郝一江

(1.華中科技大學(xué)哲學(xué)系，武漢 430074;2.中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所，北京 100732)

一、數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式轉(zhuǎn)換

19世紀(jì)微積分的算術(shù)化導(dǎo)致集合論的建立，從而形成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派:邏輯主義、形式主義與直覺主義，進(jìn)而引發(fā)了更為普遍的哲學(xué)思潮。以邏輯實證主義為代表的分析哲學(xué)運動主張，邏輯是哲學(xué)的唯一合法的研究領(lǐng)域，形而上學(xué)問題源于語言的誤用，沒有任何意義而應(yīng)當(dāng)從哲學(xué)中清除出去，數(shù)學(xué)哲學(xué)成為數(shù)學(xué)語言的邏輯分析，成為關(guān)于數(shù)學(xué)語言的邏輯句法學(xué)與邏輯語義學(xué)。20世紀(jì)30年代哥德爾不完全性定理的提出，從邏輯上闡明了對于數(shù)學(xué)語言的邏輯分析無法完全封閉形成自我滿足的有限世界，數(shù)學(xué)語言除了具有邏輯的維度還有存在的維度，邏輯分析必須參照存在建構(gòu)才能說明自身，否則就會陷入無窮回歸，這樣打開了結(jié)構(gòu)主義根據(jù)集合論語言建構(gòu)數(shù)學(xué)存在的邏輯之門。20世紀(jì)60年代奎因揭示了經(jīng)驗主義的兩個教條，重新點燃人們對于本體論的哲學(xué)興趣?？蜿U明存在就是作為約束變元的取值，提供了切入本體論問題的語言途徑，通過語言的途徑進(jìn)入存在問題，結(jié)構(gòu)主義完成了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式轉(zhuǎn)換，進(jìn)而興起了不同類型的結(jié)構(gòu)主義學(xué)派:集合論結(jié)構(gòu)主義、范疇論結(jié)構(gòu)主義、模態(tài)結(jié)構(gòu)主義。三大學(xué)派通過語言的途徑把數(shù)學(xué)哲學(xué)引向意義與真理的探討，并通過語言的途徑把數(shù)學(xué)哲學(xué)引向數(shù)學(xué)對象的存在建構(gòu)。

從19世紀(jì)末以來，代數(shù)、拓?fù)?、幾何、?shù)論、微分方程等數(shù)學(xué)分支都非常明顯地采用了結(jié)構(gòu)主義的方法:常常使用公理化方法來研究對象(群、數(shù)域、空間)的結(jié)構(gòu)化的總體特性以及對象間的映射與同構(gòu)。作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的結(jié)構(gòu)主義在20世紀(jì)成為主導(dǎo)數(shù)學(xué)的研究方法，在抽象代數(shù)、拓?fù)?、實分析和?fù)分析中表現(xiàn)得尤為明顯。從總體上看，數(shù)學(xué)都一直若隱若現(xiàn)地顯示出結(jié)構(gòu)主義的特征，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)方法激發(fā)了哲學(xué)界對結(jié)構(gòu)主義的興趣［1－4］。

結(jié)構(gòu)主義體現(xiàn)并且強(qiáng)化了數(shù)學(xué)的這種自然傾向，數(shù)學(xué)從而更關(guān)注對象之間的關(guān)系而非對象本身的性質(zhì)。高斯認(rèn)為:數(shù)學(xué)是關(guān)于關(guān)系的科學(xué)，從關(guān)系中可以抽象出任何概念。彭加勒亦指出:數(shù)學(xué)家不是研究對象，而是研究對象之間的關(guān)系［5］。狄德金則認(rèn)為，每個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都是以集合、運算和關(guān)系的系統(tǒng)為基礎(chǔ)，而且同構(gòu)的概念與結(jié)構(gòu)的類型有關(guān)［6］。

