劉菊芬，田朗華，吳 芳

（ 銅仁學(xué)院 教育科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.A斯托利亞爾在他著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“閱讀函數(shù)圖像的技能是專門教學(xué)的結(jié)果”，他還指出“函數(shù)圖像實(shí)質(zhì)是一種特殊的語言，為了明白它的意義，必須象對待所有語言一樣，專門地進(jìn)行學(xué)習(xí)”[1]。閱讀函數(shù)圖像是指通過對函數(shù)圖像的觀察研究，認(rèn)識、理解函數(shù)的單調(diào)性、極值、零值、正值、負(fù)值、對稱性、定義域、值域等函數(shù)性質(zhì)，并能用正確簡潔的語言把性質(zhì)表達(dá)出來，能用函數(shù)性質(zhì)、圖像解決有關(guān)問題。函數(shù)圖像是數(shù)學(xué)中一種特定的符號語言，要理解這種符號語言——函數(shù)圖像所承載的數(shù)學(xué)信息，需要一定的數(shù)學(xué)技能。國內(nèi)專家認(rèn)為，數(shù)學(xué)技能是通過實(shí)際操作獲得經(jīng)驗(yàn)而逐漸形成的能完成數(shù)學(xué)活動的一種動作方式，它需要通過練習(xí)才能掌握。國內(nèi)學(xué)者專家對地理教學(xué)的讀圖問題研究較多，研究數(shù)學(xué)教學(xué)中的讀圖問題多數(shù)以小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中的讀圖問題為研究對象，對中學(xué)函數(shù)讀圖問題的研究較少，本文在分析中學(xué)基本初等函數(shù)教學(xué)中讀圖教學(xué)存在的問題的基礎(chǔ)上，提出了函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生讀圖能力的對策。

1．基本初等函數(shù)教學(xué)中讀圖教學(xué)現(xiàn)狀

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)入高一級學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的主要內(nèi)容之一，也是高考考查的重要內(nèi)容?；境醯群瘮?shù)是函數(shù)中最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容，因此學(xué)好基本初等函數(shù)是學(xué)好函數(shù)其它內(nèi)容的前提和基礎(chǔ)。然而很多老師對基本初等函數(shù)常常按概念、作圖、性質(zhì)的順序進(jìn)行教學(xué)；引入概念時一字一句地解釋其意義，然后畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)圖像歸納出函數(shù)性質(zhì)。教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生認(rèn)為基本初等函數(shù)概念抽象、難理解、學(xué)不懂。函數(shù)是量與量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系可用數(shù)學(xué)式子、表格或圖像表示，這三種表達(dá)方式在表示函數(shù)關(guān)系及運(yùn)用時各有優(yōu)勢，其中用圖像表示函數(shù)的優(yōu)勢是“能直觀形象地表示函數(shù)的變化情況”。函數(shù)圖像是以自變量取值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，因此這些點(diǎn)的集合即函數(shù)圖像可以反映出函數(shù)的許多信息，是函數(shù)性質(zhì)的直觀表示，用函數(shù)圖像來研究函數(shù)可以把復(fù)雜、抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡單、直觀形象的問題，是降低抽象性以促進(jìn)對函數(shù)理解的重要途徑。懷特海指出：“術(shù)語和符號的引入，往往是為了理論的易于表述和解決問題。特別是在數(shù)學(xué)中，只要細(xì)加分析，即可發(fā)現(xiàn)符號化給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來極大的方便，甚至是必不可少的?！钡珡膶W(xué)生在學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)卻很難看到函數(shù)圖像對函數(shù)學(xué)習(xí)帶來的方便和幫助，究其原因是部分教師教學(xué)中重視作圖，但對讀圖的意義、價值認(rèn)識不足，忽視對函數(shù)圖像的解讀；認(rèn)為函數(shù)圖像一目了然、顯而易見，對讀圖采取一帶而過的方式，導(dǎo)致學(xué)生讀圖意識弱、讀圖能力不強(qiáng)，不能較好地掌握從函數(shù)圖像得出其性質(zhì)，用圖像解決問題的意識淡薄，使函數(shù)圖像存在的意義、價值大打折扣，圖像功能不能最大化利用。其實(shí)，函數(shù)讀圖看似淺顯但道理并不簡單，要正確理解圖意需要專門的知識與訓(xùn)練，讀圖是直觀理解函數(shù)的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本功，一種基本能力?？梢?，讀圖問題不僅影響基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)，還影響函數(shù)其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2．提高學(xué)生讀圖能力的對策措施

