錢夕元 張超

摘要 針對EVaR （Expectilebased Value at Risk） 風險度量提出了基于GARCH類和SV波動率模型的EVaR風險度量計算方法，即EVaR計算的參數(shù)模型方法并基于模擬學生t分布時間序列數(shù)據(jù)，給出EVaR樣本外預測的失敗率檢驗方法：Kupiec失敗率檢驗和動態(tài)分位數(shù)（DQ）檢驗法與采用CARE （Conditional Autoregressive Expectile）模型的EVaR計算方法進行了對比研究，結(jié)果表明基于GARCH類模型和SV模型相對于基于CARE模型有更優(yōu)的EVaR預測效果.選取2004年1月5日到2009年12月30日的國內(nèi)外五個股票市場指數(shù)數(shù)據(jù)，針對日對數(shù)收益率進行了EVaR風險度量的實證研究，得出在金融危機期間，基于參數(shù)模型的EVaR預測要比基于CARE模型的EVaR預測更接近市場實際風險.

關鍵詞 EVaR；CARE模型；GARCH類模型；SV模型

中圖分類號F224.7 文獻標識碼A

1引言

在現(xiàn)代金融理論中，風險的定義、分析和管理的理論方法占據(jù)著重要的地位.風險度量和風險管理已成為各大商業(yè)銀行，投資銀行，機構(gòu)投資者乃至個人投資者管理資產(chǎn)的一個必備工具.在眾多風險度量方法中，在險價值VaR （Value At Risk）最早由J. P. Morgan提出的一種風險度量方法，該方法以“簡單實用，適用廣泛”的特點廣受歡迎，并且迅速成為風險分析中的一種主要方法.VaR的計算一般有三種方法：一是參數(shù)方法，應用ARCH和SV模型來描述隨機波動率，進而求得VaR的估計；二是非參數(shù)方法，包括蒙特卡洛模擬法和歷史數(shù)據(jù)模擬法；三是半?yún)?shù)方法.

為評價風險度量方法，Artzner等提出了風險度量的一致性公理[1].若某種風險度量滿足平移不變性、單調(diào)性、次可加性以及正齊次性這四個條件，則稱該風險度量為一致性風險度量.只有一致性風險度量才能充當投資組合管理工具.而VaR風險度量不滿足次可加性，從而不是一致性風險度量，用VaR進行風險度量時，投資組合的風險不一定小于各單個資產(chǎn)的風險之和，這就違背了風險分散化的投資準則.

為了克服VaR風險度量的上述缺陷，Rockafeller和Uryasev提出了條件在險價值CVaR（Conditional Value At Risk）風險度量方法[2].Acerbi和Tasche的研究指出CVaR是一個一致性風險度量[3].

不論VaR還是CVaR模型，均屬于基于分位數(shù)（quantile）的風險度量，度量的是資產(chǎn)分布在下尾部的極值所造成的風險，都只與資產(chǎn)收益的尾部特征有關，而沒有涉及收益的整個分布情況.Kuan等指出expectile在分布形式上比quantile更有全局的依賴性，VaR的計算只與收益分布的尾部取值的大小以及取相應值的概率有關，從而改變一個分布的上尾形狀并不會改變VaR的取值大小，但它卻影響所有的expectile[4].基于expectile以上的優(yōu)點，Kuan等提出了一個基于expectile的風險度量測度EVaR（Expectilebased Value at risk） [4].EVaR風險度量比VaR對極值變化的反應更加敏感，并且對資產(chǎn)收益的整個分布都是敏感的.另外，Rossi和Harvey的研究表明，當謹慎性水平小于0.5時，EVaR是一致風險度量[5].因而EVaR是比VaR具備更優(yōu)良性質(zhì)的一種風險度量.最近，F(xiàn)abian 和Thomas[6]以及姚宏偉[7]基于expectile提出了一些新的模型.

Kuan等提出了兩類條件自回歸expectile （Conditional Autoregressive Expectile， CARE）模型來計算EVaR[4]，基于Newey和Powell提出的非對稱最小二乘（ALS）方法[8]來計算每一類模型，并做了兩類模型比較的理論研究，給出了模型選擇的判別方法.