關(guān)系與其依附的所有個體共同組成結(jié)構(gòu)，這些個體可以被看成是結(jié)構(gòu)的背景與載體，根據(jù)背景的不同可以區(qū)分結(jié)構(gòu)主義的基本類型。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義包括以下基本類型:(1)集合論結(jié)構(gòu)主義(set-theoretic structuralism)，主要利用模型論描述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的相互關(guān)系。(2)自我依存結(jié)構(gòu)主義(sui generis structuralism)，該理論認(rèn)為結(jié)構(gòu)是由“位置”組成的共相，它所表示的關(guān)系由公理系統(tǒng)間接給出。(3)模態(tài)結(jié)構(gòu)主義(modalstructuralism)，它利用論域的二階邏輯可能性與適當(dāng)關(guān)系，通過類型公理系統(tǒng)給出所滿足的隱性定義條件［7］185。(4)范疇論結(jié)構(gòu)主義 (categorical structuralism)，認(rèn)為范疇論是把結(jié)構(gòu)主義作為數(shù)學(xué)哲學(xué)解釋的基本框架的一個方式［8］。

二、結(jié)構(gòu)主義的語言框架

為了得到清晰而精確的“結(jié)構(gòu)”與“結(jié)構(gòu)映射”的概念，數(shù)學(xué)或者求助于集合論，或者求助于模型論，而模型論可以看成集合論的一個分支。這樣，集合論就成為結(jié)構(gòu)主義重建數(shù)學(xué)的概念框架，也就因而成為結(jié)構(gòu)主義表述數(shù)學(xué)的基本語言，結(jié)構(gòu)主義之間的分歧可以歸結(jié)到對于集合論的不同處理方式［7］185。集合論容許使用約束變元指稱類、集合與關(guān)系，類、集合與關(guān)系可以作為個體加以量化，這樣就產(chǎn)生了對于這些抽象實體的實在性的哲學(xué)爭論。

集合論結(jié)構(gòu)主義原封不動地推廣集合論語言，認(rèn)為關(guān)系(集合)可以作為個體加以量化。然而，這種量化只是某種預(yù)設(shè)的本體論，關(guān)系(集合)仍然限于作為普遍的概念，本身沒有轉(zhuǎn)化成為真實的個體。換句話說，關(guān)系(集合)只是可以擁有個體的地位，而非已經(jīng)轉(zhuǎn)化成為真實的個體。這種身份與內(nèi)容的沖突在集合論語言中貫穿始終。集合論語言的本體論是預(yù)先的假定，關(guān)系(集合)作為個體缺乏真實的基礎(chǔ)，如果關(guān)系(集合)只是預(yù)先假定的偶然對象，那么整個數(shù)學(xué)都會受到威脅。這種威脅集中表現(xiàn)為真類問題與“累積分層(cumulative hierarchy)”問題［7］185－186。按照集合論語言，任何關(guān)系(集合)都能作為個體加以量化處理，任何對象都能在結(jié)構(gòu)中占有一個位置?？墒钦骖惒荒茏鳛檫M(jìn)一步聚合的元素。為了對于真類進(jìn)行量化處理必須引入超類，也就是建立在集合的分層“之上”的更加無休無止的分層的類，真超類的類似問題將會出現(xiàn)，這將導(dǎo)致超級超類等等，永無止境［7］186。在集合論結(jié)構(gòu)主義描繪的數(shù)學(xué)圖景中，真類是必不可少的環(huán)節(jié)，沒有真類的集合論甚至不能作為真實結(jié)構(gòu)的抽象模型。然而對于集合論結(jié)構(gòu)主義來說，真類只是根據(jù)簡單的定義而預(yù)先假定的必然存在，這就是說存在可能被推導(dǎo)出來，這種做法模糊了數(shù)學(xué)本體論與神學(xué)之間的界限［7］186－187。

自我依存結(jié)構(gòu)主義主張突破集合論的語言限制，任何謂詞都可以作為名詞加以對待，任何關(guān)系(集合)都可以通過空間轉(zhuǎn)化變成為獨立存在的實體。(1)這種理論首先認(rèn)為自然數(shù)結(jié)構(gòu)可由二階的皮亞諾—狄德金公理進(jìn)行隱性定義，并可被由對象形成的這些公理的任何系統(tǒng)所例證。自然數(shù)的結(jié)構(gòu)是一種柏拉圖式的抽象，一個共相、一個具體回答了“所有級數(shù)共同分有哪些東西”的模式，我們可以類似地討論實數(shù)、復(fù)數(shù)等的結(jié)構(gòu)［7］188。(2)自我依存結(jié)構(gòu)主義還認(rèn)為，公理可以直接用于說明結(jié)構(gòu)存在，這些公理是在二階語言的背景下加以表述的，而且它們大多相互關(guān)聯(lián);把一個反射模式添加到這些公理中會得到一些更大的結(jié)構(gòu)［7］188。(3)自我依存結(jié)構(gòu)主義同時認(rèn)為，由于關(guān)系(集合)可以通過空間化成為獨立個體，因此僅僅憑借協(xié)調(diào)性公理就可以確立結(jié)構(gòu)的存在。協(xié)調(diào)性公理是指，如果φ是二階語言中的一個協(xié)調(diào)的公式，那么存在一個滿足φ的結(jié)構(gòu)?？臻g化使得關(guān)系本身擁有質(zhì)料成為實體，不再借助集合論語言指稱的外部個體，協(xié)調(diào)性公理從此擺脫了集合論語言的不動的背景本體論［7］189。

