王連寶，胡小秋，芮紅鋒

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

高檔數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)必須具有良好的動(dòng)態(tài)特性[1]。角接觸球軸承是進(jìn)給系統(tǒng)普遍使用的支承軸承，其動(dòng)態(tài)特性直接影響進(jìn)給系統(tǒng)的整體性能。如今，角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性分析理論已經(jīng)比較完善，主要的難點(diǎn)集中在軸承動(dòng)態(tài)模型的求解方面，目前多選用Newton-Raphson法、Hook-Jeeve法和差分法等[2-4]。上述方法對(duì)迭代初值敏感，求解不易收斂[5]。與之相比，二次插值型粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法對(duì)邊界初值的設(shè)定沒有嚴(yán)格的要求，具有很好的全局尋優(yōu)能力。

1 軸承動(dòng)態(tài)特性分析的簡(jiǎn)化模型

1.1 幾何相容方程

對(duì)于內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)、外圈固定的角接觸球軸承，受到聯(lián)合載荷(軸向力Fa和徑向力Fr)作用前后位于角位置ψj處的球心與內(nèi)、外溝曲率中心的相對(duì)位置關(guān)系如圖1所示。根據(jù)圖1的變形幾何條件得

圖1 球心與內(nèi)、外溝曲率中心的位置關(guān)系

(1)

(2)

式中：fi，fe分別為內(nèi)、外溝曲率系數(shù)；δij，δej分別為內(nèi)、外溝道的法向接觸變形量；Dw為球直徑；Kij，Kej分別為內(nèi)、外溝道的接觸剛度；Qij，Qej分別為內(nèi)、外溝道的法向接觸載荷；xaj，xrj，A′aj，A′rj為與球心和內(nèi)、外溝曲率中心坐標(biāo)相關(guān)的變量；j=1，2，…，Z；Z為球數(shù)。

1.2 內(nèi)圈力平衡方程

在Fa和Fr作用下，軸承處于受力平衡狀態(tài)，對(duì)內(nèi)圈有

(3)

(4)

式中：αij，αej分別為內(nèi)、外接觸角。

1.3 動(dòng)態(tài)模型簡(jiǎn)化前、后的比較

文獻(xiàn)[2,5-6]中的動(dòng)態(tài)模型包含一系列輔助方程和4Z+2個(gè)主方程，主變量較多且彼此耦合，增加了算法的復(fù)雜性，也降低了計(jì)算精度，需要對(duì)動(dòng)態(tài)模型的主方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化并尋找新的算法。

與以往的動(dòng)態(tài)模型相比，簡(jiǎn)化模型中增加了2Z個(gè)輔助方程，主方程數(shù)目減為2Z+2個(gè)，縮減了主變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化了適應(yīng)度函數(shù)Fitness。

2 求解方法及流程

簡(jiǎn)化模型中變量Kij，Kej，Qij，Qej，δij，δej，xrj，xaj，A′rj和A′aj最終都是關(guān)于αij與αej的函數(shù)，其邏輯關(guān)系如圖2所示。

圖2 變量之間的邏輯關(guān)系

取一組接觸角αij與αej為粒子元素，適應(yīng)度函數(shù)Fitness由 (1) ～ (4) 式左邊表達(dá)式組成，即

|Expr3|+|Expr4|，

當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速不為零時(shí)，每個(gè)球受到離心力和陀螺力矩的作用，接觸角按一定規(guī)律變化。研究表明，在一定的外加載荷作用下，隨著轉(zhuǎn)速的升高，內(nèi)接觸角逐漸增大，外接觸角逐漸減小，且內(nèi)接觸角大于外接觸角。所以，在算法中設(shè)定約束條件為αej<αij。仿真表明：根據(jù)變量的實(shí)際意義確定未知量的約束條件，既提高了計(jì)算精度，又縮短了收斂時(shí)間。

PSO算法具有求解優(yōu)化問題的能力，但在處理復(fù)雜、多維變量多峰值的數(shù)學(xué)模型時(shí)仍然存在“早熟收斂”現(xiàn)象[6]，使得計(jì)算精度較低。為了改善這一問題，文中采用二次插值型PSO算法，該算法引入了基于二次插值的“早熟判斷和處理”機(jī)制，算法在出現(xiàn)粒子早熟時(shí)會(huì)跳出局部最優(yōu)，所以具有很好的全局優(yōu)化和局部探索能力。角接觸球軸承簡(jiǎn)化模型動(dòng)態(tài)接觸角的計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 動(dòng)態(tài)接觸角的計(jì)算流程

3 計(jì)算結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證簡(jiǎn)化模型的正確性和二次插值PSO算法程序的可行性與普適性，選擇常規(guī)軸承SKF B218和高精密軸承SNFA VEX 6/NS為例，同時(shí)為了與已知文獻(xiàn)[7-8]對(duì)比，下面僅計(jì)算軸承在不同軸向力和轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)接觸角。

3.1 SKF B218的分析

SKF B218的內(nèi)、外圈與鋼球材料均為GCr15鋼，主要參數(shù)見表1。

表1 SKF B218主要參數(shù)

