王立玲，王洪瑞，肖金壯，劉秀玲，薛瑞靜

（河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002）

穩(wěn)定平臺(tái)能隔離載體（導(dǎo)彈、飛機(jī)、戰(zhàn)車、艦船）擾動(dòng)，不斷測(cè)量平臺(tái)姿態(tài)和位置的變化，精確保持動(dòng)態(tài)姿態(tài)基準(zhǔn).國(guó)防武器裝備水平的發(fā)展，對(duì)裝備的快速反應(yīng)、穩(wěn)定瞄準(zhǔn)、跟蹤和打擊能力提出了更高的要求，因而對(duì)高精度穩(wěn)定跟蹤平臺(tái)的需求變得更為迫切［1－3］.現(xiàn)有的穩(wěn)定平臺(tái)基本上都是串聯(lián)結(jié)構(gòu)，由于本體過(guò)重和驅(qū)動(dòng)力小，使得其在大負(fù)載場(chǎng)時(shí)應(yīng)用存在難于控制的問題.因此，承載大、具有大工作空間和高動(dòng)態(tài)響應(yīng)的并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)成為熱點(diǎn)問題，受到學(xué)者的普遍重視.但是，由于少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析的復(fù)雜性和理論研究的滯后，限制了采用這類機(jī)構(gòu)作為新型的穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)的發(fā)展.

對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究大多集中在球面3自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)上.例如Gosselin等系統(tǒng)地研究了角臺(tái)型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并在1994年成功研制了稱為“靈巧眼”的攝像機(jī)自動(dòng)定位裝置［4－5］，球面2－DOF機(jī)器人機(jī)構(gòu)是所有轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相交于一點(diǎn)的空間結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)為繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng).由于制造相對(duì)簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)，結(jié)構(gòu)緊湊，特別適用于空間姿態(tài)變化的地方［6－7］.本文對(duì)并串聯(lián)型穩(wěn)定平臺(tái)的機(jī)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特性等方面進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究，根據(jù)機(jī)構(gòu)幾何特點(diǎn)，利用向量法和歐拉角法建立穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；設(shè)計(jì)了3－DOF穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)驗(yàn)裝置，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算進(jìn)行對(duì)比.結(jié)果表明，所建立的并串聯(lián)3－DOF穩(wěn)定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型準(zhǔn)確有效.

圖1 2－DOF球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2－DOF spatial gimbal mechanism

1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)說(shuō)明

3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)由如圖1 所示2－DOF 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)在其上的轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成.2－DOF 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)為空間5桿機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)副均為轉(zhuǎn)動(dòng)副，所有軸線皆匯交于一點(diǎn)O，2電機(jī)軸互相垂直.2－DOF 球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)做圍繞球心O 的轉(zhuǎn)動(dòng).電機(jī)3固連在2－DOF機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上，電機(jī)3的軸線垂直于該工作平臺(tái).

1.2 2－DOF球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

描述基坐標(biāo)系Ob－xbybzb，xb與電機(jī)1軸線一致，yb與電機(jī)2軸線一致，zb由右手螺旋法確定，動(dòng)坐標(biāo)系Om－xmymzm，xm，ym軸與工作臺(tái)OA，OC 方向一致，zm由右手螺旋法則確定，S1為沿OmA 的單位矢量，S2沿OE 的單位矢量，S3沿OC 的單位矢量.2－DOF球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是純轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)輸入為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角θ1、θ2，機(jī)構(gòu)輸出為繞xb軸的滾轉(zhuǎn)角θr，繞yb軸旋轉(zhuǎn)為俯仰角θp.

1.2.1 由θ1、θ2確定工作臺(tái)姿態(tài)矩陣

根據(jù)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，電機(jī)2通過(guò)框架5直接驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)，所以當(dāng)電機(jī)2轉(zhuǎn)過(guò)θ2時(shí)，S1向量為

當(dāng)電機(jī)1轉(zhuǎn)過(guò)θ1，向量S1不變，向量

由機(jī)構(gòu)幾何特點(diǎn)，向量S3既垂直于向量S1，也垂直于向量S2，向量S1，S2，S3滿足右手系

其中d＝｜S1×S2｜，則

則由電機(jī)輸入角θ1，θ2確定的上平臺(tái)姿態(tài)矩陣

1.2.2 根據(jù)θr，θp確定工作臺(tái)姿態(tài)矩陣

電機(jī)2直接驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)繞Y 軸旋轉(zhuǎn)，電機(jī)1驅(qū)動(dòng)框架1，框架1與框架2通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，框架2帶動(dòng)工作臺(tái)繞Xm軸旋轉(zhuǎn).根據(jù)工作臺(tái)可逆性原理，有工作臺(tái)姿態(tài)矩陣為

