鄧志姣 銀 燕

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院物理系，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

如何將機(jī)械振子的運(yùn)動(dòng)冷卻到量子區(qū)域已經(jīng)成為當(dāng)前一個(gè)重要的研究課題［1］.機(jī)械振子的冷卻不僅有助于研究和驗(yàn)證宏觀尺度下量子力學(xué)的一些基本問題，而且還能促進(jìn)機(jī)械振子在量子信息技術(shù)和精密測(cè)量技術(shù)中的應(yīng)用.目前，利用輻射壓力將電磁場(chǎng)和機(jī)械振子運(yùn)動(dòng)耦合起來的光機(jī)械系統(tǒng)［2］為機(jī)械振子的冷卻提供了一種有利的操作手段.最典型的光機(jī)械系統(tǒng)模型為一個(gè)F-P光腔，其一端鏡面固定，另一端鏡面作為機(jī)械振子可以自由運(yùn)動(dòng).但這種傳統(tǒng)光機(jī)械系統(tǒng)不能同時(shí)提高振子和光腔的品質(zhì)因子，因而抑制了冷卻的效果.

為克服該局限性，美國(guó)耶魯大學(xué)研究小組提出了一種新的薄膜嵌入式光機(jī)械系統(tǒng)［3］.其基本結(jié)構(gòu)為：在高品質(zhì)因子的F-P光腔中，與腔鏡面平行放置一個(gè)或若干個(gè)厚度約為50nm且具有一定透射率的SiN薄膜振子.通過從腔外輸入一束或若干束激光驅(qū)動(dòng)與薄膜振子耦合的腔內(nèi)電磁場(chǎng)模式，就能夠達(dá)到操控薄膜振子的運(yùn)動(dòng)甚至冷卻其運(yùn)動(dòng)到量子區(qū)域的目的.操控薄膜振子運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)哈密頓量與薄膜振子和電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系緊密相關(guān).而該耦合關(guān)系又與各個(gè)薄膜振子在腔中的位置有關(guān)，并且隨著振子數(shù)的增加變得異常復(fù)雜.因此，利用解析的方法求解該耦合關(guān)系非常困難.對(duì)于單個(gè)薄膜振子與電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系，已有文獻(xiàn)給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果［4］，而對(duì)于多個(gè)薄膜振子的情況其求解還不夠全面［5］.本文的目的是以腔內(nèi)有兩個(gè)薄膜振子的情況為例，介紹求解光腔中薄膜振子與電磁場(chǎng)耦合關(guān)系的基本原理和數(shù)值方法.根據(jù)該方法可以得到薄膜振子在腔內(nèi)任意位置處與電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系，從而方便研究人員選擇合適的薄膜振子的位置對(duì)振子進(jìn)行更加有效的冷卻.

1 求解薄膜振子與電磁場(chǎng)耦合關(guān)系的基本原理

如圖1所示，在一個(gè)兩端鏡面固定且全反的F-P光腔中，分別在q1和q2處放置兩塊相同的電解質(zhì)薄膜振子.它們的質(zhì)量均為m、振動(dòng)頻率均為ωm、反射率均為R.由于薄膜振子的引入，光腔會(huì)形成新的電磁場(chǎng)本征模式以及相應(yīng)的本征頻率.

圖1 F-P光腔中有兩個(gè)薄膜振子的薄膜嵌入式光機(jī)械系統(tǒng)示意圖

外加激光操控薄膜振子運(yùn)動(dòng)的原理為：外加激光驅(qū)動(dòng)腔內(nèi)的電磁場(chǎng)模式，腔內(nèi)的光子對(duì)振子產(chǎn)生輻射壓力會(huì)改變振子的運(yùn)動(dòng)；反過來，振子的運(yùn)動(dòng)會(huì)改變腔內(nèi)電磁場(chǎng)模式的本征頻率以及輻射壓力的大小.通過這種作用機(jī)制，腔的電磁場(chǎng)自由度與薄膜振子的運(yùn)動(dòng)自由度相互耦合起來.由后面即將給出的哈密頓量的形式可知，要得到薄膜振子和電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系關(guān)鍵是要求出放置薄膜之后腔模的本征頻率.假設(shè)薄膜振子的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光波的波長(zhǎng)，可以設(shè)腔內(nèi)的介電常數(shù)為［5］

