楊作義

已知函數(shù)f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1 （k∈R）在區(qū)間（0，3）上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍.

f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）.因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以 f′（x）>0或 f′（x）<0在（0，3）上應(yīng)恒成立.

當(dāng) f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）>0在（0，3）上恒成立時(shí)，整理可得k>-=-·（2x+1）+-. 令t=2x+1，由x∈（0，3）可得t∈（1，7）.記h（t）=t+，則h（t）=t+≥2·=6，當(dāng)且僅當(dāng)t=3即x=1時(shí)等號(hào)成立，所以h（t）min=6即（2x+1）+min=6.所以-·（2x+1）+-max=-·6-=-2，故k>-2.

當(dāng)f′（x）<0在（0，3）上恒成立時(shí)，應(yīng)有 f′（0）≤0， f′（3）≤0即k+5≤0，7k+26≤0；解得k≤-5.

綜上可得，k的取值范圍是（-∞，-5]∪（-2，+∞）.

當(dāng)k=-2時(shí)， f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)x∈（0，1）或x∈（1，3）時(shí)，f′（x）>0.故當(dāng)k=-2時(shí)，f（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，也符合題意.

f′（x）>0或f′（x）<0是f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的充分不必要條件，而非充要條件.當(dāng)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減時(shí)，y=f（x）在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值還有可能為0.比如函數(shù)f（x）=x3在R上單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)為0.但如果函數(shù)f（x）在某一定義區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒為0，則f（x）在該區(qū)間上為常函數(shù)，此時(shí)f（x）不可能在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.因此，在已知函數(shù)具有單調(diào)性時(shí)，應(yīng)允許“函數(shù)上個(gè)別不連續(xù)的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”的情況存在，因?yàn)閱蝹€(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0并不影響函數(shù)的單調(diào)性.

綜上可知，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的充要條件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意一個(gè)子區(qū)間上的值不恒為0.對(duì)于例題這類已知函數(shù)f（x）具有單調(diào)性的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)f′（x）≥0或f′（x）≤0求解.

f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）.因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，3）上恒成立.

當(dāng)f′（x）≥0在（0，3）上恒成立時(shí)，由錯(cuò)解的解法，可得k≥-2.

當(dāng)f′（x）≤0在（0，3）上恒成立時(shí)，由錯(cuò)解的解法，可得k≤-5.

綜上可得，k的取值范圍是k∈（-∞，-5]∪[-2，+∞）.

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，同學(xué)們還需注意以下三個(gè)問(wèn)題：

（1） 不要忽視函數(shù)的定義域.

判斷定義域是求解函數(shù)問(wèn)題的前提，一切討論皆應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.如求函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a>-1）的單調(diào)區(qū)間，則f（x）的單調(diào)區(qū)間必在其定義域（-1，+∞）內(nèi).

（2） 不要盲目合并函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

只有當(dāng)函數(shù)f（x）在（a，b）與（b，c）上皆單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x）在b點(diǎn)連續(xù)時(shí)，才可以合并區(qū)間（a，b）與（b，c），稱f（x）在（a，c）上單調(diào)遞增.同理，減區(qū)間的合并也是如此.

（3） 不要盲目使用并集符號(hào)“∪”.

如果在一個(gè)函數(shù)中，單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個(gè)，如f（x）在（a，b），（c，d）上分別單調(diào)遞減，則區(qū)間（a，b）和（c，d）之間不能用“∪”連接，而應(yīng)用“，”或“和”連接.如反比例函數(shù)f（x）=有兩個(gè)遞減區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞），若表示為“（-∞，0）∪（0，+∞）”，則意味著f（x）在整個(gè)定義域上單調(diào)遞減，即f（x）在（0，+∞）上的值始終小于f（x）在（-∞，0）上的值，這是不符合實(shí)際的.

已知函數(shù)f（x）=-a+x+a （a∈R+）在區(qū)間（0，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍.

解法一： f′（x）=-a+1.

若f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，則f′（x）=-a+1≥0在區(qū)間（0，1]上恒成立，即a≤=在區(qū)間（0，1]上恒成立.因?yàn)樵趨^(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，所以a≤.又a∈R+，所以a∈（0，].

若f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，則f′（x）=-a+1≤0在區(qū)間（0，1]上恒成立，即a≥=在區(qū)間（0，1]上恒成立.因?yàn)樵趨^(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，∈[，+∞）.因?yàn)閍的值不可能大于等于+∞，所以a∈.

綜上可得，若函數(shù)f（x）在（0，1]上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（0，].因?yàn)閍∈R+，故當(dāng)函數(shù)f（x）在（0，1]上不單調(diào)時(shí)，a的取值范圍是（，+∞）.

解法二： 函數(shù)f（x）=-a+x+a （a∈R+）在區(qū)間（0，1]上不單調(diào)，意味著f′（x）=-a·+1在區(qū)間（0，1）上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且f′（x）在該解左右兩側(cè)的值正負(fù)相反，這等價(jià)于f′（x）=-a+1在區(qū)間（0，1）上有實(shí)數(shù)解且無(wú)重根.整理方程-a+1=0可得（a2-1）x2-1=0，由判別式Δ=4（a2-1）>0解得a<-1或a>1.因?yàn)閍∈R+，所以a>1.設(shè)h（x）=（a2-1）x2-1，由a>1可得a2-1>0，所以h（x）的圖象開(kāi)口向上.h（0）=-1<0，h（1）=a2-2.要使h（x）在（0，1）上有實(shí)數(shù)解且無(wú)重根，應(yīng)滿足h（1）=a2-2>0.結(jié)合a∈R+解得a>.a>滿足a>1，故a的取值范圍是（，+∞）.