范疇論結(jié)構(gòu)主義可以看成自我依存結(jié)構(gòu)主義的具體實現(xiàn)。按照這種理論，關(guān)系(集合)通過空間化轉(zhuǎn)化成為結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)不是普遍的概念而是真實的對象，具有同構(gòu)關(guān)系的結(jié)構(gòu)通過態(tài)射聯(lián)系起來，所有這些對象以及它們之間的態(tài)射形成范疇。一個范疇本質(zhì)上是帶有箭頭的一個圖，這些箭頭是一些對象之間的態(tài)射(morphisms)［6］。關(guān)系、聯(lián)絡(luò)(connection)、性質(zhì)、運算等概念都包含在態(tài)射這一初始概念之下。因此，許多表面不同的現(xiàn)象可以用統(tǒng)一的方式來描述，并且在范疇論語言之下，這些概念可以輕易地進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換［11］。數(shù)學(xué)的主題是不變的形式，而不是由邏輯原子組成的數(shù)學(xué)對象的共相。范疇論為數(shù)學(xué)提供了一個替代集合論的自治基礎(chǔ)，若非如此，則S.Awodey關(guān)于“累積分層”的核心真理的公理化建議就不能得以實現(xiàn)［12］。范疇論本身能夠被公理化，結(jié)構(gòu)被當(dāng)作一個范疇的“對象”，結(jié)構(gòu)可以通過公理處理成單體或點，對象間的態(tài)射典型地保持了所討論的數(shù)學(xué)分支的“結(jié)構(gòu)性質(zhì)”特征。例如，等距保持了度量結(jié)構(gòu)，同態(tài)保持了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，微分同胚保持了微分流形結(jié)構(gòu)，等等。范疇自身在一個范疇中可以處理成對象，在初始范疇的映射中使態(tài)射(函子)結(jié)構(gòu)保持關(guān)系，甚至使函子的態(tài)射產(chǎn)生一個函子范疇［12］。在一個給定的結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)對象與結(jié)構(gòu)的指稱不能消去，因此語義實在論的范疇論解釋為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義提供了一個合理的解釋，同時避免了掉進(jìn)柏拉圖主義與唯名論的泥潭［13］。范疇論揭示出了邏輯與集合論的密切聯(lián)系，為抽象集合提供了一個結(jié)構(gòu)理論，容許邏輯與幾何之間出現(xiàn)令人吃驚的聯(lián)系，從而使得邏輯與數(shù)學(xué)能夠以更加統(tǒng)一的方式進(jìn)行處理［14］。

模態(tài)結(jié)構(gòu)主義堅持徹底的唯名主義，認(rèn)為關(guān)系(集合)不能占據(jù)個體的位置，關(guān)系(集合)不能擁有個體的身份，否則就給柏拉圖主義打開了大門。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義主張使用模態(tài)邏輯的語言取代集合論語言，通過使用初始的模態(tài)算子可以消去任何數(shù)學(xué)對象，包括結(jié)構(gòu)的任何指稱。對于二階邏輯可能性而言，還需要對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的任何量詞進(jìn)行精心布局，并且要對二階邏輯的概括原理進(jìn)行仔細(xì)限制，以避免介入可能的對象、類或者關(guān)系。僅僅以可數(shù)的無窮多個原子為基礎(chǔ)，并重復(fù)使用它們，可得到經(jīng)典的三階數(shù)論。如果我們假定原子的連續(xù)統(tǒng)的可能性，就可以得到完整的四階數(shù)論，從而實現(xiàn)對大量的拓?fù)?、測度論以及其他抽象數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)解釋。對象是為了抽象，而不是抽象對象［7］199，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義方法可以避免對集合論中的模型的過于依賴［9］。