其中，ε0為真空介電常數(shù)光波的波數(shù).由于腔的兩個(gè)鏡面全反，腔內(nèi)電場(chǎng)在x＝±3L處等于零，因此可以設(shè)腔內(nèi)的電場(chǎng)為

利用電場(chǎng)E（x）在q1和q2處的連續(xù)性條件，可得

綜合式（3）、（4），并消去E1、E2、E3、E4，可以得到波數(shù)k滿足的方程

當(dāng)振子的振動(dòng)頻率比鄰近腔模頻率間隔小很多時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)不會(huì)導(dǎo)致光子在不同的腔模之間相互轉(zhuǎn)換.因此可以只考察腔中的某個(gè)電磁場(chǎng)本征模式，其哈密頓量為分別為該本征模式的產(chǎn)生算子和湮滅算子；q、Q算子化后分別為①這種哈密頓量的形式是當(dāng)振子的振動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于鄰近兩個(gè)腔模頻率差時(shí)的一個(gè)近似的表達(dá)式.它可以從嚴(yán)格的哈密頓量取絕熱近似得到［6］..假如兩個(gè)薄膜振子在各自的平衡位置附近做微小振動(dòng)，可將該哈密頓量在振子運(yùn)動(dòng)的平衡位置處進(jìn)行泰勒展開，

Bn，?（Mn，?）、B′n，?（M′n，?）分別表示該電磁場(chǎng)本征模式與相對(duì)運(yùn)動(dòng)模式以及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模式的線性（平方）耦合強(qiáng)度，而Pn，?代表了兩種集體振動(dòng)模式和該電磁場(chǎng)模式三者之間的耦合強(qiáng)度.這些耦合強(qiáng)度都是腔模的本征頻率在振子的平衡位置處對(duì)q、Q及其組合的各階偏導(dǎo)數(shù).求出它們的大小就求得了薄膜振子與電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系.將這些耦合系數(shù)代入式（6）就能進(jìn)一步寫出操控薄膜振子運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)的哈密頓量②整個(gè)系統(tǒng)的完整哈密頓量等于式（6）加上薄膜振子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的自由哈密頓量［5］..

2 耦合關(guān)系的數(shù)值求解及結(jié)果分析

由以上分析可以看出，求耦合關(guān)系的核心在于求放置薄膜之后腔模的本征頻率，即求解方程（5）.方程（5）中含有三角函數(shù)，因此它的解有無窮多個(gè)并且具有一定的周期性.通過調(diào)試并選定k的取值范圍求得某個(gè)周期內(nèi)的本征頻率值ω1、ω2…ωv（假設(shè)一個(gè)周期有v個(gè)解）.當(dāng)q、Q在一個(gè)不大的區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)相同的k的取值范圍存在與格點(diǎn)（qi，Qj）一一對(duì)應(yīng)的v個(gè)本征頻率值.對(duì)于每一組（qi，Qj），可以通過二分法或者牛頓迭代法求本征頻率ω?（qi，Qj）（?＝1，2，…，v）.以q、Q為二維坐標(biāo)軸，則ω?就能按從小到大的順序組成v個(gè)本征頻率曲面.假設(shè)R＝0.7，L＝0.1m，k∈

原點(diǎn)，按照上述方法利用Matlab編程運(yùn)算可以得到三個(gè)本征頻率曲面，其等高線圖如圖2所示.

圖2 對(duì)應(yīng)q∈［q0-1.5×10-7，q0＋1.5×10-7］m，Q∈［Q0-0.5×10-7，Q0＋0.5×10-7］m范圍內(nèi)三個(gè)本征頻率曲面的等高線圖

圖3 對(duì)應(yīng)q∈［q0-1.5×10-7，q0＋1.5×10-7］m，Q∈［Q0-0.5×10-7，Q0＋0.5×10-7］m范圍內(nèi)第二個(gè)本征頻率ω2 及其一階偏導(dǎo)數(shù)?ω2／?q、?ω2／?Q 的等高線圖

