趙 曜* 張冰塵 洪 文 吳一戎

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基于RIPless理論的稀疏微波成像波形分析方法

趙 曜張冰塵 洪 文 吳一戎

(中國科學院電子學研究所微波成像技術(shù)重點實驗室 北京 100190) (中國科學院電子學研究所 北京 100190)

稀疏微波成像回波數(shù)據(jù)可以建模為Toeplitz矩陣與地面場景的乘積，Toeplitz矩陣中的行向量為發(fā)射信號的時延。由于難于驗證Toeplitz矩陣是否符合經(jīng)典的稀疏信號處理中RIP等重建條件，因而分析稀疏微波成像采樣數(shù)與發(fā)射波形的關(guān)系十分困難。近年提出的RIPless理論表明如果矩陣的行向量是對一個概率分布的隨機抽取，并且該概率分布滿足一定的條件，那么可以從少量的采樣數(shù)據(jù)中恢復稀疏信號。Toeplitz矩陣適用于RIPless理論。該文首先介紹稀疏微波成像中觀測矩陣的構(gòu)造，然后利用稀疏信號處理中的RIPless理論分析波形中信號脈寬、帶寬和信號形式與稀疏微波成像采樣數(shù)的關(guān)系，進而比較不同波形對稀疏微波成像中的性能，最后通過仿真驗證了該方法的有效性。

稀疏微波成像；RIPless；壓縮感知；波形分析

1 引言

將稀疏信號處理引入微波成像技術(shù)，兩者有機結(jié)合形成的微波成像新理論、新體制和新方法稱為稀疏微波成像。稀疏微波成像利用場景的稀疏性先驗知識，通過少量觀測數(shù)據(jù)對場景進行重建。相比于傳統(tǒng)微波成像，稀疏微波成像可以減少數(shù)據(jù)量和系統(tǒng)復雜度。

稀疏微波成像中的觀測矩陣是指將地面場景映射為回波數(shù)據(jù)的變化矩陣，它與雷達系統(tǒng)密切相關(guān)。觀測矩陣的性質(zhì)決定稀疏微波成像的性能。稀疏微波成像中條帶式合成孔徑雷達回波為地面場景和發(fā)射波形的卷積，觀測矩陣即是Toeplitz矩陣。矩陣的每一行是發(fā)射波形的時移。良好的發(fā)射波形設計可以提高觀測矩陣的性質(zhì)以減少采樣數(shù)。

在稀疏信號處理中，針對觀測矩陣已經(jīng)提出許多評判準則，例如，限制等距條件(Restricted Isometry Property, RIP)，限制正交條件(Restricted Orthogonality Property, ROP)，精確重建條件(Exact Reconstruction Criteria, ERC)和互相關(guān)條件(Mutual Coherence, MC), RIP, ROP, ERC評判準則都非常難于計算，而MC條件估計的結(jié)果并不精確，許多矩陣不滿足MC條件，實際上仍可以稀疏重建。稀疏信號處理中常用的觀測矩陣為傅里葉矩陣或者隨機矩陣，以上評判準則都難以直接應用于Toeplitz矩陣，進而難以在稀疏微波成像條帶式合成孔徑雷達中發(fā)揮作用。

最近Candes提出的RIPless理論，將壓縮感知理論推廣到更平凡的條件，如果觀測矩陣中的行向量是對一個概率分布的隨機獨立抽取，并且該概率分布滿足完備性條件和不相干條件，則可以利用少量觀測數(shù)據(jù)恢復稀疏信號。與RIP相比，RIPless所要求的重建條件易于驗證并且理論界更優(yōu)。例如對于傅里葉矩陣，RIP要求采樣數(shù)為，而RIPless所要求的采樣數(shù)為，其中為被觀測信號非零元素個數(shù)，為被觀測信號長度。RIPless理論可以保證隨機矩陣、正交矩陣等符合稀疏重建的要求，并且該理論還可對Toeplitz矩陣形式的觀測矩陣恢復性能進行分析。由于條帶成像雷達的觀測矩陣通常為Toeplitz矩陣，可以利用RIPless理論分析不同波形構(gòu)成的觀測矩陣性質(zhì)。本文基于RIPless理論分析發(fā)射信號脈寬、帶寬和信號形式對觀測矩陣的影響，進而比較不同波形對稀疏微波成像中的性能。