三、結(jié)構(gòu)主義的哲學(xué)觀念

現(xiàn)在我們可以比較結(jié)構(gòu)主義的這些基本類型之間的相同與不同。在研究領(lǐng)域與提問方式上，所有這些結(jié)構(gòu)主義的研究綱領(lǐng)具有家族相似的特征，它們與20世紀(jì)上半世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派——邏輯主義、形式主義、直覺主義不同，它們關(guān)注的中心問題是數(shù)學(xué)語句的意義與真值這些邏輯問題。結(jié)構(gòu)主義這些學(xué)派，無論是根據(jù)什么樣的語言表述數(shù)學(xué)重建數(shù)學(xué)，它們心目之中的核心問題是數(shù)學(xué)對象是否存在、以什么樣的方式存在，以及在何種意義上存在這些本體論問題，可以認(rèn)為與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派相比，它們的研究綱領(lǐng)發(fā)生了范式轉(zhuǎn)換，它們的研究工作從數(shù)學(xué)語言的邏輯分析轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)存在的語言建構(gòu)?；蛘吒鶕?jù)集合論的語言進(jìn)行數(shù)學(xué)存在的建構(gòu)，認(rèn)為數(shù)學(xué)對象是在集合論語言的預(yù)先假定的意義上獲得存在;或者根據(jù)范疇論的語言進(jìn)行數(shù)學(xué)存在的建構(gòu)，范疇論的語言不但允許數(shù)學(xué)對象獲得個體的地位，而且通過關(guān)系的空間化使數(shù)學(xué)對象實際轉(zhuǎn)化成為真實的個體，進(jìn)而通過態(tài)射刻畫這些個體之間的同構(gòu)關(guān)系;或者根據(jù)模態(tài)邏輯的語言取消對于關(guān)系的指稱，而把存在的權(quán)利僅僅限制在外部世界的特殊事物上面，從而從語言上徹底取消數(shù)學(xué)對象存在的可能性。

結(jié)構(gòu)主義在數(shù)學(xué)本體論領(lǐng)域耕耘勞作，無論是建構(gòu)數(shù)學(xué)對象還是消除數(shù)學(xué)對象，它們面對的問題始終是數(shù)學(xué)對象的存在問題。面向存在問題是結(jié)構(gòu)主義發(fā)問的自然傾向，這種自然傾向集中體現(xiàn)在形形色色的結(jié)構(gòu)主義共同具有的兩個直覺觀念上。

結(jié)構(gòu)主義的第一個直覺觀念的基礎(chǔ)原則是:數(shù)學(xué)是通過或多或少的嚴(yán)格演繹方式而得到的對于結(jié)構(gòu)的可能性的探討。這就說明如果把“公理”理解成“定義條件”，從而得到結(jié)構(gòu)范疇的一個證明，那么就可以獲得關(guān)于結(jié)構(gòu)的有趣的結(jié)論，這體現(xiàn)了幾何、抽象代數(shù)，以及抽象空間的現(xiàn)代觀念。這點反過來也揭示出在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中二階邏輯概念的重要性，因為定義條件的一階翻譯不能表示數(shù)學(xué)的核心結(jié)構(gòu)，例如自然數(shù)結(jié)構(gòu)、實數(shù)、復(fù)數(shù)，以及累積集合論分層的初始部分［9］。

結(jié)構(gòu)主義的第二個直覺觀念的基礎(chǔ)原則可以追溯到德國數(shù)學(xué)家狄德金，這一原則引起了哲學(xué)家與邏輯學(xué)家的廣泛關(guān)注。這個原則就是:在數(shù)學(xué)的相關(guān)領(lǐng)域中，重要的不是特殊對象，而是某種“結(jié)構(gòu)”的性質(zhì)與關(guān)系，個體數(shù)學(xué)對象的同一性依賴于這種結(jié)構(gòu)關(guān)系，亦即依賴于結(jié)構(gòu)中的“相對位置”。在一定條件下，通過特殊的構(gòu)造或者定義(例如通過收斂有理序列)可以恢復(fù)這種結(jié)構(gòu)，通過關(guān)注一個特殊的構(gòu)造，可以對于單個詞項(例如序列)進(jìn)行公設(shè)，當(dāng)我們恢復(fù)這種結(jié)構(gòu)之后，我們僅僅可以把這種公設(shè)看作是對一個實數(shù)的公設(shè)。從狄德金以來，人們已經(jīng)清楚地發(fā)現(xiàn)這樣的一個事實:數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是由對象以及對象間的映射形成的系統(tǒng)決定的，而不是由孤立看待的數(shù)學(xué)對象的任何具體特征決定，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)方法很大程度上是由對于映射(系統(tǒng))的日益關(guān)注體現(xiàn)出來的，數(shù)學(xué)對象是由它們的“容許變換”決定［14］。

