☉浙江省紹興魯迅中學(xué) 章顯聯(lián)

新《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本概念有10個(gè)部分，其中在第3部分倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式中強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，發(fā)展他們自主創(chuàng)新意識(shí).紹興市數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)期間安排了兩節(jié)同課異構(gòu)的課，課題是《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》，筆者有幸聽(tīng)了兩節(jié)精彩的課，頗有收獲，兩位教師在教學(xué)中體現(xiàn)了先進(jìn)正確的教學(xué)理念：“以學(xué)生為本”、“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”、“教與學(xué)重心前移”、“教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維”、“改進(jìn)教學(xué)方式”、“促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)，探究學(xué)習(xí)”等.但由于準(zhǔn)備時(shí)間倉(cāng)促，兩節(jié)課中或多或少有些不自然，那么如何探究更自然呢？下面結(jié)合教學(xué)實(shí)例談一下自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題粗淺的認(rèn)識(shí).

一、在理解教材，理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生上多下功夫

兩位教師的引課方式如下：

教師1：

問(wèn)題1：如何判斷兩直線平行？叫了5位學(xué)生回答，有用平面幾何知識(shí)，也有通過(guò)直線方程判斷.

問(wèn)題2：共同回顧求直線方程的主要過(guò)程.

兩個(gè)問(wèn)題共花費(fèi)了近20分鐘時(shí)間，后繼學(xué)習(xí)肯定時(shí)間不夠.

教師2：已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？

創(chuàng)設(shè)“探究”的問(wèn)題情境，首先是問(wèn)題要典型，要有思想.其次是問(wèn)題的設(shè)計(jì)要結(jié)合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律.按照這兩條原則.教師1的問(wèn)題1是否可以這樣，利用幾何畫(huà)板畫(huà)兩條不重合直線，問(wèn)學(xué)生這兩條直線平行嗎？追問(wèn)學(xué)生憑什么說(shuō)它們平行（或不平行）？從而引出結(jié)論：α1=α2?l1∥l2.再追問(wèn)還有其他的方法嗎？從而引出結(jié)論：k1=k2?l1∥l2，這樣學(xué)生共同回顧從代數(shù)（斜率）與幾何（傾斜角）兩個(gè)角度研究?jī)芍本€的平行，而這正是解析幾何研究的兩條主線；問(wèn)題2沒(méi)必要此時(shí)拋出，若學(xué)生在研究圓的方程有困難時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)研究直線方程的方法.

教師2通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的探究，把學(xué)生的思維由用勾股定理求線段CD的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)移為用曲線的方程來(lái)解決，在得到汽車不能通過(guò)的結(jié)論的同時(shí)學(xué)生自己推導(dǎo)出了圓心在原點(diǎn)，半徑為4的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而很自然的進(jìn)入了本課的主題.用實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生感受到問(wèn)題來(lái)源于實(shí)際，應(yīng)用于實(shí)際，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望.這樣獲取的知識(shí)，不但易于保持，而且易于遷移.該引入符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生的探究問(wèn)題的欲望，思維達(dá)到了一定的高度和深度.但解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題：也就是建立直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中把一個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，利用點(diǎn)的坐標(biāo)，曲線的方程，經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，這就是坐標(biāo)系的思想.另外本節(jié)還應(yīng)讓學(xué)生明白這樣建立的方程為什么是圓的方程，因此本節(jié)的核心思想是坐標(biāo)法的思想，核心概念是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

筆者深刻理解了本節(jié)以上的核心概念和思想后，采用了以下直奔主題的引入：同學(xué)們，前面我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中是怎樣研究直線的方程？那么圓是否也可以用一個(gè)方程來(lái)表示呢？如果能，這個(gè)方程有什么特征？

按照奧蘇伯爾的觀點(diǎn)，“先行組織者”有其嚴(yán)格的定義，即在正式材料學(xué)習(xí)之前，向?qū)W生介紹的與其原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)相聯(lián)系的概括和包攝性引導(dǎo)材料，它在抽象、概括和包攝水平上應(yīng)高于正式的學(xué)習(xí)材料，并用學(xué)生熟悉的術(shù)語(yǔ)呈現(xiàn)，即先于新學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，設(shè)計(jì)“組織者”的目的，是幫助學(xué)生穩(wěn)定地納入和保持正式學(xué)習(xí)材料中更詳細(xì)和分化的內(nèi)容，給學(xué)習(xí)者在已知與未知之間架起一道橋梁，從而更有效地學(xué)習(xí)新材料.筆者采用的引入方式是基于學(xué)生已有的認(rèn)知，在深刻理解數(shù)學(xué)，理解教材的基礎(chǔ)上提出的，能在“已經(jīng)掌握的知識(shí)”和“需要掌握的知識(shí)”之間架起溝通的橋梁，因此學(xué)生在課堂上的探究是自然的，有效的.