2．1．明確讀圖在函數(shù)教學(xué)中的地位和作用

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“要培養(yǎng)學(xué)生直接從圖中搜集、分析和處理信息的能力”。心理學(xué)研究顯示，人的一切行為都是有目的的。教學(xué)中清楚為什么教比明白教什么、如何教更有意義；從為什么教的角度去考慮教什么、如何教，使教學(xué)更具針對性和目的性。雖然基本初等函數(shù)的描點(diǎn)作圖法、從圖像得出性質(zhì)的做法都有失嚴(yán)謹(jǐn)，但人的認(rèn)知特點(diǎn)就是從初級到高級、從不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)絿?yán)謹(jǐn)，因此在函數(shù)學(xué)習(xí)初期即學(xué)基本初等函數(shù)時，描點(diǎn)作圖及從圖像得出性質(zhì)的做法是符合認(rèn)知規(guī)律的，也是科學(xué)合理的，是學(xué)習(xí)中不可缺少的過程?；境醯群瘮?shù)的讀圖教學(xué)是教學(xué)生如何根據(jù)基本初等函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)，養(yǎng)成用圖像解決問題的習(xí)慣與能力，使更多學(xué)生能通過圖像直觀地理解函數(shù)的概念與性質(zhì)，提高學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，改善函數(shù)教學(xué)的效果。

如今，信息技術(shù)在教學(xué)中廣泛運(yùn)用，使許多在過去的教學(xué)中靠想象實(shí)現(xiàn)的東西變得可視。從而使一些問題的處理方法，從分析法轉(zhuǎn)化為分析與直觀相結(jié)合的方法，無疑這種改變使教學(xué)內(nèi)容更容易被學(xué)生接受，但是伴隨這種轉(zhuǎn)變的是對學(xué)生從圖像中讀出相關(guān)信息的能力要求更高了，這也是在函數(shù)教學(xué)中加強(qiáng)讀圖能力培養(yǎng)的原因之一，因?yàn)檫@不僅能促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)理解，也是培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)代社會學(xué)習(xí)能力的一種措施。

2．2．教學(xué)中提供讀圖示范

美國數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)的途徑就是模仿和實(shí)踐，而模仿需要有榜樣，教學(xué)中教師要為學(xué)生提供可供模仿的例子與榜樣，模仿的目的是為了實(shí)踐。”[2]函數(shù)讀圖是一種數(shù)學(xué)技能。要培養(yǎng)這種技能，教師就要在基本初等函數(shù)教學(xué)中有意識、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)圖像所包含的數(shù)學(xué)信息。還要讓學(xué)生明白，函數(shù)圖像不同于生活中的其它圖像（如比例圖中的圖形，代表某種實(shí)物，沒有數(shù)學(xué)意義），讀懂圖形語言需要一些數(shù)學(xué)常識，如函數(shù)定義域?yàn)?a,b)時，在區(qū)間兩端點(diǎn)沒有圖像； x1﹤x2時f(x1) ﹤ f(x2)在圖像上意味著什么等等。了解函數(shù)圖像的產(chǎn)生過程：函數(shù)圖像是滿足函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的集合。對于沒有意義的點(diǎn)附近（如 y = t anx在x=π2附近）及無窮遠(yuǎn)處（如 y = 2x在時）的圖像，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式及已經(jīng)畫出的圖像，用想象力在大腦中完成。為了讓學(xué)生了解如何讀圖，設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生參與教學(xué)活動，在操作中體會讀圖的方法、步驟。如學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，給出指數(shù)函數(shù)的定義，然后請學(xué)生畫出指數(shù)函數(shù) y =2x、 y = 3x的圖像，觀察研究兩個圖像的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，回答下列問題：（1）圖像在橫軸上方或是下方? 圖像都過哪一點(diǎn)？（2）x ﹥ 0 時，對應(yīng)的函數(shù)圖像有何特征？當(dāng)x取正值且不斷變大時對應(yīng)的函數(shù)值變化趨勢如何？（3）x﹤ 0 時，對應(yīng)的函數(shù)圖像有何特征？當(dāng)x取負(fù)值但絕對值不斷變大時對應(yīng)的函數(shù)值變化趨勢如何？（4）當(dāng) x → 0 時，對應(yīng)的函數(shù)值變化趨勢如何？通過這些問題有序地、全面地引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，不僅觀察已經(jīng)畫出來的圖像還觀察沒有畫出來的部分，使得對函數(shù)情況有一個較全面的認(rèn)識。對上述問題進(jìn)行歸納總結(jié)，得出底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域是R；值域?yàn)?0,+ ∞ )；圖像過點(diǎn)(0,1)；是增函數(shù)即自變量越大時相應(yīng)的函數(shù)值越大。這樣的讀圖不僅對函數(shù)有一個較全面的了解，也為學(xué)習(xí)函數(shù)極限打下了基礎(chǔ)。

