廖麗芳，蔡如華

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引 言

股票市場(chǎng)的狀況通常是一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)繁榮與否的體現(xiàn)，它的繁榮和穩(wěn)定是國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)轉(zhuǎn)正常的重要標(biāo)志。對(duì)股票價(jià)格的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，可以提高投資者的市場(chǎng)回報(bào)，可以使國(guó)家政府職能部門對(duì)市場(chǎng)的監(jiān)管更加有效。因此，股票市場(chǎng)自設(shè)立以來(lái)就一直受到政府管理者、企業(yè)投資人以及融資人的關(guān)注。利用統(tǒng)計(jì)方法研究并預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

時(shí)間序列分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支，是動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)方法，用于解決很多實(shí)際問題，例如在經(jīng)濟(jì)中預(yù)測(cè)銷售量與在醫(yī)學(xué)中預(yù)測(cè)膽結(jié)石病發(fā)病率［10－11］。時(shí)間序列分析方法來(lái)預(yù)測(cè)并分析股價(jià)也得到廣泛的應(yīng)用，但是股票價(jià)格的變動(dòng)受到很多宏觀與微觀方面的影響，即受到很多噪聲的干擾，這就導(dǎo)致了在不同的，經(jīng)濟(jì)序列就表現(xiàn)出不一樣的特性。如果直接對(duì)其預(yù)測(cè)發(fā)展趨勢(shì)，則精確度會(huì)有所下降。

小波分析具有良好的多分辨分析能力，能夠自適應(yīng)地伸縮和平移時(shí)頻分析窗口的大小，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)時(shí)域和頻域的聯(lián)合分析，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它被廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析、圖像處理、地震勘探等領(lǐng)域。隨著小波分析的不斷發(fā)展，它在數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及金融領(lǐng)域也受到了廣泛的關(guān)注。如文獻(xiàn)［2］利用小波變換與時(shí)間序列分析對(duì)銷售額的預(yù)測(cè)，文獻(xiàn)［5］在混沌理論的基礎(chǔ)上把小波分析和最小二乘支持向量機(jī)結(jié)合起來(lái)對(duì)收益價(jià)格的預(yù)測(cè)，得到了很顯著效果。在文獻(xiàn)［4］中，運(yùn)用小波分析與時(shí)間序列分析結(jié)合起來(lái)，對(duì)滬鋁期貨進(jìn)行預(yù)測(cè)等等。在上述文獻(xiàn)的方法中，用到的小波基函數(shù)都是經(jīng)典小波與時(shí)間序列的結(jié)合，而經(jīng)典小波變換要求被分解信號(hào)的長(zhǎng)度必需為2的整數(shù)次冪，如果信號(hào)的長(zhǎng)度不是2的整數(shù)冪，則要通過延拓序列的長(zhǎng)度或減少序列長(zhǎng)度為2的整數(shù)冪倍，這樣就限制了應(yīng)用的范圍。為了避免這一缺陷，本文利用極大重疊離散小波變換（MODWT）對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解與重構(gòu)。MODWT 是在小波變換的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的，它對(duì)信號(hào)分解與重構(gòu)的時(shí)候?qū)π盘?hào)的長(zhǎng)度沒有要求，適用性更廣。

本文主要是通過極大重疊離散小波變換，把股票數(shù)據(jù)進(jìn)行分解與重構(gòu)，然后得到不同層次的信號(hào)，再利用ARMA模型對(duì)序列進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)。

1 極大重疊離散小波變換［6］

設(shè)一個(gè)長(zhǎng)度為N＝2n，n∈Z＋的時(shí)間序列｛Xt：t＝0，…，N－1｝，設(shè)｛hl：l＝0，…，L－1｝是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小波濾波器，其滿足以下條件

即小波濾波器其元素和必須為零，必須有單位能量，同時(shí)也必須與身身的偶數(shù)平移正交。通過小波濾波器｛hl｝來(lái)定義尺度濾波器｛gl｝，它們兩個(gè)有如下關(guān)系

