧推進劑相比處于劣勢;燃燒熱值更高的Al粉末燃料的體積熱值(33.6 kJ/cm3)與這兩者相比，也無優(yōu)勢可言［1］。

因此，要體現(xiàn)粉末燃料沖壓發(fā)動機體積比沖高的優(yōu)越性，必須提高粉末燃料的裝填率，進而使其擁有較高的體積比沖。本文在對理想球形顆粒和非理想顆粒堆積理論全面系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，提出了理想的最緊密裝填理論，并最終提出了一種簡單有效的粉末燃料高效裝填方法。

1 理想球形顆粒堆積理論

1.1 等徑球體的有規(guī)則堆積

研究單一粒徑理想球形顆粒的堆積特性是理解粉體堆積的基礎(chǔ)。理想球形顆粒是指顆粒都是球形且表面光滑、不存在對相互移動有干擾作用的摩擦力和吸附力等。單一粒徑球形顆粒規(guī)則排列的堆積參數(shù)如表1所示，其中立方體、體心立方、面心立方、六方最緊密堆積是4種典型的規(guī)則排列形式，見圖1～圖4。

表1 單一粒徑理想球形顆粒的堆積參數(shù)Table 1 Packing parameters of mono-disperse spherical particles

圖1 立方體堆積Fig.1 Cubic packing

圖2 體心立方緊密堆積Fig.2 Body-centered cubic close packing

圖3 面心立方緊密堆積Fig.3 Face-centered cubic close packing

圖4 六方最緊密堆積Fig.4 Hexagonal closest packing

由表1和圖1～圖4可知，配位數(shù)越大，其堆積密度越大。單一粒徑理想球形顆粒裝填密度最大的排列形式是面心立方緊密堆積和六方最緊密堆積，裝填密度最小的排列形式是立方體堆積。在實際堆積中，顆粒的堆積一定是多種堆積形式的組合。所以，單一粒徑粉體的裝填率在π/6和(π/6)之間，其值與顆粒排列形式有關(guān)而與粒徑大小無關(guān)。

1.2 異徑球體的有規(guī)則堆積

當不同粒徑的顆粒混合裝填時，能達到更大的裝填率。以六方最緊密堆積為例，根據(jù)Horsfield的六方最緊密堆積理論，6個球圍成正八面體空隙，4個球圍成正四面體空隙。六方最緊密堆積中基本的直徑球稱為1次球(半徑r1)，填入正八面體空隙中的最大球稱為2次球(半徑r2)，填入正四面體空隙中的最大球稱為3次球(半徑r3);其后，再填入4次球(半徑r4)，5次球(半徑r5);最后，以極小的等徑球填入殘余的空隙中，這樣就構(gòu)成最緊密的堆積［6］。各次球徑及裝填率計算結(jié)果列于表2。

表2 六方緊密堆積的填充粒徑與空隙率Table 2 Filling particles and voidages of hexagonal closest packing

同樣，對于立方體堆積、斜方體堆積及體心立方緊密堆積等有規(guī)則排列，異徑球多級填充也會使空隙率逐漸減小，直至最小。

1.3 等徑球體的隨意堆積

粉體在實際堆積中不可能完全是一種有規(guī)則的排列，而是多種排列方式的混合。Smith等通過實驗，獲得5種空隙率不同的等徑球堆積配位數(shù)分布規(guī)律與平均空隙率及平均配位數(shù)的關(guān)系。假定堆積模型為立方堆積和六方最緊密堆積的混合，得到平均配位數(shù)和空隙率的關(guān)系式。

平均空隙率:

平均配位數(shù):

式中 x為六方最緊密堆積的比例數(shù)。

假設(shè)堆積模型為立方堆積和六方最緊密堆積的等比例混合，則x=0.5，用上述公式求得平均空隙率ε=36.8%，即裝填率為63.2%。大量的實踐證明，實際物料堆積中，裝填率接近常數(shù)62%［3］。這說明該理論假設(shè)與實際情況比較相符。等徑球體隨意堆積空隙體積分數(shù)K是空隙體積含量與固體物質(zhì)體積含量的比值，其計算式如下:

式中 ε為等徑理想球形顆粒粉體的空隙率;D為粉體的裝填率。

由于等徑球體隨意堆積的裝填率接近常數(shù)0.62，所以等徑球體粉體的K約為常數(shù)0.6。

1.4 異徑球體的隨意堆積

粉體一般并非由單一粒徑的顆粒組成，而是由粗細顆?；旌隙?。假設(shè)粉體由粗細兩組分混合組成，則由粗細顆粒的粒徑大小及含量比例的不同，可分為以下 3 種類型［7－8］。

第1種類型:細粉剛好能填滿粗粉的間隙，混合粉體的空隙含量等于粗粉空隙體積含量減去細粉固體物質(zhì)體積含量，如圖5(a)所示?？障扼w積分數(shù)為

式中 Kc為粗粉空隙體積分數(shù);Si為i粒級所占整個固體體積分數(shù);n為粒級組分數(shù)。

圖5 異徑球隨意堆積的3種類型Fig.5 Three random packing types of multi-disperse particles

第2種類型:細粉分數(shù)大于粗粉空隙體積含量，粗顆粒被細顆粒擠開，好像“漂浮”在細粉中，混合粉體總體積也因此相應(yīng)地擴大。混合粉體空隙含量等于細粉空隙體積含量，如圖5(b)所示?？障扼w積分數(shù)為

式中 Kf為細粉空隙體積分數(shù)。

第3種類型:由于細粉顆粒尺寸比例和幾何形狀不合適，不能填入粗顆粒間隙中。由于這種“顆粒干擾作用”增大了總體積量，也提高了空隙體積分數(shù)，如圖5(c)所示?？障扼w積分數(shù)為

式中 K0為基礎(chǔ)顆?？障扼w積分數(shù);Xi為第i粒級的粒度;Xs為第s粒級的粒度;W0為顆粒干擾寬度，可表示為W0=lg(X0/Xw)，X0為基礎(chǔ)顆粒粒度，Xw為極限顆粒粒度，是指剛好沒有顆粒干擾作用的粒度。

在計算多粒級混合粉體孔隙體積分數(shù)時，極限顆粒粒度為除基礎(chǔ)顆粒以外的任一粒級粒度。

由式(4)～式(6)可知，異徑球體堆積的空隙體積分數(shù)必小于等徑球體堆積的空隙體積分數(shù)，也即異徑球體堆積裝填率比等徑球體堆積有更高的裝填率。

綜上，對理想球形顆粒的堆積規(guī)律有如下結(jié)論:

(1)相同粒徑或相同粒徑比的球形顆粒排列時，空隙率與其粒徑的大小無關(guān)，僅與排列方式有關(guān)。

(2)排列方式相同時，多級配粒徑球體的空隙率小于單一粒徑球體的空隙率;并且級數(shù)越多，粉體的空隙率越小。

(3)顆粒堆在緊密排列的情況下，顆粒排列方式不是單一的，而是多種密排方式的混合。

2 非理想顆粒堆積

2.1 顆粒的干擾和干涉作用

實際粉末燃料都是不規(guī)則的，顆粒之間存在各種相互干擾，阻礙其自由移動。例如，細顆粒的幾何尺寸不合適，幾何形狀不規(guī)則，不能恰好填入粗顆粒的空隙中，這時會將粗顆粒架開。另外，對混合粉體總體積的影響不僅是粗細顆粒的粒徑比，更主要是它們的含量比例。若細顆粒含量太少，在粗顆粒之間必然留有未被填滿的空隙;反之，所有粗顆粒的空隙都被填滿后，剩余的細顆粒會將粗顆粒擠開。粗顆粒的外表面也不會是完全光滑的，對顆粒的自由滑動會起阻礙作用，干擾其有序排列。所以，在粗顆粒周圍的細小顆粒往往不能緊密排列，留有較多空隙，這就是所謂的壁面效應(yīng)［3］。細顆粒之間還存在相互吸附力，包括范德華力、靜電力等，細粉末形成拱橋和互相粘附，妨礙了顆粒的相互移動。

