王 悅

（銅陵學(xué)院電氣工程系 安徽 銅陵 244000）

關(guān)于撞擊的首次科學(xué)上的研究，可追溯到1668年Kozlov［1］提出的碰撞理論，而碰撞恢復(fù)系數(shù)e是表征碰撞前后運動狀態(tài)變化的重要參數(shù).牛頓于1687年提出了通常的撞擊行為往往既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞.初始動能的損失可通過恢復(fù)系數(shù)e的引入來實現(xiàn)

其中下標(biāo)1和2分別表示撞擊物和被撞擊物，而i和f分別表示初始（initial）狀態(tài)和最終（final）狀態(tài).e是個無量綱的系數(shù)，其值介于零和1之間，e為零對應(yīng)于完全彈性狀態(tài)，e為1對應(yīng)于完全非彈性狀態(tài).這是經(jīng)典力學(xué)中采用速度描述恢復(fù)系數(shù)的方法.

1 絕對恢復(fù)系數(shù)e的質(zhì)疑

文獻(xiàn)［2～5］對物體碰撞以及恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行了有益的探討，其中文獻(xiàn)［2］定義了一個物理量 ——絕對恢復(fù)系數(shù)，文獻(xiàn)［5］針對它提出了質(zhì)疑，文獻(xiàn)［2］定義絕對恢復(fù)系數(shù)如下：一個物體的絕對恢復(fù)數(shù)等于它與一個完全彈性體發(fā)生互碰時，分離速度對接近速度的比值.經(jīng)過較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推演，得到了兩個物體的共同恢復(fù)系數(shù)e與各自的絕對恢復(fù)系數(shù)e1和e2的關(guān)系為

同時，還指出：公式（2）、（3）的形式極其簡潔、美觀，但實踐是檢驗真理的標(biāo)準(zhǔn).以鉛、鐵為例，由文獻(xiàn)［6］查得，鉛 －鉛恢復(fù)系數(shù)e1共＝0.2，鐵 －鐵恢復(fù)系數(shù)e2共＝0.66，代入式（2）計算得到鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)為0.363，文獻(xiàn)［6］給出值為0.14，它是實際鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)的2.6倍.理論與實際相差如此之大，使人們不得不重新考察理論的正確性.并且指出，如果有問題，只能出在物理上，其中絕對恢復(fù)系數(shù)是否存在唯一問題，是一個重要因素.

這里，我們先不討論絕對恢復(fù)系數(shù)是否存在，對于上述，文獻(xiàn)［5］根據(jù)文獻(xiàn)［2］經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)之后得到的公式（2）、（3），仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)其中的矛盾.現(xiàn)在我們假定，兩個物體的共同恢復(fù)系數(shù)e與各自的絕對恢復(fù)系數(shù)e1和e2的關(guān)系式（2）正確，由對應(yīng)關(guān)系推廣到絕對恢復(fù)系數(shù)應(yīng)該直接寫成

而 不是式（3）！那么再把鉛 －鉛恢復(fù)系數(shù)為e1共＝0.2，鐵 －鐵恢復(fù)系數(shù)e2共＝0.66，代入式（3）計算得到鉛 －鐵恢復(fù)系數(shù)為0.132，此值與實驗值0.14的相對誤差僅有5.7%.

這個結(jié)果說明文獻(xiàn)［2］的結(jié)論對實驗還是有一定的指導(dǎo)意義.當(dāng)然，文獻(xiàn)［5］中提出的兩不同材料的物體的恢復(fù)系數(shù)除了與它們自身的共同恢復(fù)系數(shù)（即同種材料的兩物體碰撞恢復(fù)系數(shù)）有關(guān)外，至少還應(yīng)該與它們各自的彈性模量有關(guān).此觀點也有一定的道理.而恢復(fù)系數(shù)究竟該如何定義？恢復(fù)系數(shù)本身和哪些因素有關(guān)呢？以下我們將做進(jìn)一步的探討.

