周 曠 師義民 馬麗娜

西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072

航天產(chǎn)品多為復(fù)雜新型產(chǎn)品，由于時間、經(jīng)費(fèi)、保密等因素的限制，產(chǎn)品壽命的分布類往往未知。隨著可靠性水平的不斷提高，其貯存壽命和使用壽命通常都比較長。要獲得此類產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)，按照傳統(tǒng)的壽命試驗(yàn)方法就是通過自然環(huán)境貯存、長期監(jiān)測和數(shù)據(jù)統(tǒng)計來得到。雖然這種試驗(yàn)技術(shù)獲得的數(shù)據(jù)比較真實(shí)，得到的結(jié)論也比較可信，但是試驗(yàn)周期一般較長，不能跟上產(chǎn)品的更新改良速度。同時，對影響新型產(chǎn)品失效的因素也沒有理論上的完整認(rèn)識。非參數(shù)統(tǒng)計方法由于不受限于分布類型，在這種情況下就發(fā)揮著重要的作用。對樣本先驗(yàn)信息的缺乏在信息學(xué)上稱之為不確定性，是壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析中常遇到的問題[1]。因此，許多學(xué)者研究了不確定推理方法在可靠性評估中的應(yīng)用，其中常用的方法有：不精確概率論(又稱為區(qū)間概率論)[2]、模糊集理論[3]、隨機(jī)集理論[4]等。

Dempster-Shafer證據(jù)理論可以有效地處理不確定信息，而且提供了融合多源證據(jù)的組合規(guī)則，近來已被廣泛應(yīng)用在信息融合[5]，圖像處理[6]等領(lǐng)域，已有許多學(xué)者將其應(yīng)用在可靠性評估當(dāng)中。文獻(xiàn)[7-8]研究了DST融合可靠性中不確定信息的方法。這些文章利用的都是相似產(chǎn)品的可靠性信息或者專家的經(jīng)驗(yàn)信息。不同的是，本文用假設(shè)和證據(jù)理論提出了一種只使用具有缺失信息(分布類未知)的樣本數(shù)據(jù)壽命分析方法。首先利用假設(shè)基于樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建了分布函數(shù)的概率上下限，然后將其轉(zhuǎn)化為證據(jù)理論框架下的基本信度分配(BBA)，最后在可轉(zhuǎn)移信度模型(TBM)下將其轉(zhuǎn)換為一種概率度量，可據(jù)此對產(chǎn)品的壽命特征進(jìn)行評估。數(shù)值實(shí)例表明了本文提出方法的可行性和有效性。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 DST和TBM

設(shè)Θ={θ1,θ2，…，θN}表示X所有可能取值的論域集合，且所有在Θ內(nèi)元素是互不相容的，稱Θ為X的識別框。證據(jù)理論是建立在冪集2Θ={A∶AΘ}上的[9]。

定義1 設(shè)Θ是X的識別框架，則函數(shù)m∶2Θ→[0,1]稱為2Θ上的基本信度分配(BBA)函數(shù)，如果滿足：

(1)

其中，m(A)表示了對A的直接支持，通常稱為A的mass值。對空集Φ分配的基本信度m(Φ)代表了識別框架的不一致性和不完整性。滿足m(A)>0的子集A稱為焦元，所有焦元的集合F={A|m(A)>0}稱為Θ的核。稱二元組(F,m)為定義在Θ上的一條證據(jù)。按照式(2)和(3)定義信任度函數(shù)(bel)和似然度函數(shù)(pl)。

?AΘ

(2)

(3)

bel(A)和pl(A)分別代表了對命題A的最低支持和最高支持。

可轉(zhuǎn)移信度模型[10]是一種定量描述信度的數(shù)學(xué)模型。這是一個兩層模型:1) 建立和度量經(jīng)驗(yàn)信度的信度層(creedal level);2) 用于決策的概率層(pignistic level)。

在TBM中，可用Pignistic概率轉(zhuǎn)換公式將BBA轉(zhuǎn)換成一種概率度量。最常用的轉(zhuǎn)換方法是平均分配法(Smets法)，認(rèn)為每一個元素出現(xiàn)的概率相等，因此把多元素命題的BBA值平均分配給所包含的元素[11]。