但Kuan等提出的CARE模型[4]并沒有考慮異方差的情形，而金融數(shù)據(jù)很容易碰到異方差的情形，所以該模型在應用于金融數(shù)據(jù)時并不太合適.本文基于GARCH類和SV波動率模型研究EVaR風險度量的計算方法，即EVaR計算的參數(shù)模型方法，并基于模擬學生t分布時間序列數(shù)據(jù)，給出EVaR樣本外預測的失敗率檢驗方法：Kupiec失敗率檢驗和動態(tài)分位數(shù)DQ檢驗法，與采用CARE模型的EVaR計算方法進行對比評價，并將這些EVaR計算模型應用到國內(nèi)外股票市場指數(shù)收益數(shù)據(jù)進行風險估計，以評價各類模型在估計和預測不同股票市場EVaR風險的適用程度.

2 EVaR定義及計算模型

2.1EVaR的定義

最大化此條件似然函數(shù)即得出了參數(shù)的估計，進而利用式（4）遞推得到波動率的估計值.類似地可以得到EGARCH模型的估計.

3. 2SV模型的參數(shù)估計

SV模型的參數(shù)估計方法有偽極大似然QML （Quasi Maximum Likelihood）， 廣義矩估計GMM （Generalized Method of Moments）和馬爾可夫鏈蒙特卡洛MCMC （Markov Chain Monte Carlo）方法等.本文采用偽極大似然方法QML進行估計.

4 基于模擬數(shù)據(jù)的EVaR分析

首先生成兩組服從不同自由度的學生t分布的模擬數(shù)據(jù)，然后分別用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型建模，并進行模型估計，然后計算EVaR進行風險分析.為檢驗模型優(yōu)劣，給出了EVaR預測的兩種返回檢驗方法，進行評價研究.

4.1數(shù)據(jù)準備

由于金融資產(chǎn)收益的分布具有尖峰厚尾特性，本文采用自由度分別為3和5的學生t分布來生成模擬時間序列數(shù)據(jù)，各自生成的序列長度為700.如圖1所示.

4.2EVaR的計算

分別用CARE， GARCH， EGARCH和SV模型來計算服從學生t（3）和t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)在謹慎性水平為1%下的EVaR.對于每個估計模型，用模擬數(shù)據(jù)的前500個數(shù)據(jù)來得到模型的參數(shù)估計，然后向后滾動預測得到200個EVaR的值.

4.2.1基于CARE模型的EVaR計算

采用Kuan等的方法 [4]，表1和表2分別列出了用CARE1模型和CARE2模型計算兩組服從學生t分布模擬數(shù)據(jù)的EVaR所得的參數(shù)估計及相應的標準差.表1和表2中的倒數(shù)第二行給出模型計算EVaR的失敗率大小，即預測的EVaR大于相應模擬數(shù)據(jù)數(shù)值的次數(shù)在總體中所占的比例.表1和表2中的最后一行列出了學生t分布在謹慎性水平為1%下的EVaR對應的VaR的顯著性水平大小，從表1和表2中可以看出，服從t（3）分布的模擬數(shù)據(jù)比t（5）分布模擬數(shù)據(jù)模型計算的失敗率更接近于理論水平.

4.2.2基于GARCH類和SV模型的EVaR估計

由模型選擇的AIC和BIC準則，對于模擬數(shù)據(jù)，最終確定可以用GARCH（1，1）和EGARCH（1，1）模型來建模，為了客觀地與其他EVaR計算模型的結(jié)果相比較，假定波動率的新息序列服從標準正態(tài)分布.表3列出GARCH（1，1）模型估計兩條模擬時間序列的相關統(tǒng)計量，從表3中數(shù)值可以看出系數(shù)β1非常顯著，說明模擬數(shù)據(jù)的ARCH效應明顯存在，且GARCH模型預測EVaR的失敗率比CARE模型更為接近理論失敗率.

EGARCH（1，1）的波動率過程可表示為

從表4的結(jié)果可知，EGARCH的杠桿系數(shù)γ1的估計值都不為零，所以模型的杠桿效應是顯著存在的，EGARCH模型預測EVaR的失敗率與GARCH模型預測EVaR的失敗率是相同的.

表5給出了采用SVNormal模型估計服從學生t分布模擬數(shù)據(jù)的有關統(tǒng)計量.模型估計參數(shù)在5%顯著性水平下基本都顯著，且樣本外預測EVaR的失敗率與理論失敗率都比較接近.

