王進(jìn)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，高中數(shù)學(xué)教材中重點(diǎn)介紹了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極植、最值、和切線的方程等基本知識(shí).但在高考中，為了體現(xiàn)以考查能力立意的命題思想，導(dǎo)數(shù)的相關(guān)綜合題目通常都以其它數(shù)學(xué)分支如數(shù)列、不等式等為背景命制，以區(qū)分學(xué)生“轉(zhuǎn)化與化歸”“數(shù)形結(jié)合”“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用.

題型一 利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式

例1 當(dāng)[x>0]時(shí)，求證：[x-x22

證明 令[f（x）=x-x22-ln（x+1）][（x>0）]，

則[f（x）=-x21+x]，

[∵x>0]，[∴f（x）<0]，故[f（x）]在[（0，+∞）]上遞減.

因此[x>0]時(shí)，[f（x）

即[x-x22-ln（x+1）<0]成立，原命題得證.

點(diǎn)撥 對(duì)于此類(lèi)題，常先把不等式變形后構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的.

題型二 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式

例2 [f（x）=13x3-x]，[x1，x2∈[-1，1]]時(shí)，求證：[f（x1）-f（x2）43].

證明 [f（x）=x2-1]，

當(dāng)[x∈[-1，1]]時(shí)，[f（x）0]，

[∴f（x）]在[x∈[-1，1]]上遞減，故[f（x）]在[[-1，1]]上的最大值為[f（-1）=23]，最小值為[f（1）=-23]，

即[f（x）]在[[-1，1]]上值域?yàn)閇[-23，23]].

所以當(dāng)[x1，x2∈[-1，1]]時(shí)，

[f（x1）23]，[f（x2）23]；

即有[f（x1）-f（x2）f（x1）+f（x2）43.]

點(diǎn)撥 此類(lèi)題先用到絕對(duì)值不等式[a±ba][+b]的性質(zhì)，再分別利用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求[f（x1），f（x2）]的值域.

題型三 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題

例3 已知函數(shù)[f（x）=（ax+x）9（a∈R）]，對(duì)[f（x）]定義域內(nèi)任意的[x]值，[f（x）27]恒成立，求[a]的取值范圍.

解析 函數(shù)[f（x）] 的定義域?yàn)閇（0，+∞）] ，

由[f（x）27]對(duì)一切[x∈（0，+∞）]恒成立知，

[ax+x279=33]對(duì)一切[x∈（0，+∞）]恒成立，

即[a33x-xx]對(duì)一切[x∈（0，+∞）]恒成立.

令[h（x）=33x-xx]，

則[h（x）=33-32x]，由[h（x）=0]，

解得[x=4939].

令[h（x）>0]，解得[0

令[h（x）<0]，解得[x>4939]，

所以[h（x）]在[（0，4939）]上遞增，在[（4939，+∞）]上遞減.

故[h（x）]的最大值為[h（4939）=49]，所以[a49].

點(diǎn)撥 不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為[m>f（x）] （或[m

題型四 利用導(dǎo)數(shù)解不等式

例4 函數(shù)[f（x）=x2+1-ax（a1）]，解不等式[f（x）1].

解析 由題意知[f（x）=122x1+x2-a=x1+x2-a，]

又[-1

所以[f（x）<1-a<0]恒成立，

故[f（x）]在[R]上單調(diào)遞減，

又[f（0）=1]，所以[x0]時(shí)，

[f（x）f（0）=1]，

即[a1]時(shí)，[f（x）1]的解為[0，+∞].

點(diǎn)撥 在解不等式過(guò)程中，也可以利用導(dǎo)數(shù)工具先證明函數(shù)的單調(diào)性，這是轉(zhuǎn)化和化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn).

題型五 形如“[f（x1）

例5 已知函數(shù)[f（x）=13x3-x2-3x+2]，[g（x）=-9x+a2]，若對(duì)任意[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）

解析 因?yàn)閷?duì)任意的[x1，x2∈[-2，2]]，都有[f（x1）

又[f（x）=x2-2x-3]，

令[f（x）>0，]得[x>3]或[x<-1].

令[f（x）<0，] 得[-1

所以[f（x）]在[[-2，-1]]為增函數(shù)，在[[-1，2]]為減函數(shù).

因?yàn)閇f（-1）=3]，所以[f（x）max=3]，

又易知[g（x）min=-18+a2] ，

所以[3<-18+a2]，即[a<-24].

點(diǎn)撥 此類(lèi)問(wèn)題中不等式左右兩邊的變量變化并無(wú)關(guān)聯(lián)，適合構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)分別求最值來(lái)達(dá)到解題的目的.