毛建國

本章是在學習了有理數(shù)乘方的基礎上研究冪的運算：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法.這些運算是今后學習整式乘法運算的基礎.學習本章，要了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質，能正確運用這些性質進行計算，會用科學記數(shù)法表示數(shù).如何學好冪的運算？下面給出三點建議.

一、 牢固掌握四條運算性質是基礎

1. 同底數(shù)冪的乘法的運算性質：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用字母表示為：am·an=am+n（m、n是正整數(shù)）.

同底數(shù)冪的乘法法則是本章中的第一個冪的運算性質，也是整式乘法的主要依據(jù)之一，學習這個性質應注意以下幾點：

（1） 該表達式中，等式左邊是兩個冪相乘，且它們的底數(shù)相同；等式右邊也是一個冪，與左邊相比，底數(shù)不變，指數(shù)是左邊兩個指數(shù)的和.

（2） 底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：（x-2y）2·（x-2y）3=（x-2y）5，底數(shù)是多項式（x-2y）.

（3） 這個性質可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p是正整數(shù)）.

（4） 不要與整式加法混淆. 同底數(shù)冪乘法是只要求底數(shù)相同則可用法則計算，即底數(shù)不變指數(shù)相加，如：a4·a2=a4+2=a6；而整式加法法則要求兩個相同——底數(shù)相同且指數(shù)也必須相同，實際上是合并同類項，如：-3a4+2a4=（-3+2）a4=-a4，而a4+a2不能進行運算.

2. 冪的乘方的運算性質：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.用字母表示為：（am）n=amn（m、n是正整數(shù)）.

該性質的顯著特點就是將原來的乘方運算降次為乘法運算，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘.學習這個性質要注意兩點：

（1） 冪的底數(shù)a可以是具體的數(shù)，也可以是多項式.如[（x+y）3]2=（x+y）6，底數(shù)（x+y）是一個多項式.

（2） 要注意與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別和聯(lián)系.區(qū)別：冪的乘方是把指數(shù)相乘，同底數(shù)冪的乘法是把指數(shù)相加，不要出現(xiàn)下面的錯誤，如：（x3）5=x8，x3·x5=x15；聯(lián)系：兩種運算都是底數(shù)不變.

3. 積的乘方的運算性質：積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.用字母表示為：（ab）n=anbn（m、n是正整數(shù)）.

學習這個性質要注意：積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方：（a1·a2·…·an）m=a1m·a2m·…·anm，這樣方便運用，如：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3.

4. 同底數(shù)冪除法的運算性質：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用字母表示為：am÷an=am-n（m、n是正整數(shù)，m>n，a≠0）.

同底數(shù)冪的除法法則是根據(jù)除法是乘法的逆運算歸納總結出來的，和同底數(shù)冪的乘法是互逆運算關系，同時指數(shù)的變化也是互逆運算關系，和上面講的冪的3個運算性質相比，這里底數(shù)a是不能為零的，否則除數(shù)為零，除法就沒有意義了.又因為在這里沒有引入負指數(shù)和零指數(shù)，所以又添加條件m>n.

同底數(shù)冪的除法性質也可以推廣到3個以上的同底數(shù)冪除法：am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p都是正整數(shù)），公式中的a可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式，但字母取值要滿足底數(shù)不等于0.

學習這個性質還要注意“兩個規(guī)定、一個方法”.

規(guī)定1：a0=1（a≠0）.

兩個同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)相等，那么商等于1，即am÷am=am-m=a0=1（m是正整數(shù)，a≠0） ，所以我們規(guī)定：a0=1（a≠0）（即任何一個不等于0的數(shù)的0次冪等于1），00無意義 .

規(guī)定2：a-p=■（a≠0，p是正整數(shù)）.

由am÷an=am-n，當a≠0，m

科學記數(shù)法：根據(jù)規(guī)定2得■=10-m，因此，任何一個小于1的正數(shù)，都可寫成a×10n的形式，其中1≤a<10，即a是帶一位整數(shù)的小數(shù)或一位整數(shù)，n是一個負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中從左往右第一個不為零的數(shù)字前面所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前的一個0）.如0.000 23，用科學記數(shù)法可以表示為2.3×10-4.

二、 明確運算順序、合理進行混合運算是關鍵

在遇到冪的混合運算時，不要急于求成、盲目進行計算，首先要細心觀察，分清各個部分分別屬于哪種運算，然后再確定合理的運算順序和運算步驟，先算什么，后算什么，一定要做到心中有數(shù)；計算時，應注意符號和指數(shù)的變化，不要漏掉了某些因數(shù)的乘方.一般情況下，先運算積的乘方和冪的乘方，然后按照先后順序，運算同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法，最后算加減.

例1 計算：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3；（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6.

【分析】問題（1）中的第一個因式和第三個因式屬于積的乘方，應先運算；問題（2）中有冪的乘方，也有積的乘方，也應該先算，最后再算加減.在計算它們的過程中又出現(xiàn)了新的運算，這就要求同學們能夠隨時進行觀察，以便準確判斷出新運算屬于什么運算，然后再根據(jù)相應的運算性質解題.

解：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3=a5b5·3a2·43（a2）3（b3）3

=a5b5·3a2·64a6b9=192a13b14；

（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6=2x8·x-27x9+53x3·x6

=2x9-27x9+125x9=100x9.

三、 靈活運用性質是后盾

對于冪的運算性質，不僅要學會從左到右的正向運用，對于底數(shù)和指數(shù)都不相同的問題，還要善于根據(jù)題目的特點，結合乘方的意義，學會從右到左的逆向運用.逆向運用冪的運算性質，不僅能化繁為簡，同時對于培養(yǎng)同學們的觀察能力、分析轉化問題的能力有著積極的意義.另外，同學們既要有依照運算性質逐層分步計算的細致，又要有縱觀全局的整體意識，善于從顯現(xiàn)的表象挖掘隱藏的結構特點，只有這樣，才算真正掌握冪的運算性質.

例2 已知am=2，an=3，求a2m+n的值.

【分析】本章中冪的運算法則既可以正向應用，又可以逆向應用.如公式am·an=am+n逆向運用為 am+n=am·an（m、n是正整數(shù)），公式（am）n=amn逆向運用為anm=（am）n=（an）m（m、n是正整數(shù)）等.

解：a2m+n=a2m·an=（am）2·an=22×3=12.

例3 已知2x+5y=4，求4x·32y的值.

【分析】此題中2x+5y=4如何使用？4x·32y與2x+5y=4有何聯(lián)系？通過觀察可知，把4x、32y的底數(shù)都變?yōu)?后，利用同底數(shù)冪的乘法法則得2的指數(shù)為2x+5y，進而將2x+5y=4整體代入即可.

解：4x·32y=（22）x·（25）y=22x·25y=22x+5y=24=16.