4..3EVaR的返回檢驗（Back Testing）

為對選用模型進行評價比較，下面給出EVaR風險度量的返回檢驗方法.對于服從已知分布的模擬數(shù)據(jù)而言，每個謹慎性水平下的EVaR都對應于某一置信水平下的VaR，因而可以將VaR返回檢驗方法移植到EVaR風險度量中，形成EVaR的返回檢驗方法.本文將目前最常用的VaR返回檢驗方法：Kupiec失敗率檢驗法[11]和Engel和Managenelli的動態(tài)分位數(shù)（Dynamic Quantile， DQ）回歸檢驗法[12]移植得到EVaR的返回檢驗.

表6列出上面四種模型的預測EVaR的Kupiec失敗率檢驗結(jié)果，表中的P值表示拒絕原假設H0的最小的顯著性水平，P值越大，表明EVaR計算的準確度越高.從表6容易得出，在99%置信水平下Kupiec失敗率檢驗拒絕了t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)基于CARE2模型的EVaR預測，在95%置信水平下Kupiec失敗率檢驗拒絕了t（5）模擬數(shù)據(jù)基于CARE1模型的EVaR預測，但在95%置信水平下Kupiec失敗率檢驗均接受了基于GARCH（1，1），EGARCH（1，1）和SVNormal模型的EVaR預測.因而對于服從自由度分別為3和5的學生t分布的模擬時間序列數(shù)據(jù)EVaR預測而言，GARCH類和SV模型比CARE模型更有優(yōu)勢.

表7列出了各模型預測EVaR的DQ檢驗統(tǒng)計量及其對應的P值.由表7可知，在95%的置信水平下，DQ檢驗接受了CARE1，GARCH（1，1）以及EGARCH（1，1）模型的t（3）模擬數(shù)據(jù)EVaR的預測，在99%的置信水平下，DQ檢驗還接受了EGARCH（1，1）模型的t（5）模擬時間序列EVaR的預測，但檢驗均拒絕了CARE2， SVNormal模型對兩個模擬時間序列的EVaR的預測.從DQ檢驗的結(jié)果可得出，對于本文中服從t（3）和t（5）分布的模擬數(shù)據(jù)，基于GARCH類模型的EVaR預測優(yōu)于基于CARE模型的EVaR預測.

以上檢驗結(jié)果表明，對于具有尖峰厚尾特征的模擬數(shù)據(jù)，基于參數(shù)模型的 EVaR風險度量，GARCH類和SV模型略優(yōu)于CARE模型.考慮到實際中金融資產(chǎn)收益具有尖峰厚尾特性，采用GARCH類和SV模型來估計和預測資產(chǎn)收益的EVaR度量是較好的選擇.

5 基于EVaR的實證分析

5.1數(shù)據(jù)

選取2004年1月5日到2009年12月30日的上證綜指（SH），深圳成指（SZ），香港恒生指數(shù)（HZ），日經(jīng)225指數(shù)（Nikkei）以及納斯達克指數(shù)（Nasdaq）數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于大智慧證券分析軟件.為了便于分析的統(tǒng)一性，選取其中五個股指數(shù)據(jù)都有發(fā)布的日期，并將2004年1月5日到2007年12月28日之間的886個數(shù)據(jù)作為模型估計的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，將2008年1月2日到2009年12月30日之間的442個數(shù)據(jù)作為預測EVaR的樣本外數(shù)據(jù).

考慮如下日對數(shù)收益率：

圖2為各股指的日收盤價隨時間的變化，從圖中很容易觀察到國內(nèi)股指的波動性比美國、日本等成熟資本市場的股指的波動性要大，特別是在2008年、2009年全球金融危機時期，這表明國內(nèi)股市的風險在這期間比成熟資本市場股市的風險要更大.另一方面，恒生指數(shù)的走勢與大陸股市股指的走勢越來越具有一致性，日收益的相關性很高，因而它們的風險也應具有一定的相似性.

圖3刻畫了各股指對數(shù)收益率隨時間的變化圖.可以看出，各股指收益率的波動幅度在2008年金融危機后都明顯增強，這段時間股指的波動率更大.從收益率變動圖還可以看出，不論是國內(nèi)股指收益率還是國外股指收益率都呈現(xiàn)出一定的“波動率聚集”現(xiàn)象.

表8給出了各股指日對數(shù)收益率的描述統(tǒng)計量，由表可得，各股指對數(shù)收益率分布的JarqueBera正態(tài)性檢驗的P值均為0，均在99%的置信水平下顯著，因而所有股指的收益率序列都拒絕了正態(tài)分布的原假設.上證指數(shù)和深圳成指收益率序列的方差比日經(jīng)指數(shù)以及納斯達克指數(shù)收益率序列的方差要大，這說明國內(nèi)股票市場比國外股票市場的波動更為劇烈，風險更大，盡管它們的峰度系數(shù)比國外市場的峰度系數(shù)小，但所有股指收益率序列的峰度均大于3，都呈現(xiàn)出尖峰的特征.此外，各收益率序列的偏度系數(shù)均小于0，表現(xiàn)出左偏性.

