張玉廣

中國石油大慶油田有限責任公司采油工程研究院

火山巖儲層的大部分氣井需要增產改造后才能獲得可觀的工業(yè)氣流[1－3]。徐深氣田的火山巖類型多、儲集空間復雜、天然裂縫發(fā)育[4－6]，具有特殊的應力敏感性，造成了常規(guī)壓裂技術的不適應，最突出的問題是早期砂堵、改造規(guī)模小、增產效果差。2002年初步建立了火山巖壓裂的物理模型和數(shù)學模型[7]，形成了診斷火山巖壓裂中施工難點的評價參數(shù)標準[8]和“G函數(shù)”特征圖版[9]。但隨著勘探開發(fā)進程的不斷深入，新的情況要求必須開展火山巖儲層測試壓裂參數(shù)解釋新理論模型的研究。

1 擴展“G函數(shù)”的提出

“G函數(shù)”應用于壓裂壓力分析的基本思想是由Ken G.Nolte首先提出的[10]，從此廣為壓裂界所應用，并延續(xù)至今。傳統(tǒng)“G函數(shù)”是基于PKN模型，是二維模型，只對面積積分，它的導出有一個基本假設就是壓裂排量是恒定的，但由于設備等原因，可操作性差。針對大慶徐深氣田地質特點，經過多年研究和現(xiàn)場試驗形成了具有適應火山巖特色的變排量測試壓裂方法，其特點是簡單、方便靈活、節(jié)省時間、施工效率高。但對于高停泵、高濾失等火山巖儲層，應用傳統(tǒng)“G函數(shù)”分析時，經60余層的現(xiàn)場驗證其參數(shù)解釋的合理性較差，說明該方法還不能完全適應復雜的火山巖難壓儲層的測試壓裂。因此根據大慶油田火山巖的特點，建立了擴展“G函數(shù)”的數(shù)學模型，填補了國內外空白。

2 擴展“G函數(shù)”數(shù)學模型

2.1 假設條件

傳統(tǒng)“G函數(shù)”的數(shù)學模型在數(shù)學的推導過程中的一個基本假設是壓裂排量是恒定的。

擴展“G函數(shù)”理論及數(shù)學模型所考慮的其他假設與傳統(tǒng)“G函數(shù)”一致，但不同的是擴展“G函數(shù)”是三維模型，考慮體積濾失而對體積積分，特別是排量不再是恒定的。

2.2 “G函數(shù)”通解的數(shù)學求導

關井后的水力壓裂壓力分析通常用一個時間變量函數(shù)（“G函數(shù)”）來處理，假設其中的排量是恒定的。實際情況排量是變化的，所以引入擴展的“G函數(shù)”來分析。同時“G函數(shù)”是無量綱的函數(shù)，它涉及裂縫在泵注或壓降時間內的面積發(fā)育。裂縫的面積發(fā)育被假設是時間的冪律分布函數(shù)。

2.2.1 “G函數(shù)”基礎數(shù)學模型

通常，首先假設用不可壓縮的壓裂液壓開一條恒定高度的垂直裂縫。假設壓裂泵注在停泵前那段時間（或稱泵注時間）（tp）的裂縫是一直開啟，在有限的時間內裂縫并不會發(fā)生閉合。特別是假設參與濾失的裂縫區(qū)域在泵送停止后（t≥tp）一直不會改變，進一步假設關井后沒有初濾失，最后假設斷裂韌性（sf）和濾失系數(shù)（CL）不取決于時間。

當關井時間t＝tp時，凈壓力滿足：

這里“G函數(shù)”被定義為：

在排量恒定的情況下，產生的裂縫面積與時間存在以下關系：

這樣在關井時刻，產生的裂縫面積與時間有：

由此看來，可以計算標準的“G函數(shù)”以及應用于估算凈壓力曲線。

2.2.2 面積增長

當泵送速率是變量時，面積增長不再像早先預期的那樣簡單，但可能取決于注入排量。這樣變化的排量可以定義為時間的函數(shù)，而不是面積的函數(shù)。引入函數(shù)（s）為時間（s）產生的裂縫面積，轉化積分形式，實現(xiàn)由面積的積分到時間的積分的轉化。

這樣“G函數(shù)”轉化為：

假設在每個時間段（sn－1，sn）泵送速率i（s）是不變的，那么當時間段足夠小，i（s）在每個時間段內的開始到結束都是恒定的，這樣裂縫面積增長近似恒定排量的增長情況。即

s為時間段（sn－1，sn）內某一時刻。

現(xiàn)在“G函數(shù)”寫為：

式（8）既是滿足排量恒定的假設，同時又是實際恒定的（即所有in相同）。當排量變化，用數(shù)值計算驗證，檢驗方程（8）是否成立。隨機選取兩級排量（即排量只變化一次）來檢驗，表明方程（8）是成立的。