現(xiàn)在出現(xiàn)了許多稀疏信號處理與雷達相結(jié)合的應用。正交頻分復用(OFDM)信號、隨機噪聲信號、Alltop波形都可以應用于稀疏微波成像中。目前這些應用大多基于實驗方法分析其性能，例如相變圖方法，在理論方面尚缺乏全面的分析。文獻[9]利用MC比較了Alltop波形和Chirp信號在稀疏微波成像中的性能。文獻[14]利用RIP分析了偽隨機信號在探地雷達中的應用。由于聚束式SAR和ISAR中的觀測矩陣為傅里葉矩陣，傅里葉矩陣滿足RIP條件，因而稀疏信號處理可以應用于聚束式SAR和ISAR。目前難以從理論分析波形對稀疏微波成像條帶式合成孔徑雷達模式中的影響。

本文的結(jié)構(gòu)如下。第2節(jié)介紹壓縮感知中的RIPless理論，第3節(jié)介紹稀疏微波成像中觀測矩陣的構(gòu)造。第4節(jié)利用RIPless進行了波形分析和仿真。第5節(jié)給出了結(jié)論。

2 RIPless理論[7,8]

(1)

其中是一個常數(shù)，則最優(yōu)化式(1)的解具有唯一性，并且以的概率等于。

3 稀疏微波成像模型[2]

合成孔徑雷達是遙感中微波成像的重要技術(shù)。本文考慮條帶式SAR成像模式，飛機沿直線飛行(方位向)，天線以垂直于飛行方向(距離向)發(fā)射脈沖。對于觀測場景，回波數(shù)據(jù)可以表示為：

(4)

其中

4 仿真和分析

發(fā)射波形是雷達中的關(guān)鍵問題，影響波形的主要因素有脈寬、帶寬和信號形式等。設計良好的波形可以提高觀測矩陣的性質(zhì)，進而提高稀疏微波成像的性能。本節(jié)由RIPless理論計算觀測矩陣的條件數(shù)和不相干參數(shù)的乘積，比較不同波形在稀疏微波成像中的性能。

一般來說，SAR成像算法包括兩個部分：距離壓縮和方位壓縮。因為兩個方向的處理方法類似，所以這里只分析1維信號形式。以下將逐一分析脈寬，帶寬和信號形式所產(chǎn)生的影響。

4.1 脈寬

本小節(jié)分析不同發(fā)射信號脈寬對于稀疏微波成像性能的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測距離為100 km，載頻為1 GHz，信號形式為線性調(diào)頻信號，帶寬為100 MHz。本仿真改變脈寬大小，比較觀測矩陣條件數(shù)和不相干參數(shù)的變化。圖1給出了觀測矩陣條件數(shù)和不相干參數(shù)及兩者乘積隨脈寬變化的曲線?？梢钥闯霾幌喔蓞?shù)隨著脈寬的增大而逐漸減小(如圖1(a))，而條件數(shù)基本保持不變(如圖1(b))。在觀測矩陣中，發(fā)射信號的脈寬越大，行向量中的非零元素個數(shù)越多，所以非相干參數(shù)就越小，而條件數(shù)與雷達點擴展函數(shù)密切相關(guān)，帶寬不變所以條件數(shù)基本相等。脈寬為0.5 μs和1.1 μs的仿真結(jié)果如圖2所示。仿真中對兩組數(shù)據(jù)同時進行25%降采樣，可以發(fā)現(xiàn)當脈寬為0.5 μs時成像失敗，成像結(jié)果中出現(xiàn)了許多虛假目標，而當脈寬為1.1 μs時成像成功，每個目標都得到正確重建。該仿真沒有考慮噪聲的影響。綜上，如圖1(c)所示隨脈寬增大而減少，即隨脈寬增大稀疏微波成像所需的采樣數(shù)減少。

4.2 帶寬

本節(jié)中分析不同帶寬對觀測數(shù)量的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測距離為100 km，載頻為1 GHz，信號形式為線性調(diào)頻信號，脈寬為1 μs。