又給出問題比較 34/5, 35/6的大小，有的學(xué)生思考后提出用根式的性質(zhì)來做，在用根式性質(zhì)作出解答后，老師再提出能否把這兩個數(shù)看成函數(shù) y = 3x在x = 4 /5,x = 5 /6時的函數(shù)值，于是把問題轉(zhuǎn)化為用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解決。根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系作出 y = l og3x的圖像，列出問題要求學(xué)生根據(jù)圖像回答，歸納出底數(shù)大于1時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。這些都是在教師主導(dǎo)下、學(xué)生參與的教學(xué)活動，這樣的活動有助于培養(yǎng)學(xué)生重視函數(shù)讀圖、用圖像解決問題的習(xí)慣與能力；拓寬學(xué)生解決問題的思路、提高解題能力，還將體會到函數(shù)圖像貌似簡潔直觀，其實(shí)隱藏著眾多的信息，需要用專業(yè)的眼光，刻意去體會、挖掘。遺憾的是有的教師以為從圖像得出函數(shù)性質(zhì)是顯然的，沒有必要就圖像多作解釋，于是圖像一出來，三言兩語后函數(shù)性質(zhì)便一一羅列出來，這樣的處理是導(dǎo)致部分學(xué)生在基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)問題的最主要原因。

教學(xué)中有的知識是顯性的，它容易引起關(guān)注重視；而有的知識是隱性的，常被忽略，只有遇到問題時才會想到它的存在和重要?！帮@”與“隱”是相對的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化；函數(shù)教學(xué)中圖像是“顯”的，而圖像蘊(yùn)含的性質(zhì)是“隱”的，從圖像發(fā)掘函數(shù)性質(zhì)就成了把“隱”化“顯”。研究顯示，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在已掌握的知識、技能的基礎(chǔ)上遷移或建構(gòu)的過程，任何知識、技能的缺失都會影響遷移和建構(gòu)，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)效果。學(xué)生由于認(rèn)知方式、認(rèn)知能力的差異對同一問題的看法難免不同，對某些學(xué)生顯然的東西對其它學(xué)生可能不顯然，學(xué)生學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)興趣的差異是客觀存在的。教學(xué)中不能把一切基礎(chǔ)的東西視為顯然，細(xì)節(jié)決定成敗，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)問題并以此為學(xué)生作示范，讓學(xué)生了解、學(xué)習(xí)如何解讀函數(shù)圖像。宋乃慶等指出：“教師不再只是一個課程知識的被動傳遞者，而是一個主動的調(diào)適者、研究者和創(chuàng)造者”[3]。

2．3．加強(qiáng)讀圖練習(xí)

物理學(xué)家李希坦伯格指出：“那些曾使你不得不親自動手發(fā)現(xiàn)了的東西，會在你腦海中留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運(yùn)用它?！辈ɡ麃唽Υ擞蓄愃频恼撌觯骸爸灰?jīng)過了你自己的體驗(yàn)，那么它對你來講就可以成為一種楷模，當(dāng)你在碰見別的類似的問題時，它就是可供你仿照的模型?！盵2]大師們的忠告提醒我們，學(xué)生只聽課而不動手做一做，對課堂上看到的聽到的東西是很難理解掌握的，不去實(shí)踐體驗(yàn)是不能真正掌握知識的。讀圖技能僅僅靠看是掌握不了的，需要在實(shí)際操作中學(xué)習(xí)；不同背景下的操作可以促進(jìn)技能的掌握，教學(xué)中設(shè)計(jì)一些練習(xí)讓學(xué)生通過實(shí)踐操作去學(xué)習(xí)、感受、體會不同函數(shù)類型圖像的解讀。例如：作 y =0.5x、y=0.3x的圖像，根據(jù)圖像歸納出底數(shù)大于0小于1時，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小： 0 .53/4、 0 .54/5；若(3/5)x= 2 ，其中的x取正值還是負(fù)值；作y = l og0.3x,y = l og0.5x 的圖像，歸納出底數(shù)大于0小于 1時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較下列各組數(shù)的大?。簂og35,log37；cos57°,cos58°；arcsin0.6,arcsin0.61；用 函 數(shù) 圖 像 解 不 等 式等等，旨在讓學(xué)生通過練習(xí)熟悉讀圖的方法、步驟；熟悉基本初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)，能用圖像與性質(zhì)解決一些基本問題；了解圖像語言與其它語言的互譯，可以把一些數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或函數(shù)圖像問題來解決；初步掌握讀圖技能。把一個問題的求解轉(zhuǎn)化為用函數(shù)圖像來求解，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是函數(shù)圖像的重要應(yīng)用，是讀圖的高級境界。心理學(xué)家馬丁.塞利格曼認(rèn)為人容易成為思維和習(xí)慣的囚徒，要培養(yǎng)學(xué)生的讀圖思維和讀圖習(xí)慣，需要在教學(xué)活動中不斷地通過示范和練習(xí)來實(shí)現(xiàn)。

函數(shù)讀圖是函數(shù)學(xué)習(xí)中重要而基礎(chǔ)的技能，需要師生共同重視，需要教師的示范與學(xué)生自身的練習(xí)，學(xué)生才能掌握。

[1]A. A 斯托利亞爾．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)[M]．.北京：人民教育出版社，1985．

[2]喬治·波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M]．.北京：科學(xué)出版社，2007．

[3]宋乃慶，等．中國基礎(chǔ)教育新課程的理念與創(chuàng)新[M]．北京：中國人事出版社，2003．