謝寶昌

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240)

變壓器是“電機(jī)學(xué)”的重要內(nèi)容之一。對(duì)變壓器等效電路獲取方法的認(rèn)識(shí)有助于正確理解變壓器基本原理，也有助于交流感應(yīng)電機(jī)的教學(xué)。傳統(tǒng)的獲取方法是基于變壓器內(nèi)部電磁關(guān)系和繞組折算原理獲得 T 型等效電路［1，2］，學(xué)生往往不能理解繞組折算思想而使教學(xué)效果大打折扣。

本文提出了一種新的獲取等效電路的教學(xué)方法，先通過物理過程分析獲取電路和磁路耦合模型，然后通過深入分析漏磁路和主磁路中磁通、磁勢(shì)和磁導(dǎo)關(guān)系并引入主磁路鐵耗電流分量和磁化電流分量，逐步用電路元件等效替代漏電勢(shì)源和激磁電流源，而完全電磁耦合部分則用理想變壓器替代，最后利用理想變壓器的變換特性獲得T型等效電路。

1 變壓器的物理模型

本文以雙繞組變壓器為例闡述其等效電路獲取的教學(xué)過程，該過程也適用于其它類型變壓器。

為了讓學(xué)生理解等效電路獲取過程，首先必須解釋清楚物理模型，包括參考方向的確定和內(nèi)部電磁耦合過程。雙繞組變壓器的參考方向是這樣確定的:按照電動(dòng)機(jī)慣例規(guī)定端口電壓與電流，即電能輸入變壓器，內(nèi)部繞組電流與磁場(chǎng)滿足右手螺旋關(guān)系，磁場(chǎng)與感應(yīng)電勢(shì)也滿足右手螺旋關(guān)系，根據(jù)一次側(cè)和二次側(cè)繞組繞向，所有物理量的正方向如圖1所示。圖中一次側(cè)與二次側(cè)漏磁通僅是與自身繞組匝鏈的等效漏磁通，即繞組自身漏磁鏈與匝數(shù)之比。

圖1 雙繞組變壓器物理模型

我們?cè)诮忉寖?nèi)部電磁過程中，必須強(qiáng)調(diào)變壓器工作頻率下電路參數(shù)應(yīng)采用集中參數(shù)而不考慮高頻或類似雷電波過程的分布參數(shù)，這樣繞組電阻和電感定義和分離成為可能。同時(shí)我們必須強(qiáng)調(diào)變壓器內(nèi)部漏磁路和主磁路分開的分析方法即將線性與非線性部分分開。對(duì)于漏磁路磁通必須強(qiáng)調(diào)是繞組自身全匝鏈的等效漏磁通。

2 變壓器的物理過程

變壓器一次側(cè)施加交流電壓u1后，變壓器內(nèi)部各物理量都是隨時(shí)間交變的函數(shù)，首先產(chǎn)生一次側(cè)繞組電流i1、主磁場(chǎng)磁通Φm和漏磁場(chǎng)磁通Φ1σ。主磁通Φm不僅與一次側(cè)繞組而且與二次側(cè)繞組耦合并分別感應(yīng)出主電勢(shì)e1m和e2m，兩者之比等于繞組匝比N1:N2，即變壓器變比k。漏磁通Φ1σ只與一次側(cè)繞組耦合并感應(yīng)出漏電勢(shì)e1σ。

如果二次側(cè)繞組開路，那么二次側(cè)電流為零，二次側(cè)主電勢(shì)e2m與端電壓u2相平衡。一旦二次側(cè)繞組形成閉合回路，那么二次側(cè)將出現(xiàn)負(fù)載電流i2，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)將阻礙主磁通Φm的變化，進(jìn)而一次側(cè)繞組電流i1增大，以維持一次側(cè)交流電壓平衡所需的感應(yīng)電勢(shì)。與此同時(shí)，二次側(cè)負(fù)載電流i2將產(chǎn)生與自身耦合的漏磁場(chǎng)磁通Φ2σ并感應(yīng)出漏電勢(shì)e2σ。

漏磁通路徑主要沿鐵芯外的空氣隙或油路閉合。磁路線性，漏磁場(chǎng)與繞組電流呈正比，因此可以用漏電感等效繞組相應(yīng)的漏磁鏈。

主磁場(chǎng)沿鐵芯閉合，將引起鐵芯磁滯現(xiàn)象和產(chǎn)生渦流，兩者都對(duì)主磁通產(chǎn)生影響，即鐵芯內(nèi)的主磁通不僅受一次側(cè)繞組磁勢(shì)F1=N1i1和二次側(cè)繞組磁勢(shì)F2=N2i2的影響，還受鐵芯磁滯與渦流引起的磁勢(shì)Fc的影響。

3 變壓器的數(shù)學(xué)模型

我們根據(jù)物理模型，可以獲得一次側(cè)繞組和二次側(cè)繞組的電壓方程與主磁路磁勢(shì)Fi和F2平衡方程:

這里，繞組電流i通過繞組電阻會(huì)產(chǎn)生壓降R1i1和R2i2。

由此獲得變壓器一次側(cè)和二次側(cè)繞組等效電磁耦合模型，如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)分別為一次側(cè)和二次側(cè)電壓方程(1)和(2)對(duì)應(yīng)的電路模型。圖2(c)是方程(3)對(duì)應(yīng)的簡化磁路模型。其中主磁路鐵芯磁阻Rmc，一次側(cè)和二次側(cè)繞組漏磁路磁阻分別為Rm1σ和Rm2σ。圖中電源正負(fù)號(hào)表示相應(yīng)正方向。

