丹 梅，曹聚亮，吳 京， 趙 鋒

(國防科技大學1.電子科學與工程學院;2.機電工程與自動化學院，湖南長沙 410073)

0 引言

“信號與系統(tǒng)”課程的三大變換(傅里葉變換、拉普拉斯變換和z變換)中，傅里葉變換無疑是最為重要的一種變換，而傅里葉變換的性質(zhì)又是其中的重點。把傅里葉變換的性質(zhì)講深講透，有利于學生深入理解傅里葉變換，理解頻域分析的思想，對其他幾種變換的學習都會有所幫助。

連續(xù)時間信號傅里葉變換的性質(zhì)很多，一般要求學生掌握的有:對稱性、線性、奇偶性、展縮特性、時移特性、頻移特性、時域微分和積分特性、頻域微分和積分特性、時域卷積特性以及頻域卷積特性等［1-6］。當然，不同教材的內(nèi)容有些許差異，例如有的教材將相關定理和帕斯瓦爾定理列入傅里葉變換的性質(zhì)內(nèi)容;有些教材對于頻域的微分和積分特性不講或略講。性質(zhì)的名稱也不盡相同，如對稱性又稱為對偶性或互易對稱性，展縮特性又稱為尺度變換特性，奇偶性還稱為共軛對稱性等，但所有教材的基本內(nèi)容還是比較一致的。

如何將名目繁多的性質(zhì)條理清晰地呈現(xiàn)給學生，需要考慮兩個關鍵問題:①厘清各個性質(zhì)間的關系和講授順序，先講哪個性質(zhì)，后講哪個性質(zhì)，把握好各個性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別;②合理安排每個性質(zhì)具體講解內(nèi)容。每個性質(zhì)包含三方面內(nèi)容:性質(zhì)本身的數(shù)學表示、證明和應用。應用又包含兩方面:一是在傅里葉變換和反變換等計算中的應用;二是該性質(zhì)所表達的物理含義。后者尤其重要，挖掘各個性質(zhì)蘊含的物理意義，可以增進學生的理解［7］。

1 各個性質(zhì)之間的關系

傅里葉變換的性質(zhì)雖然名目很多，但其實質(zhì)是研究兩個域(時域和頻域)之間的對應關系。這種對應關系可以總結為兩點:①一個域中的某些特性在另外一個域中對應什么特性?②一個域中的某種運算在另外一個域中發(fā)生什么變化?

例如，奇偶性研究的是一個域中的奇對稱或偶對稱在另外一個域的體現(xiàn)。其他性質(zhì)，除了對稱性之外，都是研究一個域中的某種運算(線性運算、尺度變換、平移、微分、積分和卷積)在另外一個域對應的變化。而對稱性，可看做是對所有性質(zhì)的一個總結，它可用照片和底片的關系來比喻。如果底片中的某種變化A，照片中以A'的形式表現(xiàn)出來，那么，照片中的變化A，也必然對應底片中的某種變化A″。傅里葉變換的各個性質(zhì)之間的關系示于圖1。

圖1 傅里葉變換性質(zhì)之間的關系

2 課程講授順序

筆者根據(jù)多年的教學實踐，認為按照圖2所示的順序講授效果會比較好。

首先是線性性質(zhì)，當然該性質(zhì)也可在講解傅里葉變換定義式時給出，但由于線性性質(zhì)不僅是傅里葉變換，也是后面要學習的拉普拉斯變換和z變換也具備的基本性質(zhì)。筆者認為還是有必要將其作為一條性質(zhì)單獨列出，以示強調(diào)。在學習后面兩種變換時，則可不再單獨列出。對稱性有其特殊重要的地位，是諸多性質(zhì)中的核心，反映了傅里葉變換的實質(zhì)。筆者認為，它的講授順序應當靠后，因為該性質(zhì)本身的數(shù)學表示式不易理解，其證明也需要一定的數(shù)學技巧，放在開篇的位置講解，學生不易接受。

圖2 傅里葉變換性質(zhì)的一種講授順序

在給出線性性質(zhì)之后，可以將展縮特性作為傅里葉變換性質(zhì)的切入點，因為展縮特性不僅證明較簡單，而且物理含義特別清晰直觀，可以舉出生活中實例作對照。磁帶放音即是一例。錄音機電量不足時，磁頭轉速慢，相當于慢速放音，即時域擴展，而聲音聽起來音調(diào)低沉，即對應頻域壓縮，高頻分量減少，低頻分量增多;反之，以比正常情況快的速度放音，即時域壓縮，而聲音聽起來音調(diào)尖利，即對應頻域擴展，高頻分量增多。另外，還可以以通信系統(tǒng)中通信速度和占用頻帶寬度的矛盾為例，說明傅里葉變換的展縮特性。