根據(jù)Mallat算法可以得到在尺度j下的小波系數(shù)（細(xì)節(jié)信號(hào)）與尺度系數(shù)（光滑信號(hào)）分別如下

利用Mallat算法可以得到

2 ARMA（p，q）模型［1］

ARMA（p，q）模型是時(shí)間序列分析的重要方法，由自回歸模型（簡(jiǎn)稱AR（p）模型）與滑動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱MA（q）模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成。把具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記ARMA（p，q）

判斷一個(gè)時(shí)間序列是屬于AR（p）模型，MA（q）模型還是ARMA（p，q）模型，其基本原則是根據(jù)序列的自關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)來(lái)選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。AR（p）模型，MA（q）模型和ARMA（p，q）自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的的性質(zhì)為表1所示。

表1 模型的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

ARMA（p，q）模型只適用于平穩(wěn)序列進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，而當(dāng)一個(gè)序列是非平穩(wěn)的時(shí)候，只有通過把序列轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列才能用ARMA（p，q）模型進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)。把一個(gè)非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，通?？梢酝ㄟ^差分的形式實(shí)現(xiàn)。

3 M－ARMA時(shí)間序列分析方法

把極大重疊離散小波變換與時(shí)間序列分析結(jié)合在一起，對(duì)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。用小波方法來(lái)對(duì)一個(gè)時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)間預(yù)測(cè)的時(shí)候，首先是對(duì)該序列時(shí)間進(jìn)行MODWT變換及分解，然后再對(duì)分解后的每一層的序列用ARMA（p，q）模型進(jìn)行擬合，最后利用每一層的擬合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，則總的序列預(yù)測(cè)值為各層預(yù)測(cè)值的總和，即

利用基于MODWT 處理時(shí)間序列的優(yōu)點(diǎn)：

（1）可以將含有綜合信息的一組序列分解成只含有單一特征的信號(hào)，分別用不同的模型來(lái)進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)。

（2）利用MODWT 對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解的時(shí)候，不像DWT 一樣序列長(zhǎng)度必須為2的整數(shù)冪，它對(duì)序列的長(zhǎng)度沒有要求。

（3）MODWT分解出來(lái)的時(shí)間序列，每一層的系數(shù)都具有與原來(lái)時(shí)間序列有相同的長(zhǎng)度，對(duì)信息的提取比DWT更完整。

為了證明本文的方法較傳統(tǒng)時(shí)間序列方法更有效，將在下一章節(jié)里分別運(yùn)用傳統(tǒng)時(shí)間序列方法與M－AMA 時(shí)間序列方法來(lái)對(duì)股票的序列時(shí)間擬合及其預(yù)測(cè)。

4 實(shí)例論證

本例選取的是中小企業(yè)的華邦制藥從2010年1月4日至2012年3月8 日共515個(gè)交易日的收盤價(jià)作為研究數(shù)據(jù)，全部數(shù)據(jù)分為兩部分，其中2010年1月4日至2012年3月1日的數(shù)據(jù)用于建立模型，剩下的5個(gè)數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)模型的檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧軟件。采用長(zhǎng)度為8的“最接近對(duì)稱”小波（LA8小波）濾波器進(jìn)行極大重疊離散小波變換，將股票數(shù)據(jù)｛Xt｝進(jìn)行3層分解。本文所有的運(yùn)算軟件為matlab7.0和SAS9.2。圖1為原始數(shù)據(jù)的時(shí)序圖。

圖1 原始時(shí)間序列

從圖1我們可以看出，原股票數(shù)據(jù)收盤價(jià)的變動(dòng)呈現(xiàn)明顯的非線性特征，不僅局部波動(dòng)劇烈，而且在大尺度的時(shí)間范圍也是上下波動(dòng)劇烈的，是一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列。下圖是用最接近對(duì)稱小波LA8小波對(duì)原始序列進(jìn)行極大重疊小波分解與重構(gòu)后得到的光滑信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)。

