☉江蘇省徐州市第一中學(xué) 馬 芹
分析法是高中數(shù)學(xué)中常用的證明方法之一,從推理的程序上來講,它是一種“執(zhí)果索因”的邏輯推理方法.具體說,從求證的結(jié)論出發(fā),“由果索因”,利用公理、定理、公式和定義,經(jīng)過正確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?,追溯?dǎo)致結(jié)論成立的充分條件,直到找到使結(jié)論成立的條件和已知條件或者已知的事實(shí)相符即一個(gè)顯然成立的關(guān)系為止,從而判定問題的結(jié)論成立.分析法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛,涉及幾何、三角、不等式的證明等,本文筆者就通過幾道試題的解析來說明分析法在數(shù)學(xué)解題中的重要應(yīng)用.
分析法的思維全貌可以概括出其基本步驟:“未知→需知→已知”,在操作中“要證”、“只需證”、“即證”這類詞語(yǔ)是不可缺少的.
典例1已知ai(i=1,2,…,n)都是正數(shù)
分析點(diǎn)撥:從結(jié)論的結(jié)構(gòu)出發(fā),尋找條件與結(jié)論之間的聯(lián)結(jié)“橋梁”:ai(i=1,2,…,n)均為正數(shù),可將待證結(jié)論兩邊平方,得
證明賞析:構(gòu)造函數(shù)
即f(x)≥0在x∈R恒成立,又a12+a22+…+an2>0,此時(shí),得滿足Δ≤0,即
反思總結(jié):本題若直接從已知條件出發(fā)進(jìn)行證明,容易迷失方向,使解題無法進(jìn)行下去,在這種情況下,嘗試運(yùn)用分析法,執(zhí)果索因、逆向思考問題,在分析的過程中不斷地尋求使結(jié)論成立的一些條件(隱含條件、過渡條件等),從而尋找到聯(lián)結(jié)條件與結(jié)論之間需要的“橋梁”.本題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的二次函數(shù)來求解,為什么會(huì)想到構(gòu)造二次函數(shù),如何構(gòu)建才合適呢?這正是“分析點(diǎn)撥”中分析出來的,這也是解綜合題必須經(jīng)歷的一個(gè)過程,也許當(dāng)看到用綜合法書寫出來的證明過程時(shí)讓人一目了然,但是分析法在尋找思路上卻起了不可缺少的至關(guān)重要的作用.
分析點(diǎn)撥:比較已知條件和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)θ,因此第一步嘗試從已知條件中消去θ,觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn), 發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系:(sin θ+cos θ)2-2sin θ·cos θ=1,于是①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1,把它與結(jié)論相比較,發(fā)現(xiàn)角相同,均含有α,β,但函數(shù)名不同,于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論,統(tǒng)一函數(shù)名,即把正切函數(shù)化為正(余)弦函數(shù)來求證.
證明賞析:因?yàn)椋╯in θ+cos θ)2-2sin θ·cos θ=1.
只要證4sin2α-2sin2β=1與③相同,所以問題得證.
反思總結(jié):在解決問題時(shí),經(jīng)常需將分析法和綜合法結(jié)合起來使用,即常常采取同時(shí)從已知和結(jié)論出發(fā),尋找問題的一個(gè)中間目標(biāo),從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索,而由結(jié)論到中間目標(biāo)則運(yùn)用分析法思索,以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論,構(gòu)建出證明的有效途徑.本題證明的前半段運(yùn)用的是綜合法,后半段用的是分析法.由此可見,在解決實(shí)際問題的時(shí)候,方法的運(yùn)用上不能死板教條,要懂得靈活機(jī)動(dòng),以便于快捷、正確的處理問題.
總之,在解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí),在由因?qū)ЧM(jìn)行不下去時(shí),可執(zhí)果索因進(jìn)行思考,這樣由欲知確定需知,求需知利用已知,往往會(huì)擺脫“山重水復(fù)疑無路”的困境,從而達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.