徐 斌 姚纓英

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院 杭州 310027）

1 引言

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，以及電磁場數(shù)值計算理論、方法的不斷豐富完善，運用于電磁設(shè)備優(yōu)化計算的電磁場逆問題已成為計算電磁學(xué)的研究熱點。大多數(shù)電磁裝置優(yōu)化設(shè)計問題為復(fù)雜、非凸、非線性的多目標優(yōu)化設(shè)計問題，傳統(tǒng)的確定類搜索算法，很難搜索到這類多目標函數(shù)的全局最優(yōu)解。通過對社會、自然或物理現(xiàn)象的模擬，人們轉(zhuǎn)而探索出模擬退火算法、禁忌算法、粒子群算法、遺傳算法等新的隨機類優(yōu)化算法。與確定類算法相比，這類算法突出優(yōu)點在于具有“上山性”，因此可以跳出局部極值點搜索到全局最優(yōu)解；與傳統(tǒng)隨機類算法相比，其“上山性”具有目的性，可以用較小的計算代價求得全局最優(yōu)解。

遺傳算法自1975年由Holland首次提出以來，已廣泛運用于以電磁設(shè)備優(yōu)化為代表的各種領(lǐng)域[1-4]，并表現(xiàn)出強大的全局尋優(yōu)能力。電磁場優(yōu)化設(shè)計變量個數(shù)多，它們或連續(xù)或離散，或者部分連續(xù)部分離散，與其他算法比較，標準遺傳算法并不具有顯著優(yōu)勢。眾所周知，算法的早熟和局部尋優(yōu)能力的不足是標準遺傳算法的明顯缺陷。針對其不足之處，國內(nèi)外眾多研究者從算法本身結(jié)構(gòu)和結(jié)合其他算法兩個方向來研究改進，部分工作取得令人滿意的結(jié)果。

文獻[5]提出一種自適應(yīng)遺傳算法，其交叉概率變異概率適應(yīng)于種群個體相識度和種群適應(yīng)度相識度，使算法搜索更加高效靈活。文獻[6]從自然進化因變異和災(zāi)難引起的種群消失現(xiàn)象，提出自適應(yīng)種群消失遺傳算法（Adaptive Population Disappearance Genetic Algorithm，APDGA）避免算法早熟，擺脫初始參數(shù)對算法收斂的影響。文獻[7]提出二階段遺傳算法，通過控制參數(shù)的更改，在第一階段全局隨機搜索，第二階段局部細化搜索。在以上所述的方法啟發(fā)下，本文提出自適應(yīng)對偶種群遺傳算法（Adaptive Dual Species Genetic Algorithm，ADSGA），算法引入自適應(yīng)對偶種群及新的子代產(chǎn)生規(guī)則，自適應(yīng)終止規(guī)則。通過對典型數(shù)學(xué)問題的計算與標準遺傳算法的對比，驗證算法的優(yōu)越性。最終將其運用到實際電磁設(shè)備優(yōu)化設(shè)計—超導(dǎo)磁儲能系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題中。

2 自適應(yīng)對偶種群遺傳算法

分析標準遺傳算法早熟與局部尋優(yōu)能力不足的原因，交叉算子在算法中對新個體的產(chǎn)生起主要作用，當(dāng)經(jīng)過多次迭代后，群體中個體多樣性變差，而當(dāng)前群體又不包含全局最優(yōu)個體時，出現(xiàn)收斂于局部最優(yōu)解的現(xiàn)象，即算法早熟。由交叉和變異操作產(chǎn)生子代的機制具有很大隨機性，并不能保證算法局部空間搜索時的有效性，極端情況甚至?xí)霈F(xiàn)子代適應(yīng)度比父代更差的情況，這將導(dǎo)致算法的收斂速度減慢。

根據(jù)上面分析的原因，改進遺傳算法的關(guān)鍵在于保證算法迭代過程中種群多樣性的同時，提高算法搜索效率，前者改進算法早熟現(xiàn)象，后者提高算法局部尋優(yōu)能力。本文引入自適應(yīng)對偶種群、新的子代產(chǎn)生規(guī)則和適應(yīng)于迭代次數(shù)的自適應(yīng)終止規(guī)則，來保證種群多樣性提高算法局部尋優(yōu)能力。

自適應(yīng)對偶種群和子代產(chǎn)生規(guī)則，父代種群為{xi}，其中i=1，2，…，N，xk是最佳個體，經(jīng)過遺傳操作，產(chǎn)生新種群{yi}，以父代最佳個體 xk為中心對稱點，得到{yi}關(guān)于xk的對偶種群{zi}，如果{zi}中存在個體在可行搜索區(qū)域外則隨機生成一個搜索區(qū)域內(nèi)的新個體，選擇兩對偶種群的適應(yīng)度前50%個體做為子代種群。這種規(guī)則的優(yōu)勢在于，其一，利用父代的最佳個體為中心對稱點，而不是直接用遺傳操作后的子代取代父代，保證搜索的有效性，避免計算資源的浪費；其二，用一個對偶種群來保證種群多樣性，避免算法因種群多樣性缺失導(dǎo)致的算法早熟。