然后才是時移、頻移、時域微分積分、頻域微分積分、時域卷積和頻域卷積，這6條性質(zhì)又可以歸納為4對，即:平移、微分、積分和卷積，可以很明顯地構成時域和頻域的對應，通過這4對性質(zhì)的學習，已經(jīng)將時域與頻域的對稱特點展現(xiàn)在學生面前，此時再講解對稱性，就是水到渠成了，因其含義已經(jīng)相當明確，抽象的數(shù)學表示和推導過程已經(jīng)不會構成理解上的障礙，甚至可以繞過證明過程，結合前面4對性質(zhì)，直接給出對稱性的數(shù)學表示和直觀的解釋。

最后給出奇偶性。因為奇偶性的證明過程雖然較簡單，但只能停留在數(shù)學推導的層面上，不易給出生動實例。放在最后，直接給出該性質(zhì)，簡單說明其數(shù)學特性，詳細證明過程可以留給學生課下自學。

3 對稱性的應用

前面指出對稱性可以看做是對所有性質(zhì)的一個總結。實際上，傅里葉變換的定義式本身即體現(xiàn)了該性質(zhì)。同時也可以直接利用傅里葉正反變換的定義式來證明該性質(zhì)［8］。反之，該性質(zhì)可以用于傅里葉正、反變換的求解，另外利用對稱性，還可以實現(xiàn)時移特性與頻移特性、時域微分特性與頻域微分特性、時域卷積特性與頻域卷積特性的互推。下面給出其推導過程。為了敘述方便，設f(t)F(ω)，f1(t)F1(ω)和 f2(t)F2(ω)的推導中，都利用到展縮特性的特例:。

(1)由時移特性推導頻移特性

由時移特性得:F(t－t0)2πf(-ω)e-jωt0

再利用對稱性得:2πf(-t)e-jtt02πF(-ω － t0)

利用展縮特性 t→-t，ω→-ω 得:f(t)ejtt0F(ω －t0)，頻移特性得證。

(2)由時域微分特性推導頻域微分特性

(3)由時域卷積特性推導頻域卷積特性

由對稱性得:

由時域卷積特性得:

再利用對稱性得:

用展縮特性，t→-t，ω→-ω，得:

由此頻域卷積特性得證。

4 結語

傅里葉變換這一部分的教學要求，是從數(shù)學概念、物理概念及工程概念上深刻理解信號頻譜的含義，熟練掌握信號的頻域分析方法，熟練掌握連續(xù)時間信號傅里葉變換的基本性質(zhì)及應用，建立信號時域與頻域的對應關系。

在這一部分的教學中，我們應該注意數(shù)學與物理意義的結合，挖掘傅里葉變換性質(zhì)在實際中的應用實例。通過生活中的生動實例，激發(fā)學生學習興趣，通過科技領域中的實例，激發(fā)學生的鉆研精神。

［1］ Alan V.Oppenheim著.劉樹棠譯.信號與系統(tǒng)(第二版)［M］.西安:西安交通大學出版社，1998.3

［2］ 鄭君里等.信號與系統(tǒng)(第二版)［M］.北京:高等教育出版社.2000，5

［3］ 吳大正等.信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)［M］.北京:高等教育出版社

［4］ ［美］B.P.Lathi著.劉樹棠等譯.線性系統(tǒng)與信號(第2版)［M］.西安:西安交通大學出版社，2006.4

［5］ 吳京等.信號與系統(tǒng)分析(第二版)［M］.長沙:國防科技大學出版社，2004.8

［6］ 丹梅等.“信號與系統(tǒng)”課程教材內(nèi)容比較及分析探討［J］.南京:電氣電子教學學報電子信息專輯.2009.31(12):4～7

［7］ 劉蕓等.引導學生理解信號頻譜的概念和意義［J］.武漢:理工高教研究.2007.26(5):119～121

［8］ 鄭君里，教與寫的記憶--信號與系統(tǒng)評注［M］.北京:高等教育出版社.2005，8