利用已經(jīng)得到的每一組（qi，Qj）所對(duì)應(yīng)的本征頻率值ω?（qi，Qj）（?＝1，2，3），以及求偏導(dǎo)數(shù)的差分公式［7］可以進(jìn)一步求出耦合強(qiáng)度B?（q，Q）、B′?（q，Q）、M?（q，Q）、M′?（q，Q）、P?（q，Q）.圖3以本征頻率ω2為例，給出了耦合強(qiáng)度B2、B′2的等高線圖.若選?。剑╭0，0），由數(shù)值計(jì)算可知該點(diǎn)處B2＝1.03×1015Hz·m-1，B′2＝0Hz·m-1，M2＝2.31×1019Hz·m-2，M′2＝5.59×1021Hz·m-2，P2＝-2.57×1016Hz·m-2.假設(shè)m＝4×10-11kg，ωm＝2π×105Hz，溫度T＝300K③加上激光驅(qū)動(dòng)腔模之后，光機(jī)械耦合的強(qiáng)度會(huì)被放大.此外，再通過一些輔助手段（比如增大振子的有效振動(dòng)頻率），我們也可能實(shí)現(xiàn)在高溫下對(duì)薄膜振子運(yùn)動(dòng)的有效冷卻［8］.，可以＝-6.80×10-6Hz.因此僅保留電磁場(chǎng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)模式的線性耦合項(xiàng).哈密頓量式（6）變?yōu)?/p>

該哈密頓量表明當(dāng)薄膜振子處于平衡位置（q0，0）并考察腔的ω2本征頻率時(shí)，主要存在該電磁場(chǎng)模式與兩個(gè)薄膜振子相對(duì)運(yùn)動(dòng)模式的線性耦合.

通過改變薄膜振子運(yùn)動(dòng)的平衡位置，我們還可以得到其他的光機(jī)械耦合形式.例如選?。剑╭0-1.2×10-7，3×10-7）m，該平衡位置點(diǎn)附近ω2、?ω2／?q、?ω2／?Q的取值分布如圖4所示.由數(shù)值計(jì)算可知該點(diǎn)處B2＝3.03×1012Hz·m-1，B′2＝1.29×1015Hz·m-1，M2＝-2.20×1021Hz·m-2，M′2＝-1.35×1021Hz·m-2，P2＝-4.64×1021Hz·m-2.由各耦合項(xiàng)所產(chǎn)生的頻移大小為-1.23Hz.因此，當(dāng)平衡位置為（q0-1.2×10-7，3×10-7）m時(shí)，ω2所對(duì)應(yīng)的本征模式主要存在與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模式的線性耦合.哈密頓量式（6）變?yōu)?/p>

由式（7）、（8）可知，我們可以通過外加激光驅(qū)動(dòng)ω2所對(duì)應(yīng)的腔模，在平衡位置（q0，0）以及（q0-1.2×10-7，3×10-7）m處分別對(duì)振子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模式以及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行操控.所以通過選擇薄膜振子合適的平衡位置，就能構(gòu)造所需的薄膜振子與電磁場(chǎng)的耦合形式，從而有針對(duì)性地對(duì)振子的振動(dòng)模式進(jìn)行加熱或冷卻.而薄膜振子的平衡位置在實(shí)驗(yàn)上是通過一些機(jī)械裝置進(jìn)行調(diào)節(jié)的.

圖4 對(duì)應(yīng)q∈［q0-3×10-7，q0］m，Q∈［Q0＋2.5×10-7，Q0＋3.5×10-7］m范圍內(nèi)第二個(gè)本征頻率ω2 及其一階偏導(dǎo)數(shù)?ω2／?q、?ω2／?Q 的等高線圖

3 總結(jié)

本文以光腔中有兩個(gè)薄膜振子的情況為例，介紹了計(jì)算薄膜振子與電磁場(chǎng)耦合關(guān)系的基本原理和數(shù)值方法.求解過程主要分為兩步：第一步建立模型得到放置薄膜之后腔模的本征頻率所滿足的方程；第二步具體數(shù)值求解該方程并計(jì)算各項(xiàng)耦合系數(shù).利用該方法可以計(jì)算任意多個(gè)薄膜振子在腔內(nèi)任意位置處與電磁場(chǎng)的耦合關(guān)系.這些計(jì)算為實(shí)驗(yàn)工作者選擇合適的薄膜振子位置對(duì)振子進(jìn)行更加有效的冷卻提供了理論基礎(chǔ).

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