表8最后一行給出了各股指收益率序列的單位根檢驗的結(jié)果，表明各收益率序列均為平穩(wěn)的時間序列，因而可以對它們直接進行分析和建模.

為進一步研究收益率序列的性質(zhì)，本文對收益率及其一階滯后項序列的回歸的殘差序列進行了ARCH效應檢驗，殘差序列的滯后階數(shù)分別取1階，2階和3階.從表9的檢驗結(jié)果來看，所有股指的收益率序列在滯后1～3階的ARCHLM檢驗的P值均小于0.01，即在99%的的置信水平下均拒絕原假設，因而各股指收益率序列都存在顯著的高階ARCH效應，波動率序列表現(xiàn)出較強的序列相關性.

5.2基于CARE模型的各股指收益率序列的

EVaR計算

首先估計謹慎性水平為1%條件下的各股指收益率序列的CARE模型，然后再計算樣本內(nèi)的EVaR，最后滾動預測樣本外每天股指收益的EVaR.表10給出了各股指收益率序列的CARE1模型的參數(shù)估計，括號內(nèi)給出了各參數(shù)估計所對應的標準差，用來確定模型階數(shù)的顯著性水平為10%，深證成指以及日經(jīng)指數(shù)所確定的滯后階數(shù)為3，而上證指數(shù)，恒生指數(shù)以及納斯達克指數(shù)所確定的滯后階數(shù)為4，每個模型的常數(shù)項估計值均為負，并且在99%的置信水平下均是顯著的.同樣地，表11給出了各股指收益率序列的CARE2模型的參數(shù)估計及其對應的標準差，除了納斯達克指數(shù)外，其余4個股指收益率序列采用CARE2模型估計的最后兩個參數(shù)在90%的置信水平下是顯著的，5個模型的滯后階數(shù)均為5.

為了更好地比較CARE1和CARE2兩類模型EVaR估計的效果，表10和表11的最后兩行分別給出了兩類模型估計EVaR的樣本內(nèi)和樣本外的失敗率，在謹慎性水平為1%的條件下，樣本內(nèi)估計EVaR的失敗率大部分位于3%-4%之間，而樣本外預測EVaR的失敗率全部大于10%，這說明在樣本外預測EVaR時，CARE模型低估了EVaR的大小，因而CARE模型不適宜用來預測金融危機時期的股指EVaR.另一方面，日經(jīng)指數(shù)和納斯達克指數(shù)的樣本外失敗率明顯大于國內(nèi)和香港市場股指的樣本外失敗率，這表明CARE模型更適合用于預測國內(nèi)和香港市場的股指風險.

5.3基于GARCH類和SV模型的各股指收

益序列的EVaR計算

表12列出了用GARCH（1，1）模型來估計5個股指收益率序列的有關統(tǒng)計量.首先由各收益率序列的偏自相關函數(shù)來確定AR模型的階，除了Nasdaq指數(shù)收益率序列建模的AR項的階數(shù)為1外，其余股指收益建模的AR項的階數(shù)均為0，并且所有股指的收益率序列GARCH模型的參數(shù)估計在5%的顯著性水平下均是顯著的.

各模型的樣本內(nèi)EVaR估計的失敗率均在4%至5%之間，而各模型的樣本外EVaR預測的失敗率比CARE1，CARE2模型的樣本外EVaR預測的失敗率都要低，這說明GARCH模型的樣本外EVaR預測效果比CARE類模型的樣本外EVaR預測效果好.

從圖3中各股指收益率序列圖可看出，前期正負收益對當期收益波動影響大小是不同的，因而采用EGARCH（1，1）模型對各股指收益率序列進行建模.表13給出了5個EGARCH（1，1）模型估計的有關統(tǒng)計量，各模型的新息取自自由度為10的學生t分布，其 1%下側(cè)expectile為-2.在95%的置信水平下，從樣本內(nèi)殘差的LjungBox檢驗結(jié)果可知，除了上證綜指收益率序列的新息存在一定的相關性，其他的幾個股指收益率序列的新息均沒有自相關性存在，上證指數(shù)，深證成指以及恒生指數(shù)的收益率序列的樣本內(nèi)新息序列拒絕了服從自由度為10的學生t分布的原假設，日經(jīng)225指數(shù)以及納斯達克指數(shù)的收益率序列的樣本外序列新息拒絕了服從自由度為10的學生t分布的原假設.5個EGARCH（1，1）模型的EVaR估計的樣本內(nèi)失敗率均小于對應的GARCH（1，1）模型的失敗率，而樣本外失敗率并無很明顯的變化.

