陳桂秀,李生剛,趙 虎
1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710062 2.青海師范大學 數(shù)學系,西寧 810008
區(qū)間值度量空間的緊性和仿緊性
陳桂秀1,2,李生剛1,趙 虎1
1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710062 2.青海師范大學 數(shù)學系,西寧 810008
隨著模糊集理論的不斷發(fā)展和深入研究,由于客觀事物的復雜性和不確定性以及人類思維的模糊性和有限性,人們往往不能明確地給出屬性的信息量,即使大量的實驗也不能給出屬性值的具體數(shù)值,而只能給出一個區(qū)間范圍,即以區(qū)間的形式來表示,于是產(chǎn)生了區(qū)間數(shù)這一概念。國內(nèi)對區(qū)間數(shù)的研究主要以胡寶清教授、鄧聚龍教授、徐澤水教授以及張興芳教授為代表,均取得了一些很好的結(jié)果;國外早在1931年Young就開始了區(qū)間數(shù)的研究,以Moore[1-3]為代表的眾多學者繼續(xù)研究,均取得了滿意的效果。
下面給出一些關(guān)于區(qū)間數(shù)、區(qū)間值度量空間的基本概念、相關(guān)關(guān)系和運算。
則稱ρ為X上的一個區(qū)間值度量,且稱(X,ρ)為一個區(qū)間值度量空間。
注1.2映射ρ:X×X→I(R+)是X上的區(qū)間值度量當且僅當ρ-=p1?ρ:X×X→[0,+∞)和ρ+=p2?ρ:X×X→[0,+∞)都是 X上的度量,這里 p1和 p2分別是從 R2到 x和 y軸的投影。
定 理 2.1 T1=T2=T3={W∈2X|若x∈W,則存在a?0使得B(x,a)?W},T3是X上的一個拓撲(稱由X上的區(qū)間值度量ρ誘導的拓撲,記作Tρ)。
定理2.2(X,Tρ)是X上的可度量化拓撲。
反過來,對每個 Bρ?(x,a)(x∈X,a∈(0,+∞)),B(x,a)?Bρ?(x,a)。由此可知Tρ=Tρ?,這里Tρ?是度量 ρ?誘導的 X上的拓撲。
推論2.1 (X,Tρ)是第一可數(shù)的T2空間。
證明 (1)?(2),(2)?(3),(3)?(4)類似于一般拓撲空間中的證明,只需證明(4)?(1)。
設(shè)(X,Tρ)是序列緊空間,A={Ai}為X的一個開覆蓋,下面分三步來證明A有有限子覆蓋:
步驟1存在區(qū)間數(shù)使得對于 X的子集A,只要diam(A)?λ,A就一定包含于A的某一個元素之中,這里diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}。若不然,假設(shè)對于每個i∈Z+,存在 Ei∈2X使得(?A∈A)。則對于每個i∈Z+,取 xi∈Ei。由 X是序列緊空間知序列{xn|n∈Z+}有一個子序列 xn1,xn2,…收斂于 X中的某個點 y。由于A是X的一個開覆蓋,故存在A∈A使得y∈A,由定理2.1知存在實數(shù)ε>0使得由于序列 xn1,xn2,…收斂于 y,所以存在正整數(shù)m,當i>m時有取 k∈Z+使得 k>m且從而有(?z∈Enk),這說明矛盾。使得 從而Un是G的一個加細。
注3.1本定理的證明參考了文獻[9]。
關(guān)于區(qū)間數(shù)理論的研究與應用受到了眾多學者越來越多的關(guān)注。本文研究了區(qū)間值度量誘導的拓撲所具有的緊性,并給出了一些等價關(guān)系及其證明,然后證明了該拓撲空間具有仿緊性。
[1]Moore R E.Interval analysis[J].New Jersey:Prentice Hall,1996.
[2]Moore R E.The automatic analysis and control of error in digital computation based on the use of interval number[M]. [S.l.]:John Wiley&Sons Inc,1965.
[3]Moore R E.Automatic local coordinate transformations to reduce the growth of error bounds in interval computation of solutions of ordinary differential equations[M].[S.l.]:John Wiley&Sons Inc,1965.
[4]劉旺金,何家儒.模糊數(shù)學導論[M].成都:四川大學出版社,1992.
[5]胡啟洲,張衛(wèi)華.區(qū)間數(shù)理論的研究及其應用[M].北京:科學出版社,2010.
[6]熊金城.點集拓撲講義[M].2版.北京:高等教育出版社,1998.
[7]程吉樹,陳水利.點集拓撲學[M].北京:科學出版社,2008.
[8]徐森林,胡自勝,金亞東,等.點集拓撲學[M].北京:高等教育出版社,2007.
[9]S?nmez A.On paracompactness in cone metric spaces[J]. Applied Mathematics Letters,2010,23:494-497.
CHEN Guixiu1,2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1
1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China 2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China
The definition of interval-valued metric spaces is introduced,according to the definition of compactness and their related equivalent relations in general topological spaces,the compactness and a set of equivalent relations of induced topological space by interval-valued metric are proved,the paracompactness of this induced topological space is discussed in the paper.
interval number;interval-valued metric space;compactness;paracompactness
給出了區(qū)間值度量空間的概念,根據(jù)一般拓撲學中緊性的相關(guān)定義及其等價條件,證明了由區(qū)間值度量誘導的拓撲具有的緊性及其一系列等價關(guān)系,討論了該誘導的拓撲空間具有仿緊性。
區(qū)間數(shù);區(qū)間值度量空間;緊性;仿緊性
A
O189
10.3778/j.issn.1002-8331.1204-0678
CHEN Guixiu,LI Shenggang,ZHAO Hu.On compactness and paracompactness in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49(23):45-47.
國家自然科學基金(No.11071151);陜西省自然科學基金(No.2010JM1005)。
陳桂秀(1972—),女,博士研究生,主要從事格上拓撲學與擬陣理論研究;李生剛(1959—),通訊作者,男,教授,博士生導師,主要研究格上拓撲學與擬陣理論。E-mail:shenggangli@yahoo.com.cn
2012-05-07
2012-08-13
1002-8331(2013)23-0045-03
CNKI出版日期:2012-09-06 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120906.0855.008.html