劉燦昌 裘進(jìn)浩 孫慧玉 季宏麗 劉 露

1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京，210016

2.山東理工大學(xué)，淄博，255049

0 引言

機(jī)械柔性結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如航天飛機(jī)和大型空間站中的柔性機(jī)械臂、太陽(yáng)能帆板以及衛(wèi)星天線等。隨著機(jī)械結(jié)構(gòu)不斷向大型化、高速化和柔性化方向發(fā)展，對(duì)結(jié)構(gòu)的精度、可靠性和穩(wěn)定性的要求也越來(lái)越高，非線性因素對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制的影響也越來(lái)越突出，因而柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)與控制問(wèn)題的研究顯得日益重要。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者使用理論分析和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究［1－3］。李韶華等［4］利用平均法研究了單自由度多頻激勵(lì)非線性汽車懸架系統(tǒng)的主共振和系統(tǒng)參數(shù)對(duì)汽車主共振控制的影響。馮霏等［5］研究了主共振、超諧波共振、次諧波共振以及內(nèi)組合共振條件下的非線性懸架系統(tǒng)在非線性參數(shù)不同時(shí)的幅頻響應(yīng)。丁虎等［6］運(yùn)用微分求積法數(shù)值研究了不同邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁受到簡(jiǎn)諧外激勵(lì)的橫向受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。趙艷影等［7］研究了時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器對(duì)承受外激勵(lì)的主系統(tǒng)減振的作用規(guī)律，通過(guò)調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯來(lái)控制主系統(tǒng)的振動(dòng)。

本文提出一種結(jié)構(gòu)體非線性振動(dòng)的最優(yōu)化控制方法。利用懸臂梁主共振振動(dòng)實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，用最優(yōu)化方法計(jì)算得到速度和位移控制參數(shù)，設(shè)計(jì)最優(yōu)化控制器，搭建實(shí)驗(yàn)控制電路，將粘貼在梁上的壓電傳感器產(chǎn)生的電壓信號(hào)輸入到控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)將輸入的信號(hào)進(jìn)行放大處理后輸給壓電驅(qū)動(dòng)器，由壓電驅(qū)動(dòng)器對(duì)梁的振動(dòng)進(jìn)行控制。

1 主共振響應(yīng)的減振控制

懸臂梁模型假設(shè)為Euler－Bernoulli梁，當(dāng)激勵(lì)力頻率接近于梁某階振動(dòng)模態(tài)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生主共振響應(yīng)，這時(shí)主共振梁可以簡(jiǎn)化為單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，其振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可以寫為［8－10］

引入正小參數(shù)ε和含有位移及速度反饋控制器，非線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

式中，gi1為位移反饋系數(shù)；gi2為速度反饋系數(shù)。

為計(jì)算簡(jiǎn)便，作如下變換，令

則式（2）成為

當(dāng)柔性體結(jié)構(gòu)為弱幾何非線性時(shí)，小阻尼和小激勵(lì)作用情況下，通常將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)近似看作弱非線性振動(dòng)［9-11］。對(duì)懸臂梁柔性結(jié)構(gòu)的主共振分析，大部分文獻(xiàn)采用弱非線性的處理方法［11-14］。本文研究的懸臂梁為一柔性結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)激勵(lì)較小，其振動(dòng)可以近似視為弱非線性振動(dòng)，可以采用攝動(dòng)法分析其振動(dòng)控制行為，將式（4）的響應(yīng)解和激勵(lì)頻率寫為冪級(jí)數(shù)形式：

其中σ為調(diào)諧參數(shù)。將式（5）和（6）代入式（4），令方程兩邊ε的同次冪的系數(shù)和為零，得到

式（7）的解為

式中，ai、θi分別為振動(dòng)幅值和相位。

將式（9）代入式（8）得到

消除式（10）中的久期項(xiàng)，得到

消去θi后，得

式（13）為σ與a i之間的頻率振幅響應(yīng)方程。由幅頻方程可以得到系統(tǒng)主共振響應(yīng)的峰值大小為

式（2）的一次近似解為

由主共振響應(yīng)的峰值表達(dá)式可知，aimax與μie有關(guān)，增大μie的值，可以有效地減小aimax的值，從而達(dá)到控制非線性系統(tǒng)的目的。