2.2.3 面積系數(shù)

現(xiàn)在擴展“G函數(shù)”的項：

式中每個因子都未知，但可以用時間段（sn－1，sn）內對應裂縫面積表示。即各項因子與時刻sn－1到sn的裂縫面積有關。其關系可以簡化為排量恒定的傳統(tǒng)“G函數(shù)”形式：

其中

當然Va有多種形式表示，但當排量為恒定的時候，每種形式的計算結果都一樣。當排量變化，用數(shù)值計算驗證是否成立。隨機選取兩級排量（即排量只變化一次）來檢驗，表明方程成立。

2.2.4 擴展“G函數(shù)”計算

“G函數(shù)”可以轉化表示為：

又有：

由于這是計算機常用方程，所以擴展“G函數(shù)”可以較容易計算。驗證：用計算獲取的凈壓力值檢驗凈壓力與擴展“G函數(shù)”呈線性關系。用兩級排量（即排量只變化一次）來檢驗，表明與傳統(tǒng)“G函數(shù)”結果一樣。同理完成多級排量變化的驗證。

3 擴展“G函數(shù)”和傳統(tǒng)“G函數(shù)”比較

測試新的方程是否適應不同情況，共做了4種排量方案做比較（表1），其他地質條件不變，其中濾失系數(shù)為液體總量為25.44m3，注入時間為40min，簡單的3層地質模型，沒有天然裂縫濾失。

將擴展“G函數(shù)”的數(shù)學模型加載到StimPlan全三維壓裂軟件中，編制形成了具有適用于火山巖的“Stim－Plan 6.10－DQYT”專用版本軟件，實現(xiàn)了徐深氣田火山巖儲層壓裂參數(shù)解釋新理論模型的軟件計算（圖1）。

經軟件計算，做凈壓力Pnet的不同“G函數(shù)”時間曲線，同時計算液體的濾失系數(shù)，其計算結果如表2所示。

對比發(fā)現(xiàn)，當排量不恒定注入測試，擴展的“G函數(shù)”比傳統(tǒng)的“G函數(shù)”適用性更好。在理想的地層模型中，如果僅是基質濾失存在，變排量對傳統(tǒng)“G函數(shù)”計算濾失系數(shù)的影響在20%以內。說明即使排量變化很大，擴展“G函數(shù)”也可準確計算出真實的地層液體濾失系數(shù)。

4 現(xiàn)場應用

通過應用不同解釋方法解釋火山巖疑難儲層11口井／31層，對比計算結果發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)場試驗的11口井／31層中包括了天然裂縫較發(fā)育、天然裂縫極其發(fā)育、低濾失、高度衰退、復合型5種“G函數(shù)”圖版類型，其中有4個層設計加砂符合率低于80%，其余27層設計加砂符合率均高于80%，加砂成功率達到87.1%，說明此技術工藝可較好地應用于火山巖儲層（表3）。因此，通過開展徐深氣田火山巖難壓儲層測試壓裂方解釋理論研究，實現(xiàn)了大慶火山巖的壓裂理論與國際壓裂理論的接軌。

表1 泵注程序表

圖1 具有大慶油田標識的StimPlan軟件圖

表2 兩種“G函數(shù)”計算的濾失系數(shù)對比表

5 結論

1）分析了傳統(tǒng)“G函數(shù)”在實際火山巖施工診斷中的不足，成功完成了擴展“G函數(shù)”的推導和驗證，對改進現(xiàn)場施工診斷認識提供了理論基礎。

表3 現(xiàn)場試驗井測試壓裂解釋結果數(shù)據表

2）建立了擴展“G函數(shù)”理論模型，可為解釋參數(shù)的確定和壓裂施工分析與控制提供依據，從而提高火山巖壓裂理論水平和測試壓裂解釋精度，進一步降低施工風險。

3）現(xiàn)場應用新理論模型，壓裂設計加砂符合率由72.4%提高到87.1%，從而解決了火山巖難壓儲層成功率低的問題。

符號說明

sf為 斷裂韌性，MPa·m1／2；CL為濾 失 系 數(shù)，10－4m／為泵注到裂縫閉合時間，min；tp為泵注時間，min；Af為裂縫壁面的最終單面面積，m2；pnet為凈壓力，MPa；g（t）為t時間內的“G函數(shù)”表達式，無因次；α為面積指數(shù)；θ為濾失指數(shù)；τ（a）為當裂縫面積為a時的時間，min；Va為按質量計算的排量總和，m3／min；rp為滲流面積，m2；s為泵注期間每個單元時間段，min；＾a（s）為s時刻產生的裂縫面積，m2；i（s）為s時刻的排量，m3／min。

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