結(jié)構(gòu)主義的不同學(xué)派之所以根據(jù)不同的語言重建數(shù)學(xué)，是因為它們對于數(shù)學(xué)對象的存在性具有不同的理解。語言的不同背后就是哲學(xué)概念的根本分歧，可以說選擇不同的語言其實就是再現(xiàn)了柏拉圖主義與唯名主義的古老爭論。結(jié)構(gòu)主義的核心思想認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的同構(gòu)關(guān)系的演繹科學(xué)，因此數(shù)學(xué)對象只不過是“結(jié)構(gòu)中的位置”，數(shù)學(xué)理論的目的是把這種對象描述到同構(gòu)中去。在哲學(xué)概念層面，對結(jié)構(gòu)主義的解釋主要有兩種:一種是遵循柏拉圖主義的先物(ante rem)結(jié)構(gòu)主義，另一種則是更多地與唯名論相吻合的在物(in re)結(jié)構(gòu)主義。先物結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)對象就是結(jié)構(gòu)中的位置，數(shù)學(xué)對象的指稱要求結(jié)構(gòu)本身“獨立存在于能夠例證它們的任何系統(tǒng)”［15］。在物結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為:可通過把關(guān)于數(shù)學(xué)對象的命題作為關(guān)于特定類型結(jié)構(gòu)的普遍命題，從而消去數(shù)學(xué)對象與結(jié)構(gòu)的指稱［12］。

先物結(jié)構(gòu)主義者認(rèn)為結(jié)構(gòu)在我們研究中是以合法對象的身份存在的，一個給定的結(jié)構(gòu)獨立于能夠例證它的任何系統(tǒng)。例如，在一個結(jié)構(gòu)中，數(shù)字是指稱真實對象的真實的單稱詞項，這些對象就是位置。在物結(jié)構(gòu)主義者認(rèn)為算術(shù)命題不能簡單看作是關(guān)于對象的特殊聚合的命題，算術(shù)命題是對某種類型的所有系統(tǒng)的概括。因此，在物結(jié)構(gòu)主義反對把這種數(shù)學(xué)對象或結(jié)構(gòu)當(dāng)作真正的對象［10］。

集合論結(jié)構(gòu)主義與自我依存結(jié)構(gòu)主義的對比，實際上是在柏拉圖主義的本體論與模態(tài)語言的唯名主義之間進(jìn)行權(quán)衡。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為，集合論結(jié)構(gòu)主義、自我依存結(jié)構(gòu)主義與范疇論結(jié)構(gòu)主義是在無模態(tài)的語言中設(shè)計的，它們會陷入諸多矛盾中，比如，集合、范疇和論域被看作是現(xiàn)實部分，因而導(dǎo)致了關(guān)于它們的特征的永久爭論。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義避免了這種抽象，至少在它的初始階段是這樣(比如，在重構(gòu)集合論之前對數(shù)系統(tǒng)的處理就可以避免這種抽象)，并提出了模態(tài)唯名論的框架可以表示大量的普通數(shù)學(xué)。為此，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義需要建立適中的模態(tài)存在公設(shè)，對不少數(shù)學(xué)而言，僅僅可數(shù)多個原子需要進(jìn)行公設(shè)，對更多的數(shù)學(xué)，包括許多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與流形，不可數(shù)多個原子需要公設(shè)，不過這種需要不能夠超過唯名論的范圍［9］。

集合論結(jié)構(gòu)主義和自我依存結(jié)構(gòu)主義的對比，以及集合論結(jié)構(gòu)主義與模態(tài)結(jié)構(gòu)主義的對比關(guān)系到把大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)整合到各自的框架中，而這些框架僅僅依賴于現(xiàn)實的豐富性。對于模態(tài)結(jié)構(gòu)主義，我們可以發(fā)展一種集合論或者范疇論的模態(tài)結(jié)構(gòu)解釋方案，然后相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成簡單的模型論框架或者范疇論框架進(jìn)行相應(yīng)處理。同時，我們可以為這種結(jié)構(gòu)尋找一種直接的理論解釋，從而避免集合論支持的范圍太寬泛。從本體論的觀點看，這種理論解釋將面臨描述不同類型結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系的挑戰(zhàn)，其中一些關(guān)系可由模型論框架與范疇論框架進(jìn)行處理。如果這種直接的理論解釋獲得成功，那么結(jié)構(gòu)主義將能夠獨立于集合論而存在［9］。

