劉俸材，李愛迪，馬澤忠

(1.重慶市國土資源和土地房屋勘測規(guī)劃院，重慶400020;2.國家遙感應(yīng)用工程技術(shù)研究中心重慶研究中心，重慶400020)

0 引言

利用計算機視覺技術(shù)實現(xiàn)物體的三維掃描和場景恢復(fù)，在產(chǎn)品質(zhì)量檢測、機器人導(dǎo)航、逆向工程、物體識別以及文物保護和修復(fù)方面有著廣闊的應(yīng)用前景［1］，典型的計算機視覺技術(shù)有基于雙目立體視覺技術(shù)的被動視覺測量和基于結(jié)構(gòu)光視覺的主動視覺測量［2］，而雙目立體視覺技術(shù)存在一個難以克服的問題，就是立體匹配，避免立體匹配的一種有效方法就是采用結(jié)構(gòu)光視覺［3］。

目前，已經(jīng)有很多學(xué)者對結(jié)構(gòu)光視覺進行了深入的研究，取得了一定的成果［4-5］。然而極少有文獻對結(jié)構(gòu)光視覺測量系統(tǒng)進行精度分析，尤其是系統(tǒng)的討論結(jié)構(gòu)光視覺測量過程的各個結(jié)構(gòu)參數(shù)對測量精度的影響的文獻非常之少。文獻［6］給出了一些優(yōu)化結(jié)論，卻沒有對優(yōu)化過程進行推導(dǎo);文獻［7］對視覺系統(tǒng)進行了誤差分析，卻沒有得到明確的結(jié)論。因此，本文首先介紹結(jié)構(gòu)光視覺測量原理，并建立基于結(jié)構(gòu)光視覺的三維恢復(fù)模型，在此基礎(chǔ)之上對結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的各個參數(shù)對測量精度的影響進行推導(dǎo)，最后通過實驗對相應(yīng)結(jié)論進行證明，對結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的誤差分析及參數(shù)設(shè)計具有重要意義。

1 結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)測量原理

結(jié)構(gòu)光視覺測量原理如圖1所示。圖1中，Oc為攝像機的光心，XcYcZcOc為攝像機坐標(biāo)系;Op為投影儀的光心，XpYpZpOp為投影儀坐標(biāo)系。

圖1 結(jié)構(gòu)光視覺模型

由于投影儀投影的光平面在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以通過投影儀的各項參數(shù)計算出來，并且投影在被測物體上的光條可以通過攝像機標(biāo)定確定其在攝像機坐標(biāo)系中應(yīng)滿足的關(guān)系，如果知道攝像機坐標(biāo)系與投影儀坐標(biāo)系之間的相對位置關(guān)系，則可以求解出被測物體上的光條在攝像機坐標(biāo)系或者投影儀坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)。

1.1 求取特征點在攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

根據(jù)張正友靈活標(biāo)定算法［8］可知，世界坐標(biāo)系中的任意點Xw=(xw，yw，zw)與其在圖像坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(u，v)存在如下關(guān)系

1.2 求取特征點在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

為計算特征點在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，本文利用標(biāo)定板中的4個角點作為特征點，如圖2所示。本文分兩步求取特征點在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即先求取特征點在投影儀坐標(biāo)系中的XY坐標(biāo)，然后求取Z坐標(biāo)。

圖2 標(biāo)定版上的特征點

1.2.1 特征點在投影儀坐標(biāo)系中的XY坐標(biāo)

首先，固定好標(biāo)定板并調(diào)節(jié)投影儀的位置，使投影儀的光軸垂直于標(biāo)定板平面并通過由四個特征點構(gòu)成的長方形的中心。為實現(xiàn)這個目標(biāo)，我們可以通過投影一個十字光柵來檢測投影儀的光軸是否通過特征點構(gòu)成的長方形的中心;調(diào)節(jié)投影儀的位置并檢測投影圖像是否為完美的長方形來檢驗投影儀的光軸是否垂直于標(biāo)定板平面。如果投影儀投影的圖像為梯形，則投影儀的光軸與標(biāo)定板平面不垂直，可以通過調(diào)節(jié)投影儀擺放姿態(tài)實現(xiàn)投影完美的長方形圖像，從而確保投影儀的光軸垂直于標(biāo)定板平面。