作為對(duì)照，非線性振動(dòng)系統(tǒng)無(wú)反饋時(shí)，非線性振動(dòng)方程可以寫為［14］

系統(tǒng)的σ與之間的頻率振幅響應(yīng)方程為

由幅頻式（17）可以得到主共振響應(yīng)的峰值大小為

由于非線性系統(tǒng)通常難以求得解析解，非線性系統(tǒng)的減振效果不能像線性系統(tǒng)一樣通過(guò)響應(yīng)幅值比和激勵(lì)力幅值比來(lái)討論，另外非線性系統(tǒng)振動(dòng)與初始條件相關(guān)的穩(wěn)定解具有多值性，因而研究非線性振動(dòng)的減振效果較為復(fù)雜，可以通過(guò)分析主振動(dòng)峰值大小的比例來(lái)分析非線性主振動(dòng)的減振效果。引入非線性振動(dòng)的衰減系數(shù)［15］：

當(dāng)μi與g i2同號(hào)時(shí)，g i2絕對(duì)值越大，衰減率越小，減振效果越好；反之，當(dāng)μi與g i2異號(hào)時(shí)，衰減率大于1或?yàn)樨?fù)值，減振器失去效果或控制失去意義。

2 主共振響應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)的非線性振動(dòng)，當(dāng)幅頻方程中的參數(shù)滿足一定條件時(shí)，跳躍現(xiàn)象、鞍結(jié)分岔和方程解的多值性等非線性現(xiàn)象就有可能發(fā)生，導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)變得不穩(wěn)定，因而要實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的減振控制就要避開(kāi)這些不穩(wěn)定因素，同時(shí)也要設(shè)計(jì)合理的控制器，減小非線性振動(dòng)幅值。解的穩(wěn)定性條件可以由式（11）和式（12）對(duì)應(yīng)雅可比行列式的特征值而得到，其特征值λ滿足特征方程：

分析上式解可以得到：μie＜0，振動(dòng)系統(tǒng)不穩(wěn)定；μie＝0，特征值是一對(duì)純虛根，系統(tǒng)可能發(fā)生Hopf分岔；μie＞0，兩根之和恒為負(fù)。綜合分析可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件［11，16］：

當(dāng)方程f（σ）＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，方程的解為

令

或

顯然式（21）滿足f（σ±）＞0，因而可以得到

由式（22）得到速度反饋控制參數(shù)范圍，由式（24）可以得到位移反饋控制參數(shù)范圍，據(jù)此可以設(shè)計(jì)非線性振動(dòng)主共振控制器，該控制器考慮了非線性振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具有穩(wěn)定的控制效果。

3 控制器參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)分析

通過(guò)對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，我們得到反饋增益參數(shù)取值范圍，但是對(duì)系統(tǒng)的最佳控制參數(shù)還很難得到，為此我們進(jìn)一步構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，利用最優(yōu)化原理來(lái)確定最佳控制參數(shù)。

3.1 基于衰減率最優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)

以非線性振動(dòng)系統(tǒng)的衰減率為目標(biāo)函數(shù)，以反饋增益參數(shù)取值范圍為約束條件，求解最佳的速度反饋參數(shù)。該模型可表示為

由上式可以計(jì)算得到速度反饋系數(shù)的數(shù)值。

3.2 基于能量最小的最優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)

以非線性振動(dòng)系統(tǒng)的能量函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，以反饋參數(shù)取值范圍為約束條件，求解最佳的位移反饋參數(shù)。構(gòu)造非線性振動(dòng)系統(tǒng)能量函數(shù)為［17］

由主共振響應(yīng)的一次近似解可得響應(yīng)的最大值為

將式（27）代入式（26）得到能量的最值函數(shù)：

則

由式（25）可以求得gi2，因而可以求出μie的值，再由式（29）求得gi1的值。

4 振動(dòng)阻尼測(cè)量

對(duì)于壓電傳感器，外加電場(chǎng)為零，當(dāng)柔性梁振動(dòng)時(shí)，粘貼于梁表面的壓電傳感器產(chǎn)生感應(yīng)電荷，則壓電片上產(chǎn)生的輸出電壓為［18］

由式（30）可以得到響應(yīng)峰值為

利用系統(tǒng)的非線性振動(dòng)的幅頻方程可以確定系統(tǒng)的阻尼。系統(tǒng)無(wú)控制時(shí)，由主共振響應(yīng)的峰值式（18）可以得到［19-20］：