四、結(jié)構(gòu)主義的發(fā)展趨勢

隨著存在論題回歸人們的視野，結(jié)構(gòu)主義的種種實踐逐漸成為數(shù)學(xué)哲學(xué)的成長源泉。這并不是說意義與真理問題完全淡出人們的視野，實際上，結(jié)構(gòu)主義對于數(shù)學(xué)存在的語言建構(gòu)正是建立在基礎(chǔ)研究三大學(xué)派的基礎(chǔ)之上的，邏輯主義、形式主義、直覺主義為結(jié)構(gòu)主義提供了建構(gòu)數(shù)學(xué)對象的語言框架，這種框架特別體現(xiàn)在集合論結(jié)構(gòu)主義與模態(tài)結(jié)構(gòu)主義的工作之中，它們的工作保障了結(jié)構(gòu)主義的本體論建構(gòu)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯研究之間的密切聯(lián)系，成為溝通邏輯學(xué)與本體論兩大研究領(lǐng)域的必要環(huán)節(jié)。在這個背景下，范疇論結(jié)構(gòu)主義工作的原創(chuàng)性與前瞻性就凸現(xiàn)了出來，范疇論徹底突破了邏輯語言的束縛，創(chuàng)造了全新的本體論語言，從而使得存在建構(gòu)能夠像邏輯建構(gòu)那樣成為嚴(yán)格的科學(xué)，并且通過集合論與邏輯語言保持密切聯(lián)系，這樣就使得古代樸素的本體論研究提升到語言建構(gòu)的全新境界。一方面為語言注入了存在的內(nèi)涵，另一方面把存在提升到語言的境界?？梢灶A(yù)見，范疇論結(jié)構(gòu)主義會成為結(jié)構(gòu)主義的主要發(fā)展方向，它的一舉一動將會影響到其他學(xué)派的具體工作。它一方面落實了柏拉圖主義關(guān)于概念可以成為個體的信念，另一方面深入到現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的最新前沿，讓柏拉圖主義的信念充滿浩瀚深邃的數(shù)學(xué)海洋。

C.McLarty認(rèn)為，范疇論本身是一個可以適用于多種結(jié)構(gòu)的普遍理論，每一個具體的范疇基礎(chǔ)都提供了各種相當(dāng)強(qiáng)的存在公理，當(dāng)我們談?wù)摗凹瞎怼钡臅r候都或多或少地是指，這些公理是針對某個潛在的基礎(chǔ)理論而言的［13］。S.Awodey認(rèn)為，把集合論轉(zhuǎn)換成拓?fù)渌估碚摰哪康氖?，說明像拓?fù)渌惯@樣的范疇可以處理大量的能夠在集合論中處理的數(shù)學(xué)，這種轉(zhuǎn)換不是說明拓?fù)渌估碚撌且粋€新的普遍的“基礎(chǔ)系統(tǒng)”，只不過是想用拓?fù)渌估碚搧泶婕险摱眩?1］。范疇論結(jié)構(gòu)主義可以通過下面的方式來描述:在內(nèi)容上強(qiáng)調(diào)形式，在構(gòu)造上強(qiáng)調(diào)描述，在演繹基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)對假設(shè)的約定，在具有這些性質(zhì)的對象的成分上強(qiáng)調(diào)對本質(zhì)的特征化。也就是說，這些基本觀點是建立在特殊的基礎(chǔ)系統(tǒng)之內(nèi)的，并建構(gòu)在具體的數(shù)學(xué)對象的觀念之上，其具體的方式如下:(1)存在足夠多的對象來表示日常數(shù)學(xué)中的數(shù)、空間、群、流形，等等;(2)存在足夠多的定律、規(guī)則與公理，保證關(guān)于這些數(shù)學(xué)對象的所有普通推理與論證，至少存在某些能夠處理系統(tǒng)本身特征的明顯的命題［11］。

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