二、在課堂有效提問(wèn)上多下功夫

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，有效的提問(wèn)才能保證探究的順利自然.課堂提問(wèn)的有效性應(yīng)具有以個(gè)幾個(gè)特征：（1）可及性.問(wèn)題的設(shè)計(jì)要結(jié)合學(xué)生一般認(rèn)知律，身心發(fā)展規(guī)律；（2）開(kāi)發(fā)性.問(wèn)題富有層次感，入手較易，開(kāi)發(fā)性強(qiáng)，解決方案多，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間多；（3）挑戰(zhàn)性.能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突與學(xué)習(xí)欲望，能激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極參與，接受問(wèn)題的挑戰(zhàn)；（4）體驗(yàn)性.能給學(xué)生提供深刻體驗(yàn)，人人有所得，包括操作、探究的機(jī)會(huì)或替代性實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué).

如兩位老師在分析點(diǎn)與圓位置關(guān)系時(shí)都設(shè)計(jì)了以下例題：

例1寫出圓心為A（2，3）半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)M1（5，7）和M2（，1）否在這個(gè)圓上.

對(duì)這個(gè)問(wèn)題大都學(xué)生都能利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑大小來(lái)判斷.從而得出一般性結(jié)論：點(diǎn)M（x0，y0）與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系的判斷方法：

（1）（x0-a）2+（y0-b）2＞r2，點(diǎn)在圓外；

（2）（x0-a）2+（y0-b）2=r2，點(diǎn)在圓上；

（3）（x0-a）2+（y0-b）2＜r2，點(diǎn)在圓內(nèi).

筆者認(rèn)為該問(wèn)題不符合開(kāi)放性、挑戰(zhàn)性、體驗(yàn)性的原則.維果茨基認(rèn)為，在確定發(fā)展與教學(xué)的可能關(guān)系時(shí)，要使教育對(duì)學(xué)生的發(fā)展起主導(dǎo)和促進(jìn)作用，就必須確立學(xué)生發(fā)展的兩種水平，一是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學(xué)生能夠獨(dú)立解決問(wèn)題的智力水平；二是可以達(dá)到的發(fā)展水平，但要借助別人的幫助，在集體活動(dòng)中，通過(guò)模仿才能達(dá)到解決問(wèn)題的水平.在新課程實(shí)施過(guò)程中，教師的幫助常以問(wèn)題形式出現(xiàn)，通過(guò)設(shè)置“問(wèn)題鏈”，搭建“腳手架”，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，促使學(xué)生達(dá)到發(fā)展水平.不過(guò)問(wèn)題通常是由教師提出來(lái)的，不是由學(xué)生提出來(lái)的，至于為什么要提出這些問(wèn)題，而不提另一些問(wèn)題？學(xué)生沒(méi)有去想.這樣學(xué)生成為了解決問(wèn)題的主體，而不是提出問(wèn)題的主人，他們問(wèn)題意識(shí)淡薄，不知道怎樣提問(wèn)，也不知道如何表述問(wèn)題，更不知道在什么時(shí)候應(yīng)該提出什么問(wèn)題.這是可悲的，也是可怕的，這種探究也是無(wú)效的，必須通過(guò)我們的努力改變這種狀況.

基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”加強(qiáng)從“數(shù)”到“形”的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題，是否可這樣設(shè)計(jì)該問(wèn)題：每人寫一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾個(gè)點(diǎn)，要求你的同桌判斷點(diǎn)與圓是什么關(guān)系？如何判斷？這一開(kāi)放性問(wèn)題，有一定的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個(gè)問(wèn)題上有不同層次的施展，一方面培養(yǎng)了應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題能力，另一面也培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.課堂提問(wèn)要保證提問(wèn)的質(zhì)量，又不能讓學(xué)生有生畏之感，也不能讓學(xué)生不動(dòng)腦筋就能輕易答出的懈怠，從而激發(fā)學(xué)生探究的動(dòng)力.