圖1 及-脈寬曲線

圖2 不同脈寬下仿真結(jié)果

圖3 -帶寬曲線

圖4 -帶寬曲線

圖5 -帶寬曲線

圖6 不同帶寬下仿真結(jié)果

4.3 信號形式

本節(jié)分析信號形式對觀測數(shù)量的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測距離為100 km，載頻為1 GHz，帶寬為100 MHz，脈寬為1 μs。這里考慮3種信號形式線性調(diào)頻信號、隨機噪聲信號和正交頻分復用(OFDM)信號。線性調(diào)頻信號具有良好的匹配濾波性質(zhì)和抗多普勒偏移性質(zhì)，在雷達中有廣泛應用。由于隨機噪聲信號構(gòu)建的觀測矩陣具有良好的列不相關(guān)性，非常適宜稀疏微波成像應用。OFDM信號的頻譜與隨機噪聲信號類似，也可以應用于稀疏微波成像。表1給出了3種波形所構(gòu)建的觀測矩陣的條件數(shù)、非相干參數(shù)及兩者乘積?？梢钥闯鲇^測矩陣的條件數(shù)和非相干參數(shù)3種發(fā)射信號基本相等，相比而言，隨機噪聲信號最優(yōu)，OFDM次之，線性調(diào)頻信號再次之。綜上，在稀疏微波成像中隨機噪聲信號和OFDM信號的性質(zhì)略優(yōu)于線性調(diào)頻信號，不過它們?nèi)咧g的差異并不大。該結(jié)果與文獻[13]中相變圖分析結(jié)果一致。

表1 3種信號形式的條件數(shù)、非相干參數(shù)及兩者乘積

5 結(jié)論

RIPless理論適用于稀疏微波成像觀測矩陣的分析，通過RIPless理論可以比較稀疏微波成像發(fā)射波形對成像性能的影響。目前采用仿真方法分析了發(fā)射信號脈寬、帶寬和信號形式、采樣數(shù)對圖像重建效果的影響。如何直接建立發(fā)射信號與RIPless理論中條件數(shù)與非相干參數(shù)之間的理論關(guān)系需要進一步研究。

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RIPless Based Radar Waveform Analysis in Sparse Microwave Imaging

Zhao Yao Zhang Bing-chen Hong Wen Wu Yi-rong

(National Key Laboratory of Science and Technology on Microwave Imaging, Beijing 100190, China) (Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Echo data can be modeled as the product of the Toeplitz matrix and reflectivity of the observed scene. The row of the Toeplitz matrix is the time shift of the transmitted signal. Because it is difficult to verify whether the Toeplitz matrix satisfies the reconstruction condition (such as restricted isometry property) of sparse microwave imaging, analyzing the performance of the transmitted signal in sparse microwave imaging is a problem. RIPless, a new progress in sparse signal processing, shows that if the row of the matrix is an independent and identically distributed (i.i.d.) random vector drawn from a distribution, and this distribution satisfies certain conditions, then one can faithfully recover approximately sparse signals from a minimal number of measurements. The Toeplitz matrix satisfies RIPless. In this paper, we introduce the construction of the measurement matrix in sparse microwave imaging. Further, the relationship between pulse duration, bandwidth and waveform type, and the number of measurements in sparse microwave imaging are analyzed. The simulation results show the effectiveness of the proposed method.

Sparse microwave imaging; RIPless; Compressed sensing; Waveform analysis

TN958

A

2095-283X(2013)03-0265-06

10.3724/SP.J.1300.2013.13032

2013-03-29收到，2013-07-04改回；2013-07-10網(wǎng)絡優(yōu)先出版

國家“973”計劃項目(2010CB731900)資助課題

趙曜 yaozhao@mail.ie.ac.cn

趙 曜(1984-)，男，籍貫江西，北京航空航天大學博士學位，現(xiàn)在中國科學院電子學研究所工作，研究方向為小波分析、壓縮感知、稀疏信號處理、稀疏微波成像。

E-mail: yaozhao@mail.ie.ac.cn

張冰塵(1973-)，男，籍貫浙江，1996年獲得中國科技大學學士學位，1999年獲得中國科學院電子學研究所碩士學位，現(xiàn)任中國科學院電子學研究所研究員。研究方向為微波遙感與雷達技術(shù)、稀疏信號處理。

E-mail: bczhang@mail.ie.ac.cn

洪 文(1968-)，女，籍貫上海，北京航空航天大學博士學位，中國科學院電子學研究所研究員。主要研究方向為合成孔徑雷達成像與系統(tǒng)及其應用、極化/極化干涉合成孔徑雷達數(shù)據(jù)處理及應用、3維微波成像新概念新體制新方法等。E-mail: whong@mail.ie.ac.cn

吳一戎(1963-)，男，籍貫安徽，中國科學院院士，研究員，博士生導師，中國科學院電子學研究所所長，中國科技大學信息學院名譽院長。主要研究方向為微波成像理論研究、微波成像技術(shù)、雷達信號處理、高分辨率和干涉SAR系統(tǒng)技術(shù)、遙感衛(wèi)星地面處理與應用系統(tǒng)技術(shù)等。

E-mail: wyr@mail.ie.ac.cn