(4)

其中|A|為集合A的勢。

1.2 A(n)假設(shè)

Hill提出的A(n)假設(shè)為樣本分布完全未知時的統(tǒng)計預(yù)測問題提供了依據(jù)[12-13]。

定義2 設(shè)xi,i=1,2,…，n是從一有限總體中抽取的一組樣本，x(i)為相應(yīng)的次序統(tǒng)計量。定義A(n):

1)觀測變量X1,X2,…，Xn是可交換的；

2)以概率0無重復(fù)觀測樣本值(稱之為結(jié))；

下面對A(n)從可交換性的角度進(jìn)行直觀解釋。由于只有樣本數(shù)據(jù){x1,x2,…，xn}，所以對后驗(yàn)數(shù)據(jù)只有一個位置的認(rèn)識，而沒有先后的概念。這也反應(yīng)了先驗(yàn)信息的缺乏。許多學(xué)者對這一假設(shè)從理論上給予了證明。Hill給出了對A(n)的一個非參數(shù)Bayesian證明方法[14]，Lane和Sudderth用博弈論的方法對A(n)進(jìn)行了討論[15]。利用A(n)假設(shè)并不能得到變量的精確概率分布，但是De Finetti提出了根據(jù)A(n)來構(gòu)建概率上下限的方法[16]，這和Walley的不精確概率理論的思想是一致的。關(guān)于這方面的詳細(xì)討論和應(yīng)用可參閱文獻(xiàn)[17～18]。

Coolen把A(n)拓展到截尾數(shù)據(jù)模型[19]，稱為rc-A(n)。設(shè)在壽命試驗(yàn)中有n(n=u+v)個事件發(fā)生時刻x1,x2,…，xn，其中包括u個失效時刻

0

(5)

和v個截尾時刻

0

(6)

則rc-A(n)定義如下：

(7)

其中i=0,1,…，u，k=1,…，li,t(0)=0,t(u+1)=∞。 如果上式中的連乘發(fā)生在空集上，則令其值為1。

這一關(guān)于截尾樣本數(shù)據(jù)的后驗(yàn)假設(shè)既包含了對樣本分布等先驗(yàn)信息的無知，也包含了截尾形式的完全隨機(jī)性。如果樣本中沒有截尾數(shù)據(jù)(完全樣本)， 則rc-A(n)退化為A(n)。

2 壽命估計模型

2.1 基于rc-A(n)的不精確概率

Augustin和Coolen給出了基于A(n)假設(shè)的構(gòu)建事件Xn+1∈B上下概率限的方法[17]。類似地，這里給出根據(jù)rc-A(n)假設(shè)的構(gòu)建方法。

(8)

(9)

公式(8)和(9)定義的概率上下限是最小的上界和最大的下界[19]。

考慮事件Xn+1∈(t,∞)，為了和下文構(gòu)建mass函數(shù)時一致，定義關(guān)于可靠度函數(shù)(R(t))的上概率函數(shù)和下概率函數(shù)：

(10)

(11)

其中

P(Xn+1∈(t(i),t(i+1))=MXn+1(t(i),t(i+1))+

不可靠度函數(shù)(分布函數(shù))

F(t)=1-R(t)

的概率上下限分別為：

(12)

和

(13)

易知，關(guān)于分布函數(shù)的上概率函數(shù)左連續(xù)，下概率函數(shù)右連續(xù)，而且都是階梯函數(shù)。在不引起混淆的情況下，在后續(xù)討論中，記

2.2 mass函數(shù)的構(gòu)建

算法1：

(1)初始化變量，令k，i,j=1,P0=0；

mk=F(x*i)-pk-1,pk=F(x*i)

令k=k+1,i=i+1，返回步驟(2)。

令k=k+1,j=j+1，返回步驟(2)。

2.3 Pignistic 概率決策

由上節(jié)算法得到的BBA的焦元區(qū)間是[0,1]子區(qū)間，該證據(jù)的識別框架為[0,1]的子區(qū)間的集合

Θ={[a,b]|0≤a

按照Smets平均分配思想，如果已知θ上的BBA，可得到區(qū)間A的Pignistic概率為

?A?Θ

(14)