20 世紀 30 年代，美國 Weymouth C A G［9］提出了顆粒干涉理論，1955年Williams提出了計算間斷顆粒級配的干涉理論，該理論的要點為小顆粒的平均直徑D2加上吸附層應(yīng)小于平均粒徑為D1的大顆粒的間隙，否則小顆粒會把大顆粒擠開，導致粉體的堆積密度下降，這就是所謂的“干涉作用”。計算表明，單級球顆粒在六方最緊密排列的情況下，可自由通過其間隙(不發(fā)生干涉作用)的小顆粒與大顆粒的關(guān)系為r=0.154 7R，在4個相鄰的大顆粒中，其間隙可容納小顆粒的最大半徑為0.224 7R，如圖6所示。單級球顆粒在簡單立方排列的情況下，可自由通過其間隙(不發(fā)生干涉作用)的小顆粒與大顆粒的關(guān)系為 r=0.414 2R，在4個相鄰的大顆粒中，其間隙可容納小顆粒的最大半徑為0.722 0R，如圖7所示。

為研究顆粒之間的干擾和干涉作用，本文選取了9種粉末燃料作為實驗樣本，如表3所示。以2#、8#樣本為例，詳細說明顆粒之間的干擾和干涉作用。圖8為2#、8#樣本的掃描電鏡照片。

圖6 六方最緊密堆積時大小顆粒粒徑比Fig.6 Diameter ratio of big/small particles in hexagonal closest packing

圖7 立方體堆積時大小顆粒粒徑比Fig.7 Diameter ratio of big/small particles in cubic packing

表3 實驗樣本Table 3 The samples for experiment

圖8 2#、8#樣本的掃描電鏡照片F(xiàn)ig.8 SEM photos of 2#and 8#samples

由圖8(a)、(b)可看出，2#粉末顆粒形狀極不規(guī)則，且顆粒大小不均勻，顆粒表面也不光滑，顆粒之間相互干涉嚴重，小顆粒不能進入大顆粒之間的空隙內(nèi)，從而粉體總的空隙率較大。在 1#、3#、4#、9#粉末的掃描電鏡照片中也發(fā)現(xiàn)了此類干涉現(xiàn)象。由圖8(c)、(d)可看出，8#粉末顆粒的球形度較好，但顆粒大小不均勻，大小顆粒相差較大。細小顆粒的吸附力不可忽略，如兩圖中圓圈內(nèi)顆粒，在吸附力作用下，小顆粒可克服重力影響附著在大顆粒表面上。在5#～7#鎂粉掃描電鏡照片中也發(fā)現(xiàn)了細小顆粒的吸附現(xiàn)象。在圖8(d)中還可清晰地看出，顆粒表面并非完全光滑。這都說明在實際粉體堆積中，干擾和干涉作用是不可避免的。

2.2 樣本粉體的松裝裝填率

粉末燃料沖壓發(fā)動機中的粉末燃料是在氣流拖曳力的作用下從供應(yīng)系統(tǒng)中流出，而振實狀態(tài)的粉末燃料由于相互之間作用力較大，不易于流化。所以，目前粉末燃料供應(yīng)系統(tǒng)中的粉末燃料是松裝裝填的。文中研究也主要圍繞粉末燃料的松裝裝填率開展，共選取了9種粉末作為實驗樣本(見表3，其SEM照片如圖9所示)，測量其松裝密度，稱量工具使用上海浦春計量儀器有限公司生產(chǎn)的精密電子天平(精度為0.01 g)。

圖9 9種樣本的掃描電鏡照片F(xiàn)ig.9 SEM photos of nine samples

由圖9可看出，1#～4#、9#樣本顆粒的形狀極不規(guī)則，球形度很差，顆粒大小也不均勻。5#～8#樣本顆粒的形狀球形度很好，表面光滑度也很好，其中5#的顆粒表面光滑度最好。5#顆粒大小較均勻，而6#～8#粒徑小的顆粒含量相對較多。實驗測得這9種樣本的松裝狀態(tài)裝填率如圖10所示。

圖10 樣本的松裝裝填率Fig.10 Loose packing ratio of various samples

由圖10可知，球形顆粒粉體(5#～8#)的松裝裝填率整體高于不規(guī)則顆粒粉體(1#～4#、9#)的松裝裝填率;而同一類型的粉體，大顆粒粉體的松裝裝填率又高于小顆粒粉體的松裝裝填率;但所有粉體的裝填率都小于理想等徑顆粒粉體的裝填率62%。這說明實際粉體中顆粒形狀越不規(guī)則，顆粒粒徑越小，則粉體的裝填率越低。與理想粉體不同，顆粒間的干擾干涉作用對粉體裝填率的影響較大，且不可避免。由圖10可知，5#樣本球形度最好，表面最光滑，顆粒較大，所以顆粒間干擾作用較小，其松裝裝填率最大;而4#樣本顆粒很不規(guī)則，顆粒也較小，所以顆粒間干擾作用較大，其松裝裝填率最小。