不失一般性，我們將標(biāo)定板上特征點組成的長方形的中心作為世界坐標(biāo)系的原點，X軸水平向右，Y軸豎直向下，Z軸指向標(biāo)定板里面。投影儀坐標(biāo)系以投影儀光心為原點，三個軸的方向與世界坐標(biāo)系相同。由于投影儀的光軸垂直于模板平面且穿過世界坐標(biāo)系的原點，因此投影儀坐標(biāo)系的XY平面與世界坐標(biāo)系的XY平面平行，空間點在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)只有Z軸方向存在差異。因此，四個特征點在世界坐標(biāo)系和投影儀坐標(biāo)系中具有相同的X、Y坐標(biāo)，圖中標(biāo)定板每格的大小為30×30mm，因此四個角點在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 (-60，-60，0)、(60，-60，0)、(-60，60，0)、 (60，60，0)，在投影儀中的坐標(biāo)為(-60，-60，z)、(60，-60，z)、 (-60，60，z)、 (60，60，z)。這里的z本質(zhì)上就是世界坐標(biāo)系和投影儀坐標(biāo)系在z軸上的距離。

1.2.2 特征點在投影儀坐標(biāo)系中的Z坐標(biāo)

首先，將投影儀調(diào)整到一個合適的位置，要求投影儀的光軸垂直于模板平面且通過四個特征點構(gòu)成的長方形的中心，記錄下投影圖像在模板平面上的寬度L1。然后將投影儀向后移動一段距離L，并使得移動后的投影儀仍然滿足光軸垂直于模板平面且通過四個特征點構(gòu)成的長方形的中心，記錄下投影儀投影圖像的寬度L2，兩次投影十字光柵校正投影儀的位置的圖像如圖3所示。

圖3 改變位置前后兩次投影“十”字光柵

求取特征點在投影儀坐標(biāo)系中的z坐標(biāo)的原理如圖4所示。為方便計算，我們將圖4簡化如5所示。

由于L、L1、L2均為已知，因此我們很容易得到

則

在本文實驗中，L=244，L1=270mm，L2=390mm，則z=793mm，故標(biāo)定模板上的四個角點在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為:(-60，-60，793)、 (60，-60，793)、 (-60，60，793)、(60，60，793)。

計算出空間點在投影儀坐標(biāo)系攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)后，便可以計算出投影儀坐標(biāo)系和攝像機坐標(biāo)系之間的相對位置關(guān)系。由于投影儀坐標(biāo)系和攝像機坐標(biāo)系均為笛卡爾坐標(biāo)系，故可以通過式 (4)表示

通過前面的計算，Xw在攝像機坐標(biāo)系和在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)均為已知，分別將四個特征點的對應(yīng)坐標(biāo)帶入式 (4)，可以計算出平移向量T和旋轉(zhuǎn)矩陣R，結(jié)果如下

由于投影儀投影的光柵條紋在投影儀坐標(biāo)系中的X、Y坐標(biāo)是已知的，且投影儀坐標(biāo)系和攝像機坐標(biāo)之間的相對位置關(guān)系也為已知，利用式 (4)便可計算出光柵條紋上的點在投影儀坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)光視覺的三維恢復(fù)。

2 特征提取誤差對測量精度的影響

由于CCD的每一個像素都具有一定的面積，一個無大小的理想點在CCD像素上的精確位置無法在圖像上得到反映［10］。這就在根本上造成了像點坐標(biāo)誤差，即圖像識別誤差。通常，我們認(rèn)為單個像素點的最大特征提取誤差為0.5δ(δ表示像元尺寸大小)，為計算特征提取誤差對測量精度的影響，只需要將xp、yp、zp分別對ux、vx求導(dǎo)即可。由式 (4)可得

先將 xp、yp、zp分別對 ux、vx求偏導(dǎo)可得

現(xiàn)假設(shè)Δx、Δy、Δz為測量精度誤差，Δu、Δv為特征提取誤差，根據(jù)上述公式可得

上面所有公式中，c也是攝像機標(biāo)定過程中的參數(shù)，均可以在攝像機標(biāo)定階段求解。因此，由式 (11)、 (12)、(13)可知，測量誤差Δx、Δy、Δz與特征提取誤差Δu、Δv成正比，故特征提取誤差越大，測量精度將直線下降，因此我們必須盡量減小特征提取誤差。本文通過提取亞像素角點［11］將最大特征提取誤差減小至0.16像素，將得到的測量誤差與原始測量誤差相對比，得到結(jié)果如表1所示。