圖1 終止規(guī)則函數(shù)曲線Fig.1 Curve of termination rule function

改進后的算法具體過程：

（1）初始化參數(shù)，確定種群大小N，交叉概率Pc，變異概率Pm，精度參數(shù)函數(shù)的相關(guān)常數(shù)a、b、c、d。

（2）初始化種群{xi(t)}，對種群個體編碼、解碼，計算其適應(yīng)值，找出種群最優(yōu)個體xk(t)。

（3）對種群{xi(t)}做選擇交叉變異操作，產(chǎn)生新種群{yi(t)}。

（4）確定新種群關(guān)于 xk中心對稱的對偶種群{zi(t)}。如果{zi(t)}中有個體不在搜索區(qū)域內(nèi)，則隨機生成一個搜索區(qū)域內(nèi)的新個體替代該個體。選擇兩對偶種群的最優(yōu) 50%個體做為子代{xi(t+1)}，并中找出子代最優(yōu)個體xk(t+1)。

（5）更新參數(shù)（迭代次數(shù)i，精度函數(shù)ε(i)）。

（6）終止條件判斷，如果滿足，則算法終止；否則令新產(chǎn)生的子代做為下一次迭代的父代返回步驟 3。

3 算法測試及結(jié)果分析

為測試改進算法的性能，選取下式所示的具有三個自變量的優(yōu)化問題進行仿真實驗，目標為全局最小值，優(yōu)化問題為

X=（x1，x2，x3，）與f(x)分別是自變量與目標函數(shù)。這是一個比較復(fù)雜的目標函數(shù)，在自變量的變化范圍內(nèi)總共有512個極小值點，其最小值點X=（20，20，20），最小值f(x)=3。

為了驗證方法的有效性，設(shè)置種群大小為20，交叉概率0.7，變異概率0.2，算法控制精度函數(shù)常數(shù)a、b、c、d分別為1e-2、1e-6、10、9，采用本文所提出的算法連續(xù)進行50次仿真實驗，結(jié)果均收斂于全局最優(yōu)點附近，其平均收斂于全局最小點所需要的迭代次數(shù)約為27次，則其函數(shù)調(diào)用次數(shù)約為1100次。選擇迭代次數(shù)接近平均水平的實驗結(jié)果做為分析對象，其迭代過程中的種群適應(yīng)度變化如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)問題種群適應(yīng)度變化曲線Fig.2 Curves of mathematical problem’s population fitness

搜索到的最佳自變量X=(19.999，20.000，19.9961)，目標函數(shù)最小值f(x)= 3.0001。多次隨機運行，算法都能經(jīng)過較少的迭代次數(shù)搜索到高精度的全局最優(yōu)解，足夠說明算法的穩(wěn)定和高效。

針對同樣的問題，文獻[8]中所記錄的遺傳算法與可控交叉遺傳算法進行優(yōu)化計算，將三種方法的優(yōu)化結(jié)果與函數(shù)調(diào)用次數(shù)做比較（見表1）。

表1 三種算法結(jié)果比較Tab.1 Comparison of three kind of algorithms

4 超導(dǎo)磁儲能系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計

Team Workshop Problem是國際計算電磁學(xué)界的學(xué)者和研究者提出的一系列以相關(guān)工程問題為背景的基準問題，借以校驗比較各種算法的正確性和有效性。其中22問題為超導(dǎo)磁儲能（Superconducting Magnetic Energy Storage，SMES）系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題[9,10]。SMES系統(tǒng)是利用 SMES裝置將交流電網(wǎng)供電，勵磁所產(chǎn)生的磁場能量儲存起來，在需要時再將儲存的磁場能量回饋交流電網(wǎng)或其他用途。

如圖3所示，SMES線圈為雙螺管結(jié)構(gòu)，其中一個位于內(nèi)側(cè)的主線圈，另一個位于外側(cè)的屏蔽線圈。三參數(shù)問題中主線圈尺寸 r1，h1，d1固定，屏蔽線圈尺寸為待優(yōu)化的變量 r2，h2，d2，兩個線圈施加相反方向電流。SMES裝置優(yōu)化設(shè)計時主要考慮如下因素：

圖3 軸對稱平面內(nèi)SMES線圈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Coil structure diagram of SMES in axisymmetric plane

（1）裝置儲能180MJ。

（2）遠離裝置10m處的漏磁應(yīng)盡可能小。

（3）磁場不能違背確保超導(dǎo)性的物理條件。

三參數(shù)問題，兩個線圈的電流密度為定值2 2.5A/mm2，為保證超導(dǎo)體不失超，磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足|Bmax|≤4.92T。