利用上式可以得到各階模態(tài)方程對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)分析

以粘貼壓電傳感器的懸臂梁為實(shí)驗(yàn)實(shí)例，由壓電傳感器、最優(yōu)化控制器和壓電驅(qū)動(dòng)器組成一個(gè)閉環(huán)控制回路，對(duì)懸臂梁進(jìn)行減振控制。梁的上層壓電片作為傳感器粘貼在上表面，隨著梁的振動(dòng)而變形（圖1）。由壓電效應(yīng)可知，隨著梁變形而縮短或伸長(zhǎng)的壓電片會(huì)產(chǎn)生電壓信號(hào)，利用dSPACE采集壓電傳感器的電壓信號(hào)，送入最優(yōu)化減振控制器。壓電驅(qū)動(dòng)器粘貼在與壓電傳感器相同位置的梁的下表面，接收控制系統(tǒng)傳來(lái)的控制電壓信號(hào)，產(chǎn)生控制力偶矩，對(duì)梁進(jìn)行減振控制。

圖1 壓電懸臂梁控制系統(tǒng)模型

基梁為鋁材料梁，其幾何和物理參數(shù)為：長(zhǎng)238mm，寬 50mm，高 0.93mm，彈 性 模 量E＝70GPa。壓電材料采用PZT型壓電陶瓷，壓電傳感器和驅(qū)動(dòng)器的幾何和物理參數(shù)均為20mm×20mm×0.2mm，壓電片彈性模量Epe＝63GPa，g31＝10.6μV/N，Cp＝65nF。壓電感應(yīng)器和驅(qū)動(dòng)器的位置坐標(biāo)參數(shù)均為ξ1＝15mm，ξ2＝35mm。

忽略壓電傳感器的影響，由理論計(jì)算得到懸臂梁前兩階固有頻率理論值分別為13.2788Hz、83.223Hz。通過(guò)掃頻的方式測(cè)量得到懸臂梁前兩階的固有頻率分別為16.02Hz、91.56Hz。由式（32）可以得到前兩階時(shí)域方程的阻尼系數(shù)分別為12.29和70.27。利用YE15400型激振器給懸臂梁施加一基礎(chǔ)振動(dòng)，利用dSPACE數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集壓電傳感器數(shù)據(jù)信號(hào)，應(yīng)用MATLAB7.0快速傅里葉程序生成主共振振動(dòng)圖像，由圖像讀出振動(dòng)幅值電壓。由式（31）可以計(jì)算得到aimax。由式（25）計(jì)算得到前兩階穩(wěn)定的速度反饋控制系數(shù)最小值分別為14.48和21.36，由于μi和g i2均為正值，由式（25）可知，gi2取值越大，衰減率越小，控制效果越好，因而為了取得較好的控制效果，反饋控制參數(shù)應(yīng)盡可能取值大一些。由式（29）可以得到能量最小的前兩階位移反饋系數(shù)最大值分別為－12.28和－6.28。

利用反饋控制方法實(shí)現(xiàn)梁非線性主共振振動(dòng)的主動(dòng)控制?？紤]控制系統(tǒng)的安全和實(shí)驗(yàn)實(shí)際，一階和二階控制參數(shù)分別取為g11＝－15，g12＝55；g21＝－7，g22＝65，增益值均滿足式（22）和式（24）的要求。應(yīng)用MATLAB7.0快速傅里葉程序生成振動(dòng)控制圖像，如圖2～圖5所示。圖2和圖3分別為一階主共振共振時(shí)域和幅頻圖像，由圖可知，振動(dòng)幅值減小了18.13dB。圖4和圖5分別是二階主共振共振時(shí)域和幅頻圖像，二階模態(tài)的位移幅值減小了11.78dB?？梢?jiàn)，梁的前兩階模態(tài)的振動(dòng)幅值都受到了明顯的抑制。

圖2 懸臂梁一階主共振響應(yīng)時(shí)域圖

圖3 懸臂梁一階主共振響應(yīng)幅頻圖

圖4 懸臂梁二階主共振響應(yīng)時(shí)域圖像

6 結(jié)論

（1）本研究探索了一種基于主共振振動(dòng)穩(wěn)定條件的位移和速度反饋控制參數(shù)的求解方法，能夠定量地給出反饋控制參數(shù)范圍，該方法避免了以往采用嘗試法確定控制參數(shù)的弊端。應(yīng)用最優(yōu)化方法，得到衰減率和能量函數(shù)值最小的控制參數(shù)，該方法一方面考慮最優(yōu)的減振效果，另一方面也考慮控制輸入能量和振動(dòng)能量最小，有利于控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖5 懸臂梁二階主共振響應(yīng)幅頻圖

（2）該算法對(duì)應(yīng)的控制器電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。壓電控制器控制效率高，因而該控制策略對(duì)于柔性結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)控制具有較好優(yōu)越性。

（3）該方法能較快確定有效控制參數(shù)范圍，有利于實(shí)驗(yàn)參數(shù)的確定。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制方法能有效地減小主共振振動(dòng)幅值，減振控制效果較好。

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