李愛民 江金環(huán)(北京工業(yè)大學,北京 100022)

非完整約束系統(tǒng)的正則對稱性*

李愛民 江金環(huán)
(北京工業(yè)大學,北京 100022)

本文研究了非完整約束正規(guī)Lagrange量系統(tǒng)在相空間中的對稱性質,導出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理;對非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在考慮非完整約束與系統(tǒng)的固有約束相容的基礎上,分析該系統(tǒng)在相空間中的對稱性質,導出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理。建立了非完整系統(tǒng)的一個積分理論,并對這兩種系統(tǒng)分別舉例,求出了相應的運動守恒量。

附加非完整約束;奇異Lagrange量;相空間;正則對稱性

0 引言

一個動力學系統(tǒng)所受到的附加(外在)約束除由幾何約束及可積分的微分約束外,還可受到不能積分的微分約束,這樣的系統(tǒng)就叫非完整系統(tǒng),該系統(tǒng)受到的附加(外在)不能積出的微分約束就叫做非完整約束。由于非完整約束系統(tǒng)動力學方程的積分十分困難,甚至系統(tǒng)的運動微分方程不可積,因此,對該系統(tǒng)運動守恒量的研究對了解該系統(tǒng)的物理狀態(tài)和運動就更加重要。非完整約束奇異系統(tǒng)不僅受非完整附加(外在)約束,而且由于描述該系統(tǒng)運動的Lagrange量奇異而導致相空間還存在固有(內在)約束[1],因而研究其相空間的對稱性與守恒量的關系就更加復雜,也更加有意義。

對非完整約束正規(guī)Lagrange量系統(tǒng),非完整約束結合正則動量的定義,可化為正則變量的函數(shù),本文先分析該系統(tǒng)在相空間中的對稱性質,導出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理;對非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在考慮非完整約束與系統(tǒng)的固有約束相容的基礎上(即非完整約束能化為正則變量 的函數(shù),且出現(xiàn)在相空間的附加約束與固有約束相容),分析該系統(tǒng)在相空間中的對稱性質,導出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理,這實際上給出了非完整系統(tǒng)的一個積分理論。并對這兩種系統(tǒng)分別舉例說明,求出了相應的運動守恒量。

1 正規(guī)Lagrange量系統(tǒng)

對非完整約束正規(guī)Lagrange量力學系統(tǒng),設描寫系統(tǒng)的Lagrange量為L),其中廣義坐標為qi(i=1,2,…,n),且系統(tǒng)所受的非完整外在約束記為

位形空間該系統(tǒng)的運動方程(ЧeTaeB型)為

利用Legendre變換,引入正則共軛動量[2]

對受非完整約束并用正規(guī)Lagrange量描述的廣義力學系統(tǒng),考慮增廣相空間中有限李群下的整體無窮小變換[4]

在(12)式的變換下,假設系統(tǒng)的正則作用量

假設變換(12)式所確定的等時變分δqi=△qi-△t適合下列條件

那么,用λw(t)乘(16)式后與(15)式合并,有

由于李群參數(shù)εσ獨立,從而得

這就得到非完整約束力學系統(tǒng)相空間的正則Noether定理:如果變換(12)式所確定的等時變分δqi適合(16)式(即約束加在虛位移上的條件),且系統(tǒng)的正則作用量在(12)式變換下適合(14)式,那么,該系統(tǒng)在相空間中存在r個正則形式的守恒量(19)式。

例1.一力學系統(tǒng)的Lagrange量為

利用系統(tǒng)的正則方程(11)式,即沿著系統(tǒng)運動的軌線,由(17)得

非完整約束條件為

其中J,k為常數(shù),x,y,θ為坐標參數(shù)[6]。

顯然時間平移變換下,系統(tǒng)的Lagrange量(20)式和非完整約束(21)式不變,從而(14)式中的,Ω= 0,此時變換(12)式中注意到(21)式是廣義速度的齊次函數(shù),δG,因而時間平移變換滿足(16)式,由(19)式得到系統(tǒng)的能量守恒,

這與用其他方法求得的結果相同[8]。

2 奇異Lagrange量系統(tǒng)