利用已知條件得到該問題的數(shù)學(xué)模型為

使用有限元分析軟件計算SMES問題中的電磁場及裝置儲能，開發(fā)一個Matlab與Ansys的軟件接口，實現(xiàn)Matlab調(diào)用Ansys計算并能提取計算結(jié)果，即能正常運用編寫好的 Matlab自適應(yīng)對偶種群遺傳算法程序優(yōu)化該問題。設(shè)置權(quán)系數(shù)均為 1，種群大小為20，交叉概率0.7，變異概率0.2，算法控制精度函數(shù)常數(shù)a、b、c、d分別為1e-4、1e-6、10、9，使用本文算法優(yōu)化超導(dǎo)磁儲能系統(tǒng)，迭代46代找到問題最優(yōu)解（ 3.0879，0.5001，0.3746），此時，裝置對周圍磁場環(huán)境影響指標為7.7249E-07，裝置儲能Energy為1.7997E+08，函數(shù)適應(yīng)度為0.0858。此時SMES軸對稱平面矢量磁位線如圖4所示。

圖4 最優(yōu)解條件下SMES線圈矢量磁位線分布Fig.4 Magnetic vector potential line distribution of SMES coil in optimal size

圖5為本算法處理SMES系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題迭代過程中最佳適應(yīng)度函數(shù)的變化曲線，表2為本文算法與文獻[11，12]針對 SMES問題優(yōu)化的結(jié)果比較。從圖表的結(jié)果分析，本文算法以更小的計算代價求得更加精確的全局最優(yōu)解，可見提高了算法搜索的效率、加快了算法的收斂速度。

圖5 SMES問題種群最佳適應(yīng)度變化曲線Fig.5 Curves of SMES problem’s population best fitness

表2 四種算法結(jié)果比較Tab.2 Comparison of four kind of algorithms

5 結(jié)論

電磁場逆問題計算時間冗長是制約其工程應(yīng)用的瓶頸問題，如何提高優(yōu)化算法的搜索效率使之能夠更快更好的搜索到全局最優(yōu)解是電磁場逆問題的核心問題。為改進遺傳算法算法早熟和局部尋優(yōu)能力不足，本文提出自適應(yīng)對偶種群遺傳算法。典型數(shù)學(xué)問題和超導(dǎo)磁儲能系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題多次計算結(jié)果表明，本文算法能快速收斂到全局最優(yōu)解，在一定程度上改進了標準遺傳算法的不足加快了電磁場逆問題的計算速度。

[1]Chen Tanggong,Wang Youhua,Liu Zibin,et al.Cyclic shift genetic algorithm applied to design optimization of electromagnetic devices[C].Proceedings of the International Conference on Electrical Machines and Systems,2008: 189-19 2.

[2]Sofiene Saidi, Jaleleddine Slama.Effect of genetic algorithm parameters on convergence of the electromagnetic inverse method[C].Proceedings of the 8th International Multi-Conference on Systems,Signals & Devices,2011: 1-5.

[3]Li Junhua, Li Ming, Li Junhua.Genetic algorithm with dual species[C].Proceedings of the International Conference on Automation and Logistics,2008:2572-2575.

[4]RahilaPatel, Raghuwanshi M M, Anil jaiswal modifying genetic algorithm with species and sexual selection by using k-means algorithm[C].Proceedings of the IEEE International Advance Comnputing Conference,2009: 114-119.

[5]Deng Xianghui.Application of adaptive genetic algorithm in inversion analysis of permeability coefficients[C]. Proceedings of the Second International Conference on Genetic and Evolutionary Computing,2008: 61-65.

[6]Chen Tanggong, Wang Youhua, Pang Lingling, et al.Adaptive population disappearance genetic algorithm for electromagnetic devices optimization automation congress[C].Proceedings of the the 6th International Conference on Electromagnetic Field Problems and Applications,2008: 1-4.

[7]Guillaume Crevecoeur, Peter Sergeant, Luc Dupre, et al.A two-level genetic algorithm for electromagneticoptimization[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010, 46(7): 2585-2595.

[8]楊慶新, 安金龍, 馬振平,等.基于最小二乘支持向量機和自適應(yīng)模擬退火算法的電磁場逆問題全局優(yōu)化方法[J].電工技術(shù)學(xué)報,2008,23(11): 1-7.Yang Qinxin, An Jinlong, Ma Zhenping, et al.A global vector M optimization algorithm ba-sed on least squares support achines and adaptive simulated annealing algorithm for in-verse electromagnetic problem[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2008,23(11): 1-7.

[9]謝德馨, 楊仕友.工程電磁場數(shù)值分析與綜合[M].北京: 機械工業(yè)出版社,2009.

[10]TEAM optimization benchmark problem 22 [OL].www.igte.tugraz.at.

[11]張慧.電磁場逆問題分析計算的快速全局優(yōu)化算法研究[D].杭州: 浙江大學(xué),2007.

[12]Sara Carcangiu, Alessandra Fanni.Multi-objective tabu search algorithms for optimal design of electromagnetic devices[J].IEEE Transactions on Magnetics,2008, 44(6): 970-97 3.