●王蘇文 (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

所謂3個二次指的是二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)、二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、二次不等式ax2+bx+c＞0(或＜0)(a≠0)對應(yīng)于考查二次方程根的分布問題、二次函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)、二次不等式解或恒成立問題.對于高考而言，3個二次的考查并不陌生，幾乎年年考、年年新，浙江卷很少直接考二次函數(shù)，縱觀全國各個省份的高考卷，也有個別省份直接考二次函數(shù)，甚至出現(xiàn)考查二次函數(shù)的解答題，如湖南卷等.

仔細(xì)比較深化課程改革后的高考內(nèi)容與原來新課程改革的高考內(nèi)容，就會清晰地看到導(dǎo)數(shù)內(nèi)容將不再作為高考的必修模塊內(nèi)容(可參考表1).如此一來，作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分——函數(shù)，其考查的內(nèi)容可能又將回歸到基本函數(shù)(指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù))、常規(guī)函數(shù)(一次、二次函數(shù))上來，毫無疑問二次函數(shù)的考查又將成為重點.

表1 深化課改前后理科部分的考試考點變化

續(xù)表1

因此，實行深化課改后對于3個二次問題應(yīng)更加重視，對3個二次的問題要切實理解與掌握，否則可能在考試中吃虧.導(dǎo)數(shù)在列入高考內(nèi)容之前的幾年中，大多以二次函數(shù)為命題依據(jù)，尤其是1996年、1997年的幾個二次函數(shù)問題使大多數(shù)考生都無從下手.雖然近幾年對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，表面上沒有二次函數(shù)，但實際考查的本質(zhì)還是以二次函數(shù)為主，有些高考題甚至就直接考二次函數(shù)(湖南卷、江蘇卷)，二次函數(shù)問題在高考中可謂生生不息.

筆者也大致瀏覽了近幾年的高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)，高考對于二次函數(shù)的考查，有的直接考、有的間接考，以小題較多，相對而言純粹考二次函數(shù)解答題的較少.下面通過近3年的幾個有關(guān)二次函數(shù)的高考題與同行一起來了解一下高考中的二次函數(shù)問題考查.

1 直接考二次函數(shù)問題

1.1 二次方程問題

例1 設(shè)n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n = ______.

(2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析要存在整數(shù)根，加上各個系數(shù)均為整數(shù)，故判別式必須為完全平方數(shù)才可能成立.可直接利用求根公式進(jìn)行計算，然后用完全平方數(shù)與整除等進(jìn)行判斷計算.

1.2 二次函數(shù)問題

例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域為［0，+∞).若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m+6)，則實數(shù)c 的值為______.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析考查二次函數(shù)的值域與二次不等式的解集問題.

解由函數(shù)的值域為［0，+∞)，得

1.3 二次不等式恒成立問題

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題為二次不等式恒成立問題，可先轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或恒成立問題，然后用常見方法進(jìn)行處理.

方法1 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題處理

解不等式可化為

圖1

因此實數(shù)m的取值范圍是

方法2 轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理

解不等式可化為

解得實數(shù)m的取值范圍是

2 間接考二次問題

2.1以二次為載體，實質(zhì)考查非二次

例4 設(shè)f(x)是定義R在上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0 時，f(x)=2x2-x，則 f(1)= ( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題主要以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的求法，易解.選A.

2.2 以導(dǎo)數(shù)為載體，實質(zhì)考查二次

(1)如果g(x)=f'(x)-2x-3在x=-2處取得最小值為-5，求f(x)的解析式;

(2)如果 m+n＜10(m，n∈N+)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求m和n的值(注：區(qū)間(a，b)的長度為b-a).

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析(1)略;

(2)本題的關(guān)鍵是二次方程f'(x)=0的2個實數(shù)根的差為整數(shù)，但不等價于2個根為整數(shù)，故求解中不能混淆.

又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，故設(shè) f'(x)=x2+2mx+n=0的2個實數(shù)根為a，b(b＞a)，結(jié)合韋達(dá)定理

從而區(qū)間長度為b-a.又

其中 m，n∈N+，m+n ＜10，且 b-a為整數(shù)，因此

點評求解此類問題的關(guān)鍵是抓住不等式與方程根的思想，滿足整數(shù)所需條件該如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合平時所學(xué)整數(shù)間的有關(guān)方法進(jìn)行解答.

縱觀這幾年的高考試題，二次函數(shù)考查以方程、不等式為主，3個二次往往滲透于其他知識中，體現(xiàn)背景公平，淡中見雋.猜想在深化課改后3個二次函數(shù)的考查上會更靈活，更有深度.