三、不干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

兩節(jié)課聽(tīng)下來(lái)，總體感覺(jué)是現(xiàn)在做老師的“累“，老師上課時(shí)“滔滔不絕”地講，而學(xué)生很“輕松”，基本上不用動(dòng)筆，動(dòng)口，看上去無(wú)所事事.事實(shí)上，課堂教學(xué)中老師的“喋喋不休”不經(jīng)意間干擾了學(xué)生思維的時(shí)間與空間，因?yàn)橛猩疃鹊乃伎夹枰浞值臅r(shí)間.如兩位老師是這樣分析例2的：

例2 設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圓的方程.

學(xué)生思考了一會(huì)兒，老師就叫學(xué)生回答.

學(xué)生：設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，

教師1：用這種方法比較麻煩，還有其他方法嗎？

教師2：如何解？

學(xué)生：①-②得a-2b=8，

②-③得a+b=-1，

所以a=2，b=-3，r2=25.

（結(jié)果是老師幫她算出來(lái)的）接下去兩位老師又分析了解法二，即先求線段AB，AC直線的交點(diǎn)（即外接圓圓心），然后求出半徑，就可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.表面上都很好地完成了教學(xué)任務(wù)，實(shí)際上還是老師講得多，學(xué)生思考時(shí)間少.實(shí)際上本例題可留一定時(shí)間讓學(xué)生思考，然后請(qǐng)兩位不同思路的學(xué)生講思路，講解法，最后請(qǐng)其他同學(xué)們?cè)u(píng)價(jià)兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).又如在推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中，第一步是建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，兩位老師也都是“取而代之”學(xué)生的思考直接給出答案，實(shí)際上若讓學(xué)生思考，肯定有不同的結(jié)果.學(xué)習(xí)是什么？它是學(xué)習(xí)者的體驗(yàn)感受，動(dòng)嘴說(shuō)的過(guò)程，因此課堂要留一定的時(shí)間與空間給學(xué)生.

四、將黑板還給學(xué)生

在傳統(tǒng)教學(xué)中黑板是老師的“專利”，學(xué)生上黑板板演得不到應(yīng)有的重視.這與傳統(tǒng)教學(xué)觀有關(guān)：教師是演員，也是導(dǎo)演，而學(xué)生是聽(tīng)（觀）眾，沒(méi)有體現(xiàn)學(xué)生的主體作用.另外一個(gè)問(wèn)題是板演后誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)？當(dāng)然是學(xué)生來(lái)相互評(píng)價(jià).但實(shí)際上往往是老師自己評(píng)價(jià).筆者要呼吁的是：還黑板給學(xué)生，讓學(xué)生擁有自己的活動(dòng)空間，展示平臺(tái)，在活動(dòng)中生產(chǎn)數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)智慧，讓探究來(lái)得更自然些，讓學(xué)生探究有更好的載體.兩位老師上課都沒(méi)有安排學(xué)生到黑板上板演.學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)，也是學(xué)生邊說(shuō)老師邊在黑板上寫，認(rèn)認(rèn)真真做了回學(xué)生的“秘書(shū)”.實(shí)際上本節(jié)課有很多機(jī)會(huì)讓學(xué)主上黑板板演.如例2中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程中如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系等.這樣學(xué)生以“稿紙”、“黑板”為“實(shí)驗(yàn)田”進(jìn)行畫(huà)圖實(shí)驗(yàn)，對(duì)不夠充分的，錯(cuò)誤的進(jìn)行補(bǔ)充、糾正，這樣在合作學(xué)習(xí)中，既調(diào)動(dòng)了全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，這樣探究是自然的、有效的.還黑板給學(xué)生還可避免老師滿堂灌（包括人灌和機(jī)灌），學(xué)生“被學(xué)習(xí)”，“被告知結(jié)果”等.

以上是本人聽(tīng)了兩節(jié)課及平時(shí)聽(tīng)課后的一點(diǎn)感受，要想探究得更自然，老師首先要在理解教材，理解教學(xué)，理解學(xué)生上多下功夫，這是學(xué)生探究問(wèn)題的前提；教師須在設(shè)計(jì)有效問(wèn)題（引導(dǎo)學(xué)生自己提出問(wèn)題，捕捉來(lái)自學(xué)生的問(wèn)題）上下功夫，這是探究的保證；留有時(shí)間給學(xué)生思考，還黑板給學(xué)生，這樣才能保證學(xué)生探究問(wèn)題的時(shí)間和空間.

1.章顯聯(lián).探究之路在何方？——立足教材，開(kāi)展探究教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（7）：29.

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3.章顯聯(lián).談高一新課程“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)的幾個(gè)問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（11）：52.

4.陽(yáng)志長(zhǎng).還黑板給學(xué)生，構(gòu)造高效課堂［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（7）：7.