由式（6），（7）相等有

同理根據(jù)式（6），（7）相等可以推導(dǎo)2－DOF逆運(yùn)動(dòng)

實(shí)際工作平臺(tái)輸出轉(zhuǎn)角－30°≤θr≤30°，－30°≤θp≤30°，由式（8），（9）可以推導(dǎo)出電機(jī)1和電機(jī)2的輸入范圍，電機(jī)2輸入θ2范圍和工作臺(tái)輸出的俯仰角θp是一致的，所以－30°≤θ2≤30°.因式（9）是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)取最大時(shí)（θp＝0，θr＝30°），電機(jī)1的輸入－30°≤θ1≤30°.

1.3 3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)雅可比矩陣

3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)中繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度由電機(jī)3獨(dú)立控制，串聯(lián)在2－DOF球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)上，所以電機(jī)3的輸入θ3相當(dāng)于繞Z 軸的輸入θy（θy為偏轉(zhuǎn)角），即

根據(jù)式（8），（9），（12）有

其中J 為3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)雅可比矩陣

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)實(shí)驗(yàn)裝置

研制開發(fā)的3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)如圖2所示，系統(tǒng)檢測(cè)裝置有2軸水平傾角傳感器，用來(lái)檢測(cè)工作臺(tái)橫滾角和俯仰角，有2個(gè)檢測(cè)工作臺(tái)繞X 軸和繞Y 軸旋轉(zhuǎn)角速率的光纖陀螺儀，2－DOF球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)分別由2個(gè)直流電機(jī)通過(guò)平行四邊形連桿驅(qū)動(dòng)，串聯(lián)其上的工作臺(tái)由電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)做360°×n周期運(yùn)動(dòng).

圖2 3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)系統(tǒng)Fig.2 Overview of the 3－DOF parallel－series platform

2.2 結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)編程軟件采用在Matlab軟件中嵌入Canada Quanser公司QuaRC的方式實(shí)現(xiàn).在程序中讓電機(jī)2分別輸入0，15°，27°時(shí)，通過(guò)傾角傳感器的2模擬輸出量采集平臺(tái)輸出轉(zhuǎn)角，圖3為實(shí)際輸入輸出之間曲線，圖4－6為根據(jù)前面理論推導(dǎo)出的在電機(jī)2分別輸入0，15°，27°時(shí)，電機(jī)1輸入與工作臺(tái)滾轉(zhuǎn)角輸出的理論曲線.

圖3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Expriment result

圖4 理論推導(dǎo)結(jié)果Fig.4 Theoretical result

圖5 理論推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Theoretical result and expriment result

圖6 絕對(duì)誤差結(jié)果Fig.6 Absolute tolerance analysis

從圖3，4可以看出，理論推導(dǎo)的運(yùn)行學(xué)模型和實(shí)際平臺(tái)模型是一致的.從平臺(tái)逆運(yùn)行得知，在電機(jī)2輸入θp為0時(shí)，電機(jī)1的輸入與平臺(tái)輸出是一致的，即θ1＝θr，電機(jī)1的輸入－30°～30°；當(dāng)電機(jī)2的輸入θp是±15°時(shí)，θr最大輸出是30°，所以電機(jī)1輸入θ1－29°～29°；當(dāng)電機(jī)2輸入θp是－29°～29°時(shí)，θr最大輸出是30°，所以電機(jī)1輸入是－27°～27°.從圖4中可以看出當(dāng)電機(jī)2輸入不同角度時(shí)，電機(jī)2的輸入越大（工作臺(tái)俯仰角越大），對(duì)工作臺(tái)輸出的橫滾角輸出影響越大.

從圖3可以看出在電機(jī)2輸入為27°，電機(jī)1在輸入±24°附近時(shí)，出現(xiàn)橫滾角接近最大值30°，即工作臺(tái)在此情況下的最大輸入，系統(tǒng)出現(xiàn)奇異點(diǎn)；在電機(jī)2輸入為15°，電機(jī)1輸入±28°附近時(shí)，出現(xiàn)橫滾角接近最大值30°，即工作臺(tái)在此情況下的最大輸入，系統(tǒng)出現(xiàn)奇異點(diǎn)；在電機(jī)2輸入為0，電機(jī)1輸入±30°附近時(shí)，出現(xiàn)橫滾角接近最大值30°，即工作臺(tái)在此情況下的最大輸入，系統(tǒng)出現(xiàn)奇異點(diǎn).這和理論推導(dǎo)電機(jī)1輸入范圍是一致.