2 恢復(fù)系數(shù)幾種定義的討論

我們對恢復(fù)系數(shù)的幾種定義作進(jìn)一步討論.最初碰撞的恢復(fù)系數(shù)是由Newton引入的，正如我們前面提到的式（1）.他把碰撞前后法向分離速度與接近速度的比值定義為恢復(fù)系數(shù)e，由于這種定義在推廣到一般性剛體碰撞時的局限性，于是出現(xiàn)了Poisson及Stronge對恢復(fù)系數(shù)的重新定義.Poisson將碰撞的過程分為壓縮變形階段及恢復(fù)變形階段，恢復(fù)系數(shù)e被定義為恢復(fù)階段的法向沖量與壓縮階段的法向沖量之比，而Stronge則定義為恢復(fù)階段所釋放的彈性應(yīng)變能與壓縮階段所吸收的彈性應(yīng)變能之比.三種定義的比較我們用下面的表1表示出來.

表1三種恢復(fù)系數(shù)定義的比較

已經(jīng)證明，這些不同形式的恢復(fù)系數(shù)之間是有分歧的，僅在一定條件之下才能取得一致，從碰撞作用的特點來看，沖量比形式的定義較為可行，但更為直觀的是速度比形式，因為碰撞是以速度突變的形式表現(xiàn)出來的，而能夠直接測定的也只是速度；能量比形式在涉及能量轉(zhuǎn)化的問題中有用.但是，速度、能量都和參考系的選擇有關(guān)，不如碰撞沖量那樣不隨參考系而變.因此，速度比和能量比形式的恢復(fù)系數(shù)定義，不如沖量比形式簡明.這就是大家傾向于采用后者的原因之一，至少在研究宏觀物體的碰撞時是這樣的，當(dāng)固體以光滑面相接觸而沿公法線方向發(fā)生正碰撞時，可以把恢復(fù)系數(shù)定義為碰撞第一階段和第一階段中兩物體的碰撞點間相對速度變化量大小之比，或這兩階段中碰撞沖量的大小之比，或這兩階段中系統(tǒng)動能變化量大小之比取其平方根，這三者是完全一致的，甚至在物體進(jìn)行著最一般運動的光滑的斜碰撞中，也可以證明這三個定義的等效性仍然成立.

仔細(xì)研究這三種定義，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點是都將恢復(fù)系數(shù)看作為只與材料有關(guān)的常數(shù).但是，大量的實驗表明：恢復(fù)系數(shù)不是僅僅依賴于材料的一種固有屬性，它還與摩擦、撞擊物和被撞擊物的材料、接觸面的幾何性質(zhì)以及碰撞的位形、初始速度等因素有關(guān)［7］.在理論研究時，這三種定義是等同的；在工程中，一定要考慮到實際過程中的各種因素，這時三種定義都要做一定的修正.

3 結(jié)語

由上討論可以知道，考慮到摩擦、撞擊物和被撞擊物的材料、接觸面的幾何性質(zhì)以及碰撞的位形、初始速度等因素時，恢復(fù)系數(shù)不是僅僅依賴于材料的一種固有屬性.而我們得到的式（3）中的“絕對恢復(fù)系數(shù)”是做了很大近似處理之后的結(jié)論，它可以作為處理一般的物體與物體之間發(fā)生碰撞時恢復(fù)系數(shù)的估算公式，更為精確的結(jié)果還是要依靠實驗測量.希望我們的討論，對今后恢復(fù)系數(shù)的認(rèn)識和研究有一定的指導(dǎo)作用.

1 Kozlov，Valerii V.and Treshchёv，Dmitrii V.Billiards：A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts.American Mathematical Society，1991

2 康垂令.關(guān)于恢復(fù)系數(shù)e的討論.大學(xué)物理，1997，16（12）：18～20

3 王長春.從能量的角度討論兩體碰撞問題.大學(xué)物理，2005，24（9）：18～19

4 吳紅燕，于鳳軍.從彈性勢能儲能系數(shù)出發(fā)討論兩光滑小球的斜碰問題.大學(xué)物理，2007，26（2）：11～12

5 于鳳軍，賈栓穩(wěn).對絕對恢復(fù)系數(shù)的質(zhì)疑.大學(xué)物理，2007，26（12）：16～17

6 南京工學(xué)院，西安交通大學(xué).理論力學(xué)（下）.北京：人民教育出版社，1979.184

7 Goldsmith W.Impact.Edward Arnold Publishers Ltd.London，1960.262