因?yàn)殡娏髋c磁勢(shì)耦合，磁通與電勢(shì)耦合，所以圖2稱為電磁耦合模型。

圖2雙繞組變壓器等效電磁耦合模型

由一次側(cè)漏磁路得到漏磁通Φ1σ、漏磁鏈ψ1σ與電流i1的關(guān)系為

Φ1σ=F1/Rm1σ= Λ1σN1i1，ψ1σ= Λ1σN12i1=L1σi1式中，Λ1σ為一次側(cè)漏磁導(dǎo)。

同樣地，得到二次側(cè)漏磁通 Φ2σ、漏磁鏈 ψ2σ與電流i2的關(guān)系為

Φ2σ= Λ2σN2i2，ψ2σ=L2σi2

式中，Λ2σ為二次側(cè)漏磁導(dǎo)。

由此可見，漏磁路磁場(chǎng)產(chǎn)生的漏電勢(shì)在電磁耦合模型中可以用與繞組電阻串聯(lián)的漏電感表示。

對(duì)于主磁路磁勢(shì)，引入產(chǎn)生磁滯與渦流的等效電流iFe，稱其為鐵耗電流分量，使得Fc=N1iFe。同時(shí)引入產(chǎn)生主磁通的等效磁化電流iμ，使得主磁路磁通磁位降等于N1iμ。于是，由磁勢(shì)平衡得到各電流之間的關(guān)系

其中，激磁電流im等于等效磁化電流與鐵耗電流分量之和，它本質(zhì)上是一次側(cè)和二次側(cè)繞組合成磁勢(shì)產(chǎn)生的主磁路磁勢(shì)在一次側(cè)繞組上的電流分量:

一次側(cè)繞組電流i1與負(fù)載電流i2相關(guān)部分稱為負(fù)載電流分量，用i1L表示，它們滿足關(guān)系:

一次側(cè)與二次側(cè)繞組主電勢(shì)e1m和e2m滿足

一次側(cè)與二次側(cè)繞組主電勢(shì)和負(fù)載電流之間關(guān)系，即方程(6)和(7)相當(dāng)于理想變壓器模型，于是得到基于理想變壓器的等效電路，如圖3所示。其中方程(4)的激磁電流im用電流源表示。

圖3 基于理想變壓器和電流源的等效電路

與漏磁路分析相仿，主磁路磁化電流iμ、主磁通Φm和主磁路磁阻Rmc關(guān)系可以表示為等效磁化電感的形式:

值得注意的是如果主磁路非線性，磁化電感也是非線性的，但變壓器正常運(yùn)行時(shí)可以近似認(rèn)為不變。磁化電流的變化正好滿足

由此說明，磁化電流支路可以用磁化電感與一次側(cè)主電勢(shì)e1m并聯(lián)表示。

維持變壓器鐵芯損耗不變，用等效鐵耗電阻表示鐵耗電流分量。則鐵耗電流分量為

式中，RFe為等效鐵耗電阻，IFe為等效鐵耗電流有效值，E1m為一次側(cè)繞組主磁場(chǎng)感應(yīng)電功勢(shì)有效值。

由此獲得鐵耗電流支路可以用鐵耗電阻與一次側(cè)主電勢(shì)并聯(lián)表示。

圖3和方程(5)的激磁電流源用鐵耗電流與磁化電流分量表示，正好用鐵耗電阻和磁化電感并聯(lián)的無源電路元件替代，得到圖4所示的等效電路。

圖4 基于理想變壓器的等效電路

如果圖4中所有電量都是以同一角頻率ω正弦規(guī)律變化的，那么可以表示成相量的形式。其中電感用電抗表示:X1σ= ωL1σ，X2σ= ωL2σ;激磁支路的并聯(lián)鐵耗電阻和磁化電感分別用激磁電導(dǎo)Gm=1/RFe，激磁電納Bm=1/ωLμ來表示?；诶硐胱儔浩鞯南嗔康刃щ娐啡鐖D5所示。

圖5 基于理想變壓器的相量等效電路

最后，將圖4中的理想變壓器消除，可以得到折算到一次側(cè)或二次側(cè)的T型等效電路。利用理想變壓器的阻抗變換特性，將二次側(cè)漏阻抗Z2=R2+jX2乘以變比平方折算到一次側(cè)=+=k2Z2，將二次側(cè)電壓乘以變比折算到一次側(cè)u'2=ku2，二次側(cè)電流除以變比折算到一次側(cè)=i2/k(其數(shù)值等于一次側(cè)電流的負(fù)載分量但方向相反)，變換后的等效電路如圖6所示。

圖6 變壓器的T型等效電路

4 結(jié)語

本文提出的基于電磁耦合模型推導(dǎo)等效電路的教學(xué)方法避免了直接用電磁場(chǎng)方法帶來教學(xué)上的困難，針對(duì)教學(xué)課時(shí)數(shù)緊張的現(xiàn)狀，能起到事半功倍的教學(xué)效果。本文講解繞組折算可以讓學(xué)生直觀地比較電磁場(chǎng)方法與電路和磁路相結(jié)合方法，其結(jié)果是一致的。這種教學(xué)也適合“電機(jī)學(xué)”課程中其它類型變壓器的教學(xué)過程。

［1］ 許實(shí)章，電機(jī)學(xué)［M］，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，1982年

［2］ 周順榮，電機(jī)學(xué)［M］，北京，科學(xué)出版社，2007年