表1 提取亞像素角點前后的測量精度對比

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對測量精度的影響

為弄清攝像機光軸與投影儀光軸之間的夾角對測量精度的影響，畫出結(jié)構(gòu)光視覺測量的誤差模型如圖6所示，在圖6中，攝像機主軸與投影儀主軸之間的夾角為α?？臻g點P在圖像上的理想橫坐標(biāo)是ux，由于圖像特征提取存在誤差，空間點P在圖像上的實際橫坐標(biāo)為ux+δ。其中，δ為最大特征提取誤差。pp″平行于攝像機主軸，p″p'平行于X軸并與攝像機主軸垂直。

圖6 特征提取誤差對測量精度的影響

由圖6可知，由特征提取誤差導(dǎo)致Z軸的測量誤差可用pp″表示，X軸方向的測量誤差可用表示為由圖6可知，X軸方向的測量誤差與Z坐標(biāo)值和特征提取誤差δ的大小成正比，與攝像機焦距成反比

由圖2可知，Z軸方向的測量誤差與X軸方向的測量誤差成正比，則

由式 (14)、式 (15)可知，攝像機主軸與投影儀主軸之間的夾角對X軸方向的測量精度沒有影響，但是對Z軸方向的測量精度有影響，當(dāng)兩主軸之間的夾角α小于45°時，Z軸方向的測量誤差隨著夾角α的減小而急劇增大。當(dāng)兩主軸之間的夾角α大于45°時，Z軸方向的測量誤差隨著夾角α的增大而緩慢減小。但是如果夾角α太大，則標(biāo)定精度又大幅下降，因此夾角不能太小而又不宜太大，通常選取45°左右。

4 測量物距對測量精度的影響

在結(jié)構(gòu)光視覺測量系統(tǒng)中，物距可以用被測物體在攝像機坐標(biāo)系中的Z坐標(biāo)值來表示。因此，由式 (13)可知，隨著物距的增大，X軸方向的測量誤差隨之增大。由式(15)可知，Z軸方向的測量誤差也隨著物距的增大而線性增大。由于Y軸與X軸計算公式相同，故可知Y軸方向的測量精度也隨之物距的增大而線性增大。為檢驗上述理論，本文選取物距300mm到1000mm之間的多個數(shù)值進行實驗，得到實驗結(jié)果如圖7所示。

圖7中，由于X軸與Y軸的計算原理及像元尺寸、Z坐標(biāo)值等影響因素完全相同，故兩個方向的測量誤差完全相同，在圖7上X軸誤差線和Y軸誤差線的兩條線完全重疊。

圖7 測量誤差與物距的關(guān)系

5 攝像機焦距對測量精度的影響

由式 (11)、 (12)可以看出，隨著攝像機焦距的增大，結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的測量誤差將非線性變小。為檢驗上述結(jié)論，本文實驗利用可變焦的維視MV1303-UM攝像機，攝像機光軸與投影儀光軸夾角為30°，分別測量其焦距為4.5mm和10.0mm時，在物距為300-1000mm之間的測量誤差，誤差結(jié)果如表2所示。

表2 攝像機焦距對測量精度的影響

6 結(jié)束語

分析了結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)測量原理模型，深入討論了各項參數(shù)對測量精度的影響，結(jié)論如下:測量誤差與特征提取誤差成正比，特征提取誤差越大，測量誤差越大，反之亦然;攝像機光軸與投影儀光軸之間的夾角對Z軸存在明顯影響，當(dāng)夾角小于45°時，Z軸誤差隨著夾角的減小而急劇增大;當(dāng)夾角大于45°時，隨著夾角的增大而緩慢減小;而對X軸和Y軸測量誤差沒有明顯影響。測量物距對測量誤差的影響是線性的，測量物距越大，測量誤差隨之增大;攝像機焦距與測量誤差成反比，攝像機焦距越大，測量誤差越小，精度越高。

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