圖2 小波分解后的序列

圖2中，圖2（a）表示時(shí)間序列經(jīng)過小波分解后得到的光滑序列，圖2（b）－（d）分別是經(jīng)過小波分解后得到的細(xì)節(jié)信號(hào)。從上面我們可以知道，經(jīng)過小波分解后，光滑信號(hào)與原來(lái)時(shí)間序列的信號(hào)有相同的趨勢(shì)，但是卻比原來(lái)信號(hào)光滑與單一，表現(xiàn)出了低頻數(shù)據(jù)的性質(zhì)，屬于非平穩(wěn)序列。細(xì)節(jié)信號(hào)卻表現(xiàn)了高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，但表現(xiàn)出平穩(wěn)性。

首先我們對(duì)分解后的細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行ARMA模型擬合。由于光滑部分是是帶有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列，為了能夠用ARMA模型，現(xiàn)在對(duì)序列進(jìn)行二階差分，二階差分后可以得到圖形。

圖3 二次差分后的圖像

從圖3我們可以看出，經(jīng)過二次差分后已經(jīng)消除趨勢(shì)的影響，序列基本平穩(wěn)。為了進(jìn)一步判斷平穩(wěn)性，還要進(jìn)一步看考察自相關(guān)與偏自相關(guān)圖，如圖4所示。

圖4 二次差分后的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖

從自相關(guān)圖我們可以知道，序列經(jīng)過二階差分后的自相關(guān)系數(shù)緩慢衰減，仍然有很強(qiáng)的自相關(guān)性，偏自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出截尾的性質(zhì)。結(jié)合圖形經(jīng)過多次試驗(yàn)與對(duì)比，除去不顯著變量，選擇最小的AIC 值，最后選取p＝4，q＝2，即建立ARMA（4，2，2）模型，通過SAS軟件建立華邦制藥股票收盤價(jià)的ARMA（4，2，2）模型，最后建立的模型如下

同理，分別對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)D1，D2，D3 建立模型，其模型分別為ARMA（4，（2，4））模型，ARMA（6，1）模型，ARMA（5，2）模型，其模型口徑分別為

用同樣的方法，對(duì)原來(lái)的股票序列進(jìn)行了ARMA模型建模，得到的模型為ARMA（（5），1，（5））

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文提出方法的有效性，將結(jié)果分別用M－ARMA模型和傳統(tǒng)的ARMA模型兩種方法進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了未來(lái)五天的股票收盤價(jià)預(yù)測(cè)，其中我們采用了相對(duì)誤差來(lái)評(píng)價(jià)，相對(duì)誤差越小，說明模型就越好。比較結(jié)果見表2。

表2 模型比較

將中小企業(yè)華邦制藥的510個(gè)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行3層分解，對(duì)不同的尺度上分解的信號(hào)，分別采用不同的ARMA模型擬合及預(yù)測(cè)，最后的預(yù)測(cè)值等于各尺度預(yù)測(cè)值之和。從表2的相對(duì)誤差可以知道，對(duì)于股票收盤價(jià)的預(yù)測(cè)，總體上來(lái)說基于MODWT的時(shí)間序列方法要好于傳統(tǒng)的ARMA 方法，預(yù)測(cè)結(jié)果從實(shí)證角度檢驗(yàn)了M－ARMA的方法在股票收盤價(jià)短期預(yù)測(cè)上的優(yōu)勢(shì)預(yù)測(cè)。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過對(duì)股票收盤價(jià)序列進(jìn)行尺度為3的MODWT分解，分解出來(lái)的序列的長(zhǎng)度與原時(shí)間序列長(zhǎng)度相同，發(fā)現(xiàn)在不同的尺度，時(shí)間序列表現(xiàn)出不同的性質(zhì)特征，且分解后的序列結(jié)構(gòu)比原序列相對(duì)比較單一。根據(jù)不同性質(zhì)特征的序列，提出了M－ARMA 預(yù)測(cè)方法，即在不同的尺度采用不同的ARMA模型進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MARMA模型方法比具有綜合信息的原時(shí)間序列只用一個(gè)模型來(lái)建模預(yù)測(cè)的效果更好，預(yù)測(cè)精度更高。圖5也同樣表明，用M－ARMA 方法擬合誤差更小，效果更好，該方法具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。

圖5 小波ARMA 方法擬合效果

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