綜合以上基于CARE1，CARE2，GARCH，EGACH，SV等5種模型的EVaR預測結(jié)果，比較得到的5個股指樣本外EVaR預測的均值可知，在金融危機期間，國內(nèi)股市和香港股市的風險明顯高于美國納斯達克指數(shù)和日本日經(jīng)225指數(shù)，其中美國納斯達克指數(shù)的風險是最低的.

6 結(jié)論

針對EVaR風險度量，本文提出了基于GARCH類和SV波動率模型的EVaR的計算方法，即EVaR計算的參數(shù)模型方法，給出了服從學生t分布模擬時間序列數(shù)據(jù)的EVaR樣本外預測的失敗率檢驗方法，對5個模型進行了比較評價，最后選取國內(nèi)外5個股票市場指數(shù)數(shù)據(jù)進行了EVaR風險對比分析實證研究.

從模擬時間序列數(shù)據(jù)的EVaR樣本外預測失敗率檢驗結(jié)果來看，在99%的置信水平下，Kupiec失敗率檢驗接受了大部分的模型，但DQ檢驗拒絕了兩類CARE模型以及SV模型，因而GARCH類模型對于服從學生t分布的模擬數(shù)據(jù)的EVaR預測表現(xiàn)最好，這說明用波動率模型來進行EVaR估計和預測是可行的.

實證研究結(jié)果表明，在金融危機期間，基于CARE模型計算的EVaR低估了市場的實際風險，而基于GARCH類模型和SV模型預測的EVaR更接近于市場實際風險.對于上證綜指，深圳成指以及恒生指數(shù)的EVaR預測，EGARCH模型要比SV模型更合理，對于日經(jīng)225指數(shù)以及納斯達克指數(shù)的EVaR預測，SV模型要比EGARCH模型更合理.今后可以考慮將單個資產(chǎn)收益的EVaR計算推廣到投資組合收益的EVaR，進而考慮將EVaR風險度量應用到更多的金融領域，如期貨市場，債券市場等.

參考文獻

[1]P ARTZNER， F DELBAEN， J M EBER，et al. Coherent measure of risk [J]. Mathematical Finance. 1999， 9（3）： 203-228.

[2]T ROCKAFELLAR， S URYASEV. Optimization of conditional valueatrisk [J]. Journal of Risk. 2000， 2（3）： 21-42.

[3]C ACERBI， D TASCHE. On the coherence of expected shortfall [J]. Journal of Banking & Finance. 2002， 26（7）：1487-1503.

[4]C M KUAN， J H YEH， Y C HSU. Assessing value at risk with CARE， the conditional autoregressive expectile models [J]. Journal of Econometrics. 2009， 150（2）： 261-270.[5]G D ROSSI， A HARVEY. Quantiles， expectiles and splines [J]， Journal of Econometrics. 2009， 152（2）： 179-185.

[6]F SOBOTKA， T KNEIB. Geoadditive expectile regression [J]. Computational Statistics and Data Analysis. 2012， 56： 755-767.

[7]姚宏偉. 基于Expectile的線性異方差模型[D].合肥： 中國科技大學數(shù)學科學學院， 2011.

[8]W K NEWEY， J L POWELL. Asymmetric least squares estimation and testing [J]. Econometrica. 1987， 55（4）：819-847.

[9]Q YAO， H TONG. Asymmetric least squares regression estimation： A nonparametric approach [J]. Journal of Nonparametric Statistics. 1996， 6（2/3）：273-292.

[10]D BELSON. Conditional heteroskedasticity in asset returns： a new approach [J]. Econometrica. 1991， 59（2）： 347-370.

[11]P H KUPIEC. Techniques for verifying the accuracy of measurement models [J]. Journal of Derivatives. 1995， 3（2）： 73-84.

[12]R F ENGEL， S MANAGENELLI. CAViaR： Conditional autoregressive value at risk by regressionon quantiles [J]. Journal of Business and Economic Statitics， 2004， 22（4）：367-381.