由式（3）得知，電機(jī)1輸入與工作臺(tái)俯仰輸出一致，圖5是在電機(jī)1輸入20°時(shí)，電機(jī)2理論輸出與實(shí)際輸出曲線，從圖中明顯看出理論推導(dǎo)與實(shí)際一致.從曲線可以看出在0和±30°附近誤差明顯偏大，這是由于在傳感器檢測(cè)邊緣，檢測(cè)精度偏低［8］，并且在±30°時(shí)工作臺(tái)輸出最大值，容易出現(xiàn)奇異點(diǎn).在圖6誤差曲線中間和兩側(cè)誤差明顯增大，也證實(shí)誤差理論變化的特點(diǎn).

3 結(jié)論

詳細(xì)分析了3－DOF并串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)的工作原理，建立了穩(wěn)定平臺(tái)的基坐標(biāo)和動(dòng)坐標(biāo)，運(yùn)用向量法和歐拉角法推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和雅克比矩陣.通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明工作臺(tái)俯仰是獨(dú)立的不受其他輸入影響，工作臺(tái)橫滾角輸出受工作的俯仰角影響，俯仰角度越大影響越大.這與理論推導(dǎo)完全一致.由于工作臺(tái)方位角是由串聯(lián)在俯仰和橫滾上的電機(jī)獨(dú)立控制的，所以方位角的精度由檢測(cè)精度和控制精度決定.此機(jī)構(gòu)工作空間對(duì)稱、范圍大，能夠承受重載，是一種理想的穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu).

［1］ HILKERT J M.Inertially stabilized platform technology［J］.IEEE Control Systems Magazine，2008，1：26－46.

［2］ MOKBEL H F，Lü Qiongying，ROSHDY Amr A，et al.Modeling and optimizatin of electro－optical dual axis inertially stabilized platform［Z］.2012International Conference on Optoelectroniss and Micrelectronics，Changchun：2012.

［3］ DENG Ke，CONG Shuang，SHEN Honghai.Control strategies and error compensation methods of high precision gyro stabilized platform［Z］.30th Chinese Control Conference，Yantai：2011.

［4］ 羅二娟，牟德軍，趙鐵石，等.耦合型三自由度并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)特征［J］.機(jī)器人，2010，32（5）：681－687.LUO Erjuan，MU Dejun，ZHAO Tieshi，et al.A 3－DOF coupling parallel mechanism for stabilized platform and its motion characteristics［J］.Robot，2010，32（5）：681－687.

［5］ TSUMAK Y，NARUSE H，NENCHEV D N.Design of a compact 6－DOF haptic interface［Z］.Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Robotics＆Automation，Leuven，1998.

［6］ 劉善增，余躍慶，侶國(guó)寧，等.3自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45（8）：11－17.LIU Shanzeng，YU Yueqing，SI Guoning，et al.Kinematic and dynamic analysis of a three－degree－of－freedom parallel manipulator［J］.Journal of Mechanical Engineering，2009，45（8）：11－17.

［7］ 楊蒲，李奇.三軸陀螺穩(wěn)定平臺(tái)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2007，15（2）：171－176.YANG Pu，LI Qi.Design and realization of control system for three－axis gyro stabilized platform［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2007，15（2）：171－176.

［8］ 查峰，許江寧，黃寨華，等.單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)性誤差分析及補(bǔ)償［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，20（1）：11－17.ZHA Feng，XU Jiangning，HUANG Zhaihua，et al.Analysis and compensation for rotary errors of INS with single axis rotation［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2012，20（1）：11－17.

［9］ HUANG MingZ，LING Shouhung，SHENG Yang.A study of velocity kinematics for hybrid manipulators with parallelseries configurations［Z］.Proceedings of 1993IEEE International Conference on Robotics and Automation，Atlanta：1993.

［10］ ALON Wolf，MOSHE Shoham.Screw theory tools for the synthesis of the geometry of a parallel robot for a given instantaneous task［J］.Mechanism and Machine Theory，2006，41（5）：656－670.