3.1.1 動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)化模型和算法的驗(yàn)證

當(dāng)軸向力Fa=17.8 kN，轉(zhuǎn)速n取不同數(shù)值時(shí)，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算值與文獻(xiàn)值[7-8]見表2。由表2可以看出，低速時(shí)內(nèi)、外接觸角的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)值之間的相對(duì)誤差很小，在±0.21%以內(nèi)；隨著轉(zhuǎn)速的升高，計(jì)算誤差略微增大，但仍然較低，基本上在±1.09%以內(nèi)。這是因?yàn)樵谳S承轉(zhuǎn)速較低時(shí)，實(shí)際內(nèi)、外接觸角的差值較小，程序可以設(shè)定較小范圍(上、下邊界初值的差較小)的接觸角邊界初值；而高速時(shí)，實(shí)際內(nèi)、外接觸角的差值增大，需要設(shè)定較大范圍的邊界初值，致使計(jì)算誤差也偏大。

表2 計(jì)算值與文獻(xiàn)值的對(duì)比結(jié)果

圖4給出了軸承轉(zhuǎn)速n=15 000 r/min，軸向力Fa取不同值時(shí)內(nèi)、外接觸角的文獻(xiàn)值與計(jì)算值變化曲線。由圖4可知，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算值分別與對(duì)應(yīng)的文獻(xiàn)值變化趨勢(shì)相一致；當(dāng)軸向力較小時(shí)，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算誤差相對(duì)較大，達(dá)到±2.56%；隨著軸向力的增大，計(jì)算誤差減小，低至±0.31%。這是因?yàn)殡S著軸向力的增大，內(nèi)接觸角逐漸減小，外接觸角逐漸增大，兩者之間的差值呈現(xiàn)遞減的變化趨勢(shì)，所以當(dāng)軸向力較大時(shí)可以設(shè)定較小范圍的邊界初值，降低計(jì)算誤差。

圖4 軸承動(dòng)態(tài)接觸角隨軸向力的變化曲線

3.1.2 邊界初值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

軸承所受軸向力Fa=10 kN，轉(zhuǎn)速n=5 000 r/min工況下，內(nèi)、外接觸角分別選定不同的邊界初值時(shí)的計(jì)算結(jié)果見表3。由表3可以看出，隨著邊界初值設(shè)定范圍的擴(kuò)大，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算結(jié)果沒有一定的變化趨勢(shì)，這是由于PSO算法中初始化種群具有隨機(jī)性；并且，計(jì)算結(jié)果分別在[42.38°，43.45°]，[38.90°，40.13°]內(nèi)微幅震蕩，說明了此算法和程序具有很好的穩(wěn)定性，邊界初值對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很小。

表3 不同初值下的計(jì)算結(jié)果(SKF B218) (°)

3.2 SNFA VEX 6/NS的分析

SNFA VEX 6/NS是一種高精密的高速混合陶瓷球軸承，尺寸較小，其套圈材料為GCr15鋼，陶瓷球材料為Si3N4，主要參數(shù)見表4。

表4 SNFA VEX 6/NS的主要參數(shù)

當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速n=1.0×105r/min，軸向力Fa取不同數(shù)值時(shí)的文獻(xiàn)值[8]和計(jì)算值曲線如圖5所示。由圖5可知，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算誤差均在±4.31%以內(nèi)，說明此算法對(duì)高精密軸承同樣具有較高的計(jì)算精度。

圖5 軸承動(dòng)態(tài)接觸角隨軸向力的變化曲線

軸承在軸向力Fa=50 N，轉(zhuǎn)速n=1.0×105r/min工況下，內(nèi)、外接觸角分別選定不同的邊界初值時(shí)的計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 不同初值下的計(jì)算結(jié)果(SNFA VEX 6/NS) (°)

由表5可以看出，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算結(jié)果分別在[19.79°，20.72°]，[14.28°，15.27°]內(nèi)小幅波動(dòng)，說明了設(shè)定較大范圍的邊界初值對(duì)高精密軸承的計(jì)算結(jié)果影響不大，即上文算法適用于高精密軸承。

4 結(jié)論

(1)當(dāng)軸向力一定時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的增大，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算誤差呈現(xiàn)遞增的變化趨勢(shì)；當(dāng)轉(zhuǎn)速一定時(shí)，隨著軸向力的增大，計(jì)算誤差呈現(xiàn)遞減的變化趨勢(shì)。

(2)在軸向力、轉(zhuǎn)速變動(dòng)范圍較大時(shí)，內(nèi)、外接觸角的計(jì)算誤差小，說明提出的角接觸球軸承動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)化模型具有較高的正確性，應(yīng)用二次插值型PSO算法進(jìn)行求解具有很好的可行性與普適性。

(3)當(dāng)軸向力、轉(zhuǎn)速一定時(shí)，內(nèi)、外接觸角設(shè)定不同的邊界初值范圍，其計(jì)算結(jié)果均在較小區(qū)間內(nèi)變動(dòng)，說明該算法對(duì)動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)化模型的邊界初值敏感性較低，具有很好的穩(wěn)定性，適用于計(jì)算常規(guī)軸承和高精密軸承。