綜上所述，實際粉體顆粒間的干擾和干涉作用阻礙顆粒形成最緊密堆積，使粉體的空隙率變大。顆粒形狀越規(guī)則，粉體的松裝裝填率越大;顆粒越細小，顆粒的相互作用力越大，粉體的松裝裝填率越小。

3 粉末燃料的高效裝填

由以上分析，為提高顆粒的裝填密度，要盡量使用球形度好的顆粒，且必須采用多級配裝填。而在多級配裝填中，需解決2個主要問題:一是顆粒級數(shù)及粒徑比的確定;二是各級顆粒含量比例的確定。

3.1 高效裝填理論

實際粉體堆積不可能是顆粒的有規(guī)則堆積，本文假設(shè)一種最緊密堆積理論，其幾何模型如圖11所示。其中(a)表示各種不同粒級的顆粒分層裝填的情況;(b)表示各個粒級的顆?；旌虾蟀醋罹o密堆積的理想情況;(c)表示各粒級顆?；旌虾蟮膶嶋H情況。

在n級顆粒分層裝填時，粉體總體積如圖11(a)所示。理想的最緊密裝填方法如下:在一個固定容器內(nèi)(如一個單位體積的容器)，先用大尺寸的一號顆粒(粒徑為d1)充滿容器，再用粒度遠小于一號顆粒的二號粒子(粒徑為d2)充滿一號顆粒的空隙;然后，再用遠小于二號粒子的三號粒子充滿二號顆粒的空隙，……。如此填充下去，可使裝填率達到最大(約為1，如圖11(b)所示)，此時的裝填密度趨近該物質(zhì)的真密度?，F(xiàn)實中不可能做到如此緊密的裝填，實際的混合裝填效果如圖11(c)所示。

圖11 最緊密裝填的幾何模型Fig.11 Geometric model of the closest packing

雖然實際中高效裝填為圖11(c)所示效果，但圖11(b)所示的最緊密裝填，為高效裝填提供了一種方法，最緊密裝填理論的假設(shè)如下:

(1)各級粒子的空隙率均為ε;

(2)在裝填后，各級粒子本身的空隙率不變;

(3)各級顆粒為均勻、表面光滑的球形顆粒。

該理論認為有無窮級粒子，次級粒子直徑遠小于上一級粒子直徑。在這種理想的假設(shè)下，各級顆粒的裝填情況見表4。

表4 各級顆粒的裝填情況Table 4 Packing ratios of multi-grade particles

粉體的初始裝填率(D0=1－ε)不同，粒級數(shù)n與理論上能達到的最大裝填率D的關(guān)系也不相同，圖12為不同初始裝填率的粉體粒級數(shù)與總裝填率的關(guān)系曲線。由圖12可知，初始裝填率越大，多粒級粉體達到同一最緊密堆積密度所需的粒級組分數(shù)越小。但所有曲線都在n≤3時上升很快，而n＞3時上升趨勢減緩，這就是說，三級以下的級配裝填對提高粉體的裝填密度是非常有效的，而三級以上的級配裝填對提高粉體的裝填密度已不是很明顯。

圖12 多級混合粉體中粒級組分數(shù)與裝填率的關(guān)系Fig.12 Relationship between packing ratio and size fraction of multi-grade spherical particles

高效裝填方法:

(1)各級顆粒粒徑比的確定

最緊密裝填理論要求次級粒子直徑遠小于上一級粒子直徑，而在實際中卻無法滿足“遠小于”的要求。根據(jù)2.1節(jié)中討論，在六方最緊密排列的情況下，可自由通過其間隙(不發(fā)生干涉作用)的小顆粒與大顆粒的關(guān)系為r=0.154 7R，即 R/r=6.46。據(jù)此，認為相鄰兩級的顆粒粒徑比以大于6.5為宜。

