賀 欣，張 媛

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

不定式極限是函數(shù)極限教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，許多不定式極限常常需要通過一系列頗具技巧的恒等變形才能計(jì)算出來.由于不同的題目需要不同的變形技巧，缺乏規(guī)律性，不易掌握.本文利用變量替換法，針對(duì)“1∞”型極限，給出了一個(gè)較為簡潔規(guī)范的方法，從而省去了繁瑣的變形，便于實(shí)際應(yīng)用.

1 不定式極限的定義及解法介紹

本文重點(diǎn)討論方法2的應(yīng)用.

利用恒等變形計(jì)算如下

這樣，找到一個(gè)更為通用易學(xué)的方法對(duì)初學(xué)者來說就很重要了，它不僅有助于解題，更有助于幫助初學(xué)者從繁瑣的變換中解放出來，將精力集中在對(duì)極限的掌握中，更好地理解重要極限的本質(zhì).下面介紹的變量替換法就可以達(dá)到這一目標(biāo).此方法的原理是:

⑵其中α→0，即α是x→0時(shí)的無窮小量.

因此首先必須將底數(shù)f(x)化為(1+α)的形式，即做變量替換f(x)=1+t，此時(shí)f(x)g(x)=(1+t)g(x)=，因?yàn)?，從?t→0，由于極限，所以只需計(jì)算出－1·g(x)］的極限即可.若(x)－1］·g(x)}=A，則

2 應(yīng)用舉例

下面我們通過實(shí)例來說明變量替換法的應(yīng)用.

解:令 sin x=1+t，則 t=sin x －1，所以時(shí)，t→0－，有

我們?cè)賮砜磧蓚€(gè)例子.

解:令1，當(dāng) x→0 時(shí)，t→0，從而

又因?yàn)?/p>

所以

3 補(bǔ)充說明

(1)本文是以方法2為重點(diǎn)討論的，事實(shí)上本文中的例1和例3應(yīng)用方法1去計(jì)算，也非常簡潔，不再贅述;

(2)有時(shí)，有些“1∞”型極限，用簡單的恒等變形計(jì)算來得更加簡單，如

從而

依然可行，但稍顯復(fù)雜.

通過上面的三個(gè)例子發(fā)現(xiàn)，盡管我們遇到的實(shí)際問題經(jīng)常不同，利用變量替換法求解“1∞”型極限時(shí)，由于其具有規(guī)律性，便于操作，避免了不同題目用不同的解法，難于尋找思路的困惑，同時(shí)也避開了繁瑣的恒等變形，使得計(jì)算變得更加簡潔，不失為一種簡單高效的計(jì)算方法.

吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集［M］.北京:人民教育出版社，1958.