提問： 要把y=sinx的圖象變換為y=sin（ωx+φ）（ω>0，φ>0）的圖象，可以先將y=sinx的圖象向左平移φ個(gè)單位，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸縮為原來的；也可以先將y=sinx每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸縮為原來的，再將圖象向左平移個(gè)單位.這兩種變換方法只是平移和伸縮的先后順序不同，為什么兩次平移的長度不同？

回答： 先分析“先平移后伸縮”的情景：經(jīng)過平移變換，y=sinx的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都左移了φ個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x+φ）的圖象；經(jīng)過伸縮變換，圖象上任意兩點(diǎn)間的距離伸縮為原來的，即每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都轉(zhuǎn)化為原來的，因此得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）的圖象.在兩次變換中，變化元始終是x.

再分析“先伸縮后平移”的情景：經(jīng)過伸縮變換，y=sinx的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都轉(zhuǎn)化為原來的，得到y(tǒng)=sinωx的圖象.此時(shí)變化元由x轉(zhuǎn)變成了ωx.由于平移是將y=sinωx整個(gè)圖象向左平移，若仍將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)左移φ個(gè)單位，就會(huì)得到y(tǒng)=sinω·（x+φ）=sin（ωx+ωφ）的圖象.要得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）的圖象，只需將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)左移·φ=個(gè)單位即可.

可見，“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”之所以會(huì)導(dǎo)致平移的長度不同，是因?yàn)閮烧叩淖兓嬖诓顒e.

對于三角函數(shù)圖象變換的問題，我們不僅可以根據(jù)“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”導(dǎo)致函數(shù)變換中變化元不同的區(qū)別來解決，還可以從坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)，分析圖象變換的本質(zhì).

通過平移和伸縮把y=sinx的圖象轉(zhuǎn)變?yōu)閥=sin（ωx+φ）（ω>0，φ>0）的圖象，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)發(fā)生了兩次變換.由于y=sinx與y=sin（ωx+φ）均為正弦函數(shù)且兩者的圖象存在相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，故在y=sinx與y=sin（ωx+φ）中，對于同一y，y=sinx中的x應(yīng)與y=sin（ωx+φ）中的ωx+φ一一對應(yīng).我們可以設(shè)原函數(shù)y=sinx的橫坐標(biāo)為X，變換后得到的函數(shù)y=sin（ωx+φ）的橫坐標(biāo)為x，則坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)滿足X=ωx+φ.根據(jù)等式求出x與X的關(guān)系，就能判斷原函數(shù)y=sinx的圖象是如何經(jīng)過平移與伸縮變換為y=sin（ωx+φ）的圖象的.

下面，我們通過一道例題來體驗(yàn)這種方法.

例 為了得到函數(shù)y=sin2x-的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x+的圖象

（A） 向左平移個(gè)單位 （B） 向右平移個(gè)單位

（C） 向左平移個(gè)單位 （D） 向右平移個(gè)單位

解： 在函數(shù)y=sin2x-與函數(shù)y=sin2x+中，對同一y對應(yīng)的x不同.設(shè)原函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)為X，經(jīng)變換后函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)為x，則由2X+=2x-可得x=X+，即變換后的函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)比原函數(shù)圖象上對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)多個(gè)單位，故只需把原函數(shù)y=sin2x+的圖象向右平移個(gè)單位，就能得到函數(shù)y=sin2x-的圖象，選B.

利用坐標(biāo)關(guān)系求解函數(shù)圖象變換問題時(shí)，我們可以參考以下結(jié)論：若函數(shù)Y=sin（ω1X+φ1）的圖象變換為y=sin（ω2x+φ2）（ω1，ω2>0）的圖象，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系式ω1X+φ1=ω2x+φ2可解得x=X+.

觀察x=X+中的兩個(gè)重要數(shù)值與，據(jù)此可判斷函數(shù)Y=sin（ω1X+φ1）的圖象是如何變換為y=sin（ω2x+φ2）的圖象的.

先平移后伸縮：把Y=sin（ω1X+φ1）的圖象平移個(gè)單位——當(dāng)<0時(shí)左移，當(dāng)>0時(shí)右移，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸縮為原來的，就得到了y=sin（ω2x+φ2）的圖象.

先伸縮后平移：將Y=sin（ω1X+φ1）的圖象的橫坐標(biāo)伸縮為原來的，再把圖象平移個(gè)單位——當(dāng)<0時(shí)左移，當(dāng)>0時(shí)右移，就得到了y=sin（ω2x+φ2）的圖象.