(2)各級顆粒質(zhì)量百分數(shù)的確定

各級顆粒體積百分數(shù)的確定是顆粒級配的首要問題。因為對于同一種材料(其密度相同)，其體積分數(shù)也就是質(zhì)量分數(shù)。因此，可根據(jù)各級顆粒的空隙率直接計算其最佳配比。

例如，各級顆粒的真實體積比體積比即為質(zhì)量比，由表4可知:

據(jù)此可確定各級顆粒質(zhì)量百分數(shù)。

在實際混合裝填中，若各級顆粒的空隙率不相等，則

式中 ε1、ε2、ε3分別為1級、2級、3級顆粒的初始空隙率。

(3)顆粒級數(shù)的確定

由表4和圖12可知，n級裝填后所余下的空隙為εn，若 ε=0.4，則當組分數(shù) n＜3時，空隙率下降明顯，n＞3時，空隙率下降就不明顯了;從另一角度，顆粒級數(shù)越多，則要求最大與最小顆粒粒徑比越大，否則不能達到混合密度較大的目的。綜合這兩方面考慮，實際中常采用二級或三級顆粒級配。

3.2 粉末燃料的高效裝填

由高效裝填理論，裝填顆粒應(yīng)盡量選用球形度好且表面光滑的顆粒，再考慮粒徑比的要求，確定了二級配混合裝填的方案。在球形度好的樣本中，選取5#和8#樣本作為級配粉末，使用BT-9300H型激光粒度分布儀(丹東市百特儀器有限公司生產(chǎn))，檢測這2種粉末的粒度分布，測試結(jié)果如圖13所示。

由圖13可看出，8#樣本顆粒粒度多集中在20～40 μm之間，5#樣本顆粒粒度多集中在90～200 μm 之間(圖13(b)中紅線第二個峰，僅表示145～180 μm顆粒的區(qū)間百分含量略高于與其相臨粒徑的顆粒的區(qū)間百分含量)，這2種樣本基本能滿足級配裝填中相鄰顆粒R/r＞6.5的要求。再由式(8)和圖10確定5#和8#樣本的質(zhì)量比:

將質(zhì)量比為2.67的5#、8#樣本混合均勻，用電子天平(精度0.01 g)測量其松裝密度。取3次測量值的算術(shù)平均值為混合粉末的松裝密度值。實驗得出此配比情況下粉體的松裝裝填率為67.16%，比單級裝填情況下松裝裝填率最高的5#粉末提高了將近10%。為了驗證此方法的可靠性，改變2種樣本的配比進行了對比實驗，實驗結(jié)果如表5所示。表5中，φ為裝填率，φ+ε=1。

圖13 8#和5#樣本粒度測試結(jié)果Fig.13 Test results of particle size of 8#and 5#sample

表5 大小顆粒不同配比實驗結(jié)果Table 5 Experimental results of various mass ratios of big/small particles

由表5可知，5#、8#樣本的質(zhì)量比變大或變小后，粉體混合后的松裝裝填率都有所下降，這說明本高效裝填方法確定的不同粒級含量比例是最佳的，以此方法來提高粉末燃料的裝填密度是可行的。

4 結(jié)論

(1)理想球形顆粒堆積時，空隙率與粒徑大小無關(guān)，僅與排列方式有關(guān);在排列方式相同情況下，多級配混合粒徑裝填會減小粉體的空隙率，且級數(shù)越多，粉體空隙率越小;顆粒在緊密堆積狀態(tài)下，其排列方式不唯一，是多種密排形式的組合。

(2)實際粉體顆粒間的干擾和干涉作用必然存在，并阻礙顆粒形成最緊密堆積，使粉體的空隙率變大。顆粒形狀越規(guī)則，粉體的松裝裝填率越大;顆粒越細，顆粒的相互作用力越大，粉體的松裝裝填率越小。

(3)提出一種粉末燃料的高效裝填方法，即填料中上級顆粒與次級顆粒粒徑之比應(yīng)大于6.5;質(zhì)量比滿足式(8);顆粒級數(shù)采用二級或三級。通過實驗驗證，這種方法可將粉末燃料的松裝密度提高近10%，是一種簡單有效地提高粉末燃料裝填率的方法。

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