彭國勇
摘 要:高中教材自改革以來,反映良好,其中主要一個方面就是更體現(xiàn)以學(xué)生為主體,更有利于開發(fā)學(xué)生的思維和潛能.幾何概率作為新加的內(nèi)容,就很好地印證了這一點.為學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)開拓了廣闊的空間.
關(guān)鍵詞:幾何概率;貝特朗問題;不同角度
由于幾何概率被引入了高中教材,因此掌握一些基本的方法來構(gòu)建幾何概率的平面區(qū)域至關(guān)重要,此外,對師生的視野拓展也有裨益,但是,對有些幾何概率問題,會出現(xiàn)意想不到的矛盾.例如:
問題:在等腰Rt△ABC中,在斜邊AB上取一點M,求AM的長小于AC的長的概率.
分析1:點M隨機地落在線段AB上,故線段AB為試驗所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.如圖1,當點M位于線段AC′上時,AM ■ ■ 圖1 圖2 ∴在AB上截取AC′=AC ∴P(AM 分析2:過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線,射線交AB于點M,則CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的,如圖2. ∴∠ACC′=■=■π ∴P(AM 由以上分析1與分析2看出,從不同的角度出發(fā),所得出的結(jié)果就會不同,這是幾何概率中一個很有趣的問題——貝特朗悖論. (貝特朗問題):在圓內(nèi)任作一弦,其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率是多少? 解:取單位圓O,其內(nèi)接等邊三角形的邊長是■,取圓O的任一弦AB,記“AB>■”的事件為A. 方法1:如圖3,作垂直于AB的直徑PQ,分別以P、Q為頂點作圓的內(nèi)接等邊三角形,這兩個三角形的邊與PQ交于M、N,當AB與PQ的交點位于MN上時,AB>■;由于MN=■PQ,故P(A)=■. ■ ■ 圖3 圖4 方法2:如圖4,連接AO,在AO兩側(cè)作∠MAO=∠NAO=30°,交圓O于M、N,當B點落在∠MAO所夾弧MN上時,AB>■, 弧MN的長度是圓周長的■,故P(A)=■. 方法3:如圖5,在圓O內(nèi)任取一點M,若OM<■,則以M為中點的弦AB>■,故M點在以O(shè)為圓心,■為半徑的圓內(nèi),而小圓的面積是大圓面積的■,故P(A)=■. ■ ■ 圖5 圖6 方法4:如圖6,過A作直徑AD,在AD上取一點M,使AM=■,對于任一弦AB,在AD上取AB′=AB,當B′落在MD上時,AB>■,由于MD=2-■,故P(A)=■. 以上問題就是貝特朗問題,它在1933年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫解決,他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng).有興趣的讀者可參閱高等教育出版社1984年版的高等學(xué)校試用教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》一書,作者周樹容. (作者單位 江西省吉安縣第二中學(xué))