這個公式有一個簡單的數(shù)學(xué)解釋：區(qū)間B上的mass值，將平均分配給所有與它有交集的區(qū)間。對于單點(diǎn)概率，可類似地有，

?θ∈Θ

(15)

BetfXn+1為關(guān)于下一個觀測變量的Pignistic概率密度。根據(jù)TBM模型，對于Xn+1的“決策”可根據(jù)此進(jìn)行。例如，可以用該概率分布的期望預(yù)測下一個變量Xn+1的平均壽命，用BetPXn+1(t,∞)表示t時刻的可靠度。

3 數(shù)值實(shí)例

下面用2個數(shù)據(jù)集對本文提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。例1是一個真實(shí)數(shù)據(jù)集，例2是一個用人工方法產(chǎn)生的模擬數(shù)據(jù)集。

例1 Lawless給出了一種球狀軸承的壽命數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)是23個軸承在失效前的轉(zhuǎn)數(shù)(百萬次):

17.88, 28.92, 33.00, 41.52, 42.12, 45.60, 48.80, 51.84, 51.96, 54.12, 55.56, 67.80, 68.64, 68.64, 68.88, 84.12, 93.12, 98.64, 105.12, 105.84, 127.92, 128.04, 173.40.

選取6個截尾(移走)時刻：40.00, 60.00, 70.00, 80.00, 90.00, 100.00,試驗(yàn)中觀測到的數(shù)據(jù)(百萬轉(zhuǎn)數(shù))如表1所示。

表1 軸承壽命數(shù)據(jù)(>表示截尾數(shù)據(jù))

由公式(8)和(9)得到X24的分布函數(shù)的上下限，如圖1所示。 圖2分別描述了此壽命變量的Pignistic概率。X24的平均壽命為56.6384(百萬轉(zhuǎn))。

例2 設(shè)某型液體火箭發(fā)動機(jī)服從雙參數(shù)威布爾分布WeiBull(2,5)。 隨機(jī)產(chǎn)生容量為20個服從威布爾分布WeiBull(2,5)的樣本。隨機(jī)選取3個截尾時刻0.80，1.00，1.20(單位：104h)。生成的隨機(jī)樣本如表2所示(單位：104h)。圖3和4分別描述了分布函數(shù)的上下概率限和Pignistic概率圖。X21的平均壽命為1.3488， 這和理論值1.0547比較接近。

例2雖然給出了元件的壽命分布，但是只應(yīng)用上節(jié)提出的算法進(jìn)行計算并未使用。從例1和例2可以看出，本文提出的方法使壽命分布未知的產(chǎn)品可靠性評估帶來了極大的方便，而且保證了評估結(jié)果的合理性。

圖1 X24分布函數(shù)的上下概率

圖2 X24 Pignistic概率

圖3 X21 分布函數(shù)的上下概率

0.66051.03071.1621>0.80001.0424>1.20000.81701.05601.20600.83411.11091.21920.87711.11201.34970.99701.11401.3973>1.00001.1304

圖4 X21 Pignistic概率

4 結(jié)論

本文提出了一種基于證據(jù)理論的非參數(shù)預(yù)測方法，并將其應(yīng)用于新型航天產(chǎn)品的可靠性評估。首先利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建了分布函數(shù)的概率上下限，然后將其轉(zhuǎn)化為證據(jù)框架下的基本信度分配，最后利用可轉(zhuǎn)移信度模型的Pingstic概率轉(zhuǎn)換方法得到了關(guān)于未來觀測變量的概率度量，可據(jù)此對產(chǎn)品的壽命特征進(jìn)行評估。數(shù)值實(shí)例表明本文得出方法的正確性和有效性。由于該方法僅利用了樣本數(shù)據(jù)， 這對樣本分布類無知的情況下評估問題具有重要意義。要把本文提出的方法適用于一般的截尾模型，如定數(shù)截尾試驗(yàn)、逐步截尾試驗(yàn)等，這就要放寬A(n)假設(shè)中樣本數(shù)據(jù)無重復(fù)值的限制，這將是下一步研究的方向。

參 考 文 獻(xiàn)

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