對非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),設描寫系統(tǒng)的Lagrange量為

且系統(tǒng)所受的附加非完整約束記為

由于Lagrange量的奇異性,該系統(tǒng)在相空間還存在固有(內在)約束[9],設決定系統(tǒng)運動方程的固有約束記為

設內在約束在等時變分下適合

將(10)和(26)式聯(lián)合,得非完整約束奇異系統(tǒng)的運動方程為

此時假定外在約束Gw=0,與內在約束φα=0,是相容,且由(3)式可解出的˙qi代入(24)式后,可化為正則變量qi,pi的函數(shù)可用正則變量qi,pi來表達。在此假設下,聯(lián)合(17)式和(26)式,并利用(27)式,可得非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)相空間的正則Noether定理:如果在(12)式變換下,系統(tǒng)的正則作用量的變更適合(14)式,且變換(12)式所確定的等時變分適合(16)式和(26)式,那么,此非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)在相空間中存在r個正則形式的守恒量(19)式。

例2.一動力學系統(tǒng)的Lagrange量為[10]

所受的附加非完整約束為

其中a為常數(shù)。

正則動量分別為

固有約束為

正則Hamilton量為

顯然在時間平移變換下,系統(tǒng)的Lagrange量(28)式和非完整約束(29)式(可用正則變量表達)不變,時間平移變換下,變換(12)式中τσ=1,ζiσ=0,ηiσ=0。注意到(29)式是廣義速度=的二次齊次函數(shù),因此,時間平移變換下,δqi分別滿足(16)式和(26)式,按(19)式,此非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)存在能量守恒

3 結論

非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在一定條件下,即非完整約束中出現(xiàn)的˙qi由正則動量的定義,可用來替代qi,pi且出現(xiàn)在相空間的附加約束與固有初級約束相容,此時對系統(tǒng)的描述可過渡到相空間形式,研究其正則對稱性。本文對非完整約束系統(tǒng)正則對稱性的研究,實際上給出了非完整系統(tǒng)的一個積分理論。當所研究的系統(tǒng)可轉化為一個約束Hamilton系統(tǒng),由正則約束隨時間演化的穩(wěn)定性,進一步可求出相空間的次級約束,從而,可研究該系統(tǒng)的量子化。

[1][4]Li A M,Jiang J H ,Li Z P.Canonical symmetry properties of constrained singular generalized mechan ical system[J].Chin.Phys,2003,(12):467-471.

[2][3]Li Z P,Jiang J H.Symmetries in constrained can onical systems[M].Beijing:Science Press,2002:35 -36.

[5]李子平.約束哈密頓系統(tǒng)及其對稱性質[M].北京:北京工業(yè)大學出版社,1999:170.

[6]梅鳳翔.非完整力學基礎[M].北京:北京工業(yè)學院出版社,1987:78.

[7]李子平,李愛民.約束系統(tǒng)的量子對稱性質[M].北京:北京工業(yè)大學出版社,2011:322.

[8]李子平.約束系統(tǒng)的變換性質[J].物理學報,1981, (12):1559-1671.

[9]李子平.約束系統(tǒng)正則形式的對稱性質[J].物理學報, 1992,(5):710-719.

[10]Li Z P,Wu B C.Symmetry in extended phase space for singular Lagrangian systems with subsidiary constraints[J].Int.J.Theor.Phys,1994,(33):1063-1075.

O412.3;O413.3

A

1672-9846(2013)03-0068-03

2013-07-22

國家自然科學基金項目“約束奇異系統(tǒng)的量子理論及其在凝聚態(tài)等領域的應用”(編號:10647102);北京工業(yè)大學博士科研啟動基金項目“約束奇異系統(tǒng)量子水平的變換性質及應用”(編號:52006015200701)。

李愛民(1964-),女,湖南臨湘人,北京工業(yè)大學應用數(shù)理學院副教授,博士,主要從事經(jīng)典與量子約束奇異系統(tǒng)的基本理論及應用研究。

江金環(huán)(1973-),女,河北邢臺人,北京工業(yè)大學應用數(shù)理